Теория вычисления интеграла.

Описание используемых численных методов.

Многие инженерные задачи, задачи физики, геометрии и многих других технических областях, приводят к необходимости вычислять определенный интеграл вида,

где f(x) – подынтегральная функция, непрерывная на отрезке [a; b].

Если интеграл от данной функции не может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница,

или если функция f(x) задана графически или таблицей, то для вычисления определенного интеграла применяют приближенные формулы. Для приближенного вычисления интеграла существует много численных методов, таких как:

1) Метод прямоугольников (правых и левых);

2) Трапеций;

3) Симпсона и др.

1. Метод прямоугольников (правых и левых)

Необходимость вычисления значений определенных интегралов при моделировании возникает достаточно часто.

Формула Ньютона-Лейбница

(1)

имеет ограниченное применение:

во-первых, не позволяет вычислить интегралы от таблично заданной подынтегральной функции f(x);

во-вторых, не всякая подынтегральная функция имеет первообразную F(x).

Численные методы интегрирования универсальны: позволяют вычислить значение определенного интеграла непосредственно по значениям подынтегральной функции f(x), независимо от способа ее задания или вида аналитического выражения.

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, кривой f(x), и прямыми x = a и x = b ( Рис.1. ).

Численные методы интегрирования основаны на различных способах оценки этой площади, поэтому полученные формулы численного интегрирования называются квадратурными (формулами вычисления площади).

Рассмотрим получение и применение простейших формул.

Отрезок [a, b] делят на n необязательно равных частей – элементарных отрезков. Принято такое деление отрезка называть сеткой, а точки x_о, x₁, …, x_n – узлами сетки.

Рис.1 . Геометрический смысл определённого интеграла

Если сетка равномерная, то

(1)

– шаг сетки, при интегрировании – шаг интегрирования, а координата i-го узла вычисляется по формуле:

, (2)

Полная площадь криволинейной трапеции состоит из n элементарных криволинейных трапеций – элементарных площадей:

(3)

a) Метод правых треугольников

б) Метод левых прямоугольников

Метод трапеций

Метод трапеций является одним из методов численного интегрирования. Он позволяет вычислять определенные интегралы с заранее заданной степенью точности.

Поставим перед собой следующую задачу: пусть нам требуется приближенно вычислить определенный интеграл , где подынтегральная функция y=f(x) непрерывна на

отрезке [a; b].

Разобьем отрезок [a; b] на n равных интервалов длины h точками . В этом случае шаг разбиения находим как и узлы определяем из равенства .

Рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках .

Возможны четыре случая (на рисунке показаны простейшие из них, к которым все сводится при бесконечном увеличении n):

На каждом отрезке заменим функцию y=f(x) отрезком прямой, проходящей через точки с координатами и . Изобразим их на рисунке синими линиями:

В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение , то есть, примем .

Давайте выясним, что означает в геометрическом смысле записанное приближенное равенство. Это позволит понять, почему рассматриваемый метод численного интегрирования называется методом трапеций.

Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно, в первом случае площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями и высотой h, в последнем случае определенный интеграл приближенно равен площади трапеции с основаниями и высотой h, взятой со знаком минус. Во втором и третьем случаях приближенное значение определенного интеграла равно разности площадей красной и синей областей, изображенных на рисунке ниже.

Таким образом, мы подошли к сути метода трапеций, которая состоит в представлении определенного интеграла в виде суммы интегралов вида на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене .

Формула метода трапеций.

В силу пятого свойства определенного интеграла .

Если вместо интегралов подставить их приближенные значения, то получится формула метода трапеций:

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒