|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
|
|
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Геометрические характеристики плоских сечений (перечислить, дать определение, каким образом вычисляются).
Геометрические характеристики поперечных сечений конструкций применяются при расчётах на прочность и жёсткость при различных видах деформаций. Возьмём на плоскости произвольную фигуру, проведём через произвольную точку фигуры две взаимно – перпендикулярные оси. Выделим в фигуре бесконечно малую площадь dS. dS → 0 Расстояние от площади dS до оси x обозначим y, до оси y обозначим x, до начала координат обозначим ρ. Теперь перейдём непосредственно к геометрическим характеристикам. Существуют следующие геометрические характеристики поперечных сечений конструкций:
1. Площадь. Применяется при расчётах на прочность и жёсткость при растяжении, сжатии, сдвиге. Обозначается S. Единицы измерения (мм2; см2; м2) 2. Статический момент относительно оси – это взятая по всей площади сумма произведений площадей на расстояние до оси. Применяется при расчётах на прочность и жёсткость при некоторых сложных видах деформаций. Обозначается С. Для элементарной площади dS dCX = y•dS dCУ = x•dS Для всей фигуры CX =ʃ y•dS S CУ =ʃ х•dS S Единицы измерения (мм3; см3; м3). 3.Осевой момент инерции относительно оси – это взятая по всей площади сумма произведений площадей на квадрат расстояния до оси. Применяется при расчётах на жёсткость при изгибе. Обозначается J. Для элементарной площади dS dJX = y2 •dS dJУ = x2 •dS Для всей фигуры JX =ʃ y2•dS S JУ =ʃ x2•dS S Единицы измерения (мм4; см4; м4). 4.Полярный момент инерции относительно точки – это взятая по всей площади сумма произведений площадей на квадрат расстояния до рассматриваемой точки. Применяется при расчётах на жёсткость при кручении. Обозначается Jρ Для элементарной площади dS dJρ = ρ 2 •dS Для всей фигуры Jρ = ʃ ρ 2•dS S Единицы измерения (мм4; см4; м4). Из размеров х, у, ρ построим прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора ρ 2 = x2 + y2 – умножим всё уравнение на dS, получим ρ 2 = x2 + y2 – проинтегрируем, получим ʃ ρ 2•dS = ʃ x2•dS + ʃ y2•dS S S S
где ʃ ρ 2 •dS = Jρ S
ʃ x2•dS = JУ S
ʃ y2•dS = JX S В итоге получаем Jρ = JУ + JX 5. Центробежный момент инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей – это взятая по всей площади сумма произведений площадей на расстояние до осей. Применяется при расчетах на прочность и жёсткость при некоторых сложных видах деформаций. Обозначается для данного случая JXУ Для элементарной площади dS dJXУ = ху•dS Для всей фигуры JXУ =ʃ хy•dS S Единицы измерения (мм4; см4; м4). Если фигура имеет хотя бы одну ось симметрии, то центробежный момент инерции относительно этих осей равен нулю. 6. Осевой момент сопротивления относительно оси. Применяется при расчётах на прочность при изгибе. Обозначается W. WX = JX / уmax WУ = JУ / хmax Единицы измерения (мм3; см3; м3). 7. Полярный момент сопротивления относительно точки. Применяется при расчётах на прочность при кручении. Обозначается Wρ Wρ = Jρ / ρ max Единицы измерения (мм3; см3; м3). Вычисление геометрических характеристик для прямоугольника. 1.Прямоугольник.
Выделим в прямоугольнике полосу шириной b и бесконечно малой толщиной dy dy → 0 Определим осевой момент инерции относительно оси x. h/2 JX =ʃ y2·dS -h/2 где dS – площадь выделенной полосы dS = b·dy
h/2 h/2 h/2 JX =ʃ y2·b·dy = b ʃ y2dy = (b· y3 /3) | = [ b· (h/2)3 /3] – [ b· (-h/2)3 /3] = ( b·h3 ) /12 -h/2 -h/2 -h/2
Относительно оси у осевой момент инерции выводится аналогично JX = ( h·b3 ) /12 Полярный момент инерции вычисляется по формуле: Jρ = β ·h·b3 где β – коэффициент, определяется по справочным таблицам. Центробежный момент инерции для прямоугольника относительно осей х и у равен нулю, т. к. эти оси являются осями симметрии прямоугольника. JXУ = 0 Определим осевой момент сопротивления относительно осей x, у. WX = JX / уmax где JX = ( b·h3 ) /12 уmax = h /2 Получаем WX = ( b·h2) /6
WУ = JУ / хmax где JУ = ( h·b3 ) /12 xmax = b /2 Получаем WУ = ( h·b2) /6 Полярный момент сопротивления вычисляется по формуле: Wρ = α ·h·b2 где α – коэффициент, определяется по справочным таблицам.
Вычисление геометрических характеристик для круга. 2. Круг.
dρ → 0 Сначала определим полярный момент инерции относительно начала координат (центра тяжести круга). d/2 Jρ = ʃ ρ 2·dS где dS – площадь выделенного кольца dS = 2·π ·ρ ·dρ
d/2 d/2 d/2 Jρ = ʃ ρ 2·2·π ·ρ ·dρ = 2·π ʃ ρ 3·dρ = (2·π · ρ 4 /4) | = 2·π ·(d/2)4 /4 = π · d4 /32 0 0 0 Определим осевой момент инерции относительно осей x, у. Применим формулу Jρ = JУ + JX
Для круга JХ = JУ = Jρ /2 = (π · d4 /32) /2 = π · d4 /64 Центробежный момент инерции для круга относительно осей х и у равен нулю, т. к. эти оси являются осями симметрии круга. JXУ = 0 Определим осевой момент сопротивления относительно осей x, у. Для круга WX = WX = JX / уmax = JУ / хmax где JX = JУ = π · d4 /64 уmax = хmax = d /2 Получаем WX = WУ = π · d3 /32 Определим полярный момент сопротивления относительно начала координат (центра тяжести круга) Wρ = Jρ / ρ max где Jρ = π · d4 /32 ρ max = d /2 Получаем Wρ = π · d3 /16
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-07-13; Просмотров: 2300; Нарушение авторского права страницы
Выделим в круге кольцо с внутренним радиусом ρ и бесконечно малой шириной dρ