Усеченные законы распределения

Пусть случайная величина Х имеет функцию распределения F(x), заданную на всей числовой оси. Выберем на этой оси интересующий нас отрезок [a, b] (может быть a = - ∞, b = + ∞ ). Распределение случайной величины Х со значениями, принадлежащими только рассматриваемому отрезку, называется усеченным.

Функция распределения усеченного закона выражается через исходную функцию распределения соотношением:

Функция плотности усеченного распределения выражается через исходную соотношением:

Для дискретных случайных величин интеграл можно заменить соответствующей суммой.

Пример.Среднее время обслуживания покупателя продавцом составляет четыре минуты и подчинено показательному распределению. Продавец уже потратил четыре минуты на обслуживание очередного покупателя. Найти вероятность того, что он затратит еще не менее двух минут на обслуживание этого покупателя.

Решение. Имеем закон распределения времени Т обслуживания очередного покупателя в виде

f(t) = λ e ^{-λ t}, где λ = ¼.

С учетом того фактора, что Т> 4, имеем усеченное показательное распределение в виде f(t) = Сλ e ^{–λ t}, t> 4.

Параметр С определяется из соотношения

Находим С = е.

Получаем усеченное распределение вида

Тогда искомая вероятность равна

Системы случайных величин.

Описание системы двух случайных величин.

До сих пор рассматривались случайные величины, каждое возможное значение которых определялось одним числом. Такие величины называются одномерными.

Часто результат опыта описывается не одной случайной величиной, а двумя или более случайными величинами, образующими систему. Случайные величины, возможные значения которых определяются двумя, тремя, …, п числами, называются двумерными, трехмерными, п-мерными соответственно.

Свойства системы нескольких случайных величин не исчерпываются свойствами отдельных составляющих, они включают также взаимные связи между случайными величинами.

Рассмотрим систему двух случайных величин (X, Y), то есть двумерную случайную величину, возможные значения которой есть пары чисел (х, у).

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывной называют двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Система двух случайных величин (X, Y) полностью описывается двумерным законом распределения, обычно задаваемым в одной из трех форм.

1. Ряд распределения. Для системы двух дискретных случайных величин закон распределения удобно задавать в виде прямоугольной таблицы, содержащей возможные значения и их вероятности (табл. 2.1).

Таблица 2.1

Ряд распределения системы двух дискретных величин

 

X/Y	y1	y2	…	yj	…	yn
х1	P11	P12	…	P1j	…	P1n
х2	P21	P22	…	P2j	…	P2n
…	…	…	…	…	…	…
хi	Pi1	Pi2	…	Pij	…	Pin
…	…	…	…	…	…	…
хm	Pm1	Pm2	…	Pmj	…	Pmn

 

Здесь P_ij = P(X = х_i , Y = y_j) X = х_i , Y = y_j; i = 1, …, m; j = 1, …, n;

2. Функция распределения системы двух случайных величин (X, Y) – это функция F(x, y), определяющая вероятность совместного выполнения двух неравенств (X< x ) и ( Y< y):

F(x, y) = Р (X< x; Y< y).

Свойства функции F(x, y):

1) 0< F(x) < 1.

2) Функция F(x, y) есть неубывающая функция по каждому своему аргументу:

при x₂ > x₁ F(x₂, y) ≥ F(x₁, y);

при y2 > y1 F(x, y₂) ≥ F(x, y₁).

3) F (x, - ∞ ) = F (- ∞ , y) = F(- ∞, - ∞ ) = 0

4) F (x, + ∞ ) = F₁(x), F ( + ∞, y) = F₂(y), то есть, когда один из аргументов равен +∞, функция распределения системы превращается в функцию распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу.

5) F (+ ∞ , + ∞ ) = 1

6) Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник R, ограниченный абсциссами a и b и ординатами c и d, определяется через F(x, y) по соотношению

P ( a < X < b; c < Y < d) = F(b, d) – F(b, c) – F(a, d) + F(a, c).

3. Плотность распределения системы двух непрерывных случайных величин есть смешанная частная производная второго порядка функции распределения:

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область С определяется формулой:

В частности, вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник R, ограниченный абсциссами a и b и ординатами c и d, выражается зависимостью:

Функция распределения F(x, y) выражается через функцию плотности соотношением:

Основные свойства плотности распределения системы (X, Y):

 

⇐ Предыдущая12

Поделиться:

Популярное:

1. C. межотраслевой баланс производства, распределения и использования продукции в народном хозяйстве
2. I. Рабочее тело и параметры его состояния. Основные законы идеального газа.
3. Алгоритмы распределения памяти
4. БИЛЕТ 36. Состав атомного ядра. Характеристики ядра: заряд, масса. Энергия связи нуклонов. Радиоактивность. Виды и законы радиоактивного излучения.
5. Большинство законов содержат правовые нормы (законы материальные), иногда норм в законе нет, а только что-то констатируется (законы формальные).
6. В. Законы сохранения при прямолинейном движении.
7. Вертикальные маркетинговые схемы распределения
8. Внешний фотоэффект и его законы.
9. Вопрос. Стратегии охвата рынка. Виды распределения
10. Вопрос. Сущность распределения как элемента комплекса маркетинга
11. Вырабатывайте собственный стиль, при этом неукоснительно соблюдая законы интеллект-карт
12. Генеральная и выборочная совокупность. Способы отбора. Статическая функция распределения. Статические оценки параметров распределения.