Трансляционная симметрия. Решетка Бравэ

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 11Следующая ⇒

Трансляция - симметрическая операция бесконечных объектов, сохраняющая неизменной метрику исходной фигуры, - является параллельным переносом в одном направлении и на одинаковое расстояние, при котором каждой точке исходной фигуры соответствует аналогичная точка другой фигуры (см. рис. 6.1, а).

Рис. 6.1. Трансляция

Трансляцией помимо операции симметрии часто называют и тот элемент симметрии бесконечных закономерно построенных объектов, который задает операцию переноса.

Многократное повторение трансляции + вдоль одной прямой создает одномерную бесконечную постройку (узор) из трансляционно идентичных исходных фигур. Такое повторение приводит к появлению новых, увеличенных в кратное число раз трансляционных векторов , и т.д. в этом же направлении (см. рис.1а).

Сочетание трансляций - неколлинеарных векторов (в общем случае ) - также приводит к появлению нового, легко вычисляемого по правилу параллелограмма суммарного вектора ( ) и, таким образом, к бесконечному двухмерному узору (см. рис. 6.1, б).

Если в трехмерном пространстве выбрать какую-либо точку (не обязательно материальную) и посчитать ее одним из узлов решетки, то в остальных ее узлах окажутся все точки этого пространства, идентичные (физически и геометрически) исходной. Прикладывая решетку к другой заинтересовавшей нас точке при сохранении параллельности решетки самой себе, в ее узлах вновь получим все эквивалентные точки. В результате убеждаемся, что решетка не нечто материальное (не конкретная укладка атомов в неподвижных узлах решетчатого каркаса), а математический образ - схема, с помощью которой мы описываем периодичность кристаллического вещества, не зависящая от того, какая точка трехмерного пространства (узора) принята за исходный узел. Иными словами, решетку удобно считать своеобразным элементом симметрии, размножающим точки пространства совершенно аналогично тому, как их размножают другие элементы симметрии - плоскости, оси и т.д. В этом смысле решетка - это выразитель кристаллического состояния вещества, ибо любое кристаллическое вещество, даже лишенное каких-либо иных элементов симметрии, всегда обладает этим основным элементом симметрии - решеткой, или решетчатым строением.

Как каждый единственный в своем роде элемент симметрии допускает только те элементы симметрии, которые переводят его в самого себя, так и решетка допускает присутствие только тех элементов симметрии исходной фигуры, которыми обладает она сама как геометрический образ. Поэтому, помимо размножения исходной фигуры присущими решетке трансляциями, она может передавать созданному бесконечному узору в соответствии с принципом точеной симметрию исходной фигуры. Таким образом, для того чтобы весь узор приобрел симметрию исходной фигуры, в группу симметрии решетки должны входить в качестве подгруппы все элементы симметрии этой фигуры.

Трехмерная решетка может быть представлена тремя некомпланарными трансляционными векторами, а значит построенный на этих векторах параллелепипед - параллелепипед повторяемости - будет ячейкой решетки. Для того чтобы параллелепипед мог служить характеристической ячейкой какой-либо решетки, т.е. отражал бы ее главные симметрийные особенности, необходимо, чтобы его ребра (трансляционные векторы) совпали с особыми направлениями максимальной симметрии, т.е. с направлениями кристаллографических координатных осей. Ячейку, выбранную таким образом, называют ячейкой Бравэ или элементарной ячейкой. Тип и симметрия ячейки отражаются в ее названии, которое она передает и соответствующей ей пространственной решетке. Всего существует 14 вариантов решетки Бравэ (см. рис 6.2)

Каждая ячейка Бравэ - параллелепипед повторяемости - характеризуется своими параметрами - константами решетки: тремя координатными векторами либо соответствующими им шестью скалярными величинами | |, | |, | | и углами = b^c, = a^c, = a^b.

Иногда в качестве параллелепипеда повторяемости используют так называемую основную ячейку, построенную на трех последовательных минимальных трансляциях решетки: a_minb_minc_min. Однако собственная симметрия такого параллелепипеда не всегда полностью отражает главную особенность решетки - ее симметрию. Поэтому основная ячейка не всегда является ячейкой Бравэ.

Если ребра ячейки соответствуют трем последовательным минимальным трансляциям, т.е. узлы решетки располагаются только в вершинах параллелепипеда, то такая " пустая" ячейка ( и решетка) Бравэ называется примитивной и обозначается буквой Р.

Если же координатные трансляции ячейки Бравэ не соответствуют трем последовательным минимальным трансляциям, т.е. в ячейке есть более короткие (не координатные! ) векторы, то в ней кроме вершинных окажутся дополнительные узлы. Указанная ячейка (а следовательно, и решетка) будет непримитивной.

Рис. 6.2. Четырнадцать решеток Бравэ:

а – триклинная (Р); б- моноклинная (Р, С);

в- ромбическая (Р, С, I, F); г - тетрагональная (Р, I);

д – тригональная (ромбоэдрическая); е – гексагональная (Р);

ж – кубическая (P, I, F)

В вершинных узлах ячеек Бравэ как точках пересечения векторов максимальной симметрии будут сосредоточены все элементы симметрии соответствующей точечной группы. Дополнительные узлы связаны трансляциями с вершинными узлами и, следовательно, идентичны им. Такие позиции находятся лишь в центрах граней или объема ячейки. Поэтому ячейки с дополнительными узлами принято называть центрированными. При этом наличие дополнительных узлов не нарушает симметрию решетки и не уменьшает ее объем.

Если в ячейке центрирована только одна пара противоположных граней (например, ее базис), то ячейку (и соответственно решетку) называют базоцентрированной и обозначают либо буквой С (центрированы грани (001) и (00 ) либо А (узлы на гранях (100) и ( 00)), либо В (узлы на гранях (010) и (0 0). А- и В-ячейки можно назвать бокоцентрированными.

Ячейки, в которых центрированы все грани, называются гранецентрированными и обозначаются буквой F. Ячейку с дополнительным узлом в центре ее объема называют объемноцентрированной и обозначают буквой I.

⇐ Предыдущая 1 2 345 6 7 8 9 10 Следующая ⇒