Вопрос № 6 Определение линейного пространства.

Определение. Множество ¥ (фи) мы назовем линейным пространством, а его элементы -векторами, если:

а) Задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам x и y из ¥ сопоставляется элемент, называется их суммой и обозначаемый х+у

б) Задан закон (операция умножения на число), по которому элементу х из ¥ и числу а сопоставляется элемент из ¥, называемый произведением х на а и обозначаемый ах.

в) Для любых элементов х, у, z из ¥ и любых чисел а и в выполнены следующие требования (или аксиомы):

1) х+у=у+х

2)(х+у)+z=x+(y+z)

3) Существует элемент о такой, что для каждого х из ¥ выполнено равенство х+о=х

4) Для каждого х существует элемент –х такой, что х+(-х)=0

5) а(х+у)=ах+ау.

6) (а+в)х=ах+вх.

7) а(вх)=(ав)х.

8) 1х=х.

Если в п.б) используем только вещественные то ¥ называется вещественным линейным пространством. Если же определено умножение на любое комплексное число, то линейное пространство ¥ называется комплексным.

Вопрос №7.

Линейная зависимость и независимость векторов

Набор векторов называется системой векторов.

Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

(1.1)

Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.

Замечания 1.2

1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при — линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.

4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Пример 1.3. Параллелограмм построен на векторах и ; точки и — середины сторон и соответственно (рис. 1.11).

Требуется:

а) найти линейные комбинации векторов

б) доказать, что векторы , , линейно зависимы.

Решение.

а) Так как , то по правилу треугольника: .

Рассуждая аналогично, получаем: . Построим вектор . Из равенства треугольников и следует, что . Тогда.

б) Учитывая, что и , получаем: .

Перенося векторы в левую часть, приходим к равенству , т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов , , равна нулевому вектору. Следовательно, векторы , , линейно зависимы, что и требовалось доказать.

Вопрос №8.

Базис пространства . Координаты вектора

Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства .

Обозначение:

Для каждого вектора существуют числа такие что

Числа называются координатами вектора в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

Справедливы формулы:

Вопрос №9.

Размерность линейного пространства.

Число k называется размерностью линейного пространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любая система из k+1 вектора — линейно зависима.

Обозначается dim L = k. Пространство L называется k- мерным. Иногда обозначается L_k.

Векторы i и j — линейно независимая система векторов линейного пространства геометрических радиусов-векторов плоскости R₂.

Рассмотрим произвольную систему из трёх векторов x, y, z.

На рисунке показано, что вектор z линейно выражается через векторы x и y: z = α ₁· x + α ₂· y.

Итак, в пространстве R₂ существует система из двух линейно независимых векторов ( i , j ), а любые три вектора образуют линейно зависимую систему. То есть размерность пространства R₂ равна 2, dim R₂ = 2.

Вопрос 10

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒