Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

Деление.

Представление комплексного числа на плоскости:

Вопрос №2.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, изображающего комплексное число на координатной (комплексной) плоскости.

Модуль комплексного числа a + bi обозначается как |z| или |a + bi| и равен корню из суммы квадратов a и b.

Аргумент комплексного числа - это угол между осью OX и вектором z, изображающим это комплексное число. Отсюда, tg = b/a.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Абсциссу a и ординату b комплексного числа a + bi можно выразить через его модуль |z| и аргумент :

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

Вопрос №3.

Формула Муавра.

k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Вопрос №4

Формула Эйлера

Показательной функцией с мнимым показателем степени называется комплексная функция

Где параметр t может принимать любые действительные значения

Вопрос № 5

Основная теорема высшей алгебры утверждает что всякое алгебраическое уравнение n> 0 имеет хотя бы один корень, действительный или комплексный.

Вопрос № 6 Определение линейного пространства.

Определение. Множество ¥ (фи) мы назовем линейным пространством, а его элементы -векторами, если:

а) Задан закон (операция сложения), по которому любым двум элементам x и y из ¥ сопоставляется элемент, называется их суммой и обозначаемый х+у

б) Задан закон (операция умножения на число), по которому элементу х из ¥ и числу а сопоставляется элемент из ¥, называемый произведением х на а и обозначаемый ах.

в) Для любых элементов х, у, z из ¥ и любых чисел а и в выполнены следующие требования (или аксиомы):

1) х+у=у+х

2)(х+у)+z=x+(y+z)

3) Существует элемент о такой, что для каждого х из ¥ выполнено равенство х+о=х

4) Для каждого х существует элемент –х такой, что х+(-х)=0

5) а(х+у)=ах+ау.

6) (а+в)х=ах+вх.

7) а(вх)=(ав)х.

8) 1х=х.

Если в п.б) используем только вещественные то ¥ называется вещественным линейным пространством. Если же определено умножение на любое комплексное число, то линейное пространство ¥ называется комплексным.

Вопрос №7.

Линейная зависимость и независимость векторов

Набор векторов называется системой векторов.

Система из векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , не все равные нулю одновременно, что

(1.1)

Система из векторов называется линейно независимой, если равенство (1.1) возможно только при , т.е. когда линейная комбинация в левой части равенства (1.1) тривиальная.

Замечания 1.2

1. Один вектор тоже образует систему: при — линейно зависимую, а при — линейно независимую.

2. Любая часть системы векторов называется подсистемой.

Свойства линейно зависимых и линейно независимых векторов

1. Если в систему векторов входит нулевой вектор, то она линейно зависима

2. Если в системе векторов имеется два равных вектора, то она линейно зависима.

3. Если в системе векторов имеется два пропорциональных вектора , то она линейно зависима.

4. Система из векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов есть линейная комбинация остальных.

5. Любые векторы, входящие в линейно независимую систему, образуют линейно независимую подсистему.

6. Система векторов, содержащая линейно зависимую подсистему, линейно зависима.

7. Если система векторов линейно независима, а после присоединения к ней вектора оказывается линейно зависимой, то вектор можно разложить по векторам , и притом единственным образом, т.е. коэффициенты разложения находятся однозначно.

Пример 1.3. Параллелограмм построен на векторах и ; точки и — середины сторон и соответственно (рис. 1.11).

Требуется:

а) найти линейные комбинации векторов

б) доказать, что векторы , , линейно зависимы.

Решение.

а) Так как , то по правилу треугольника: .

Рассуждая аналогично, получаем: . Построим вектор . Из равенства треугольников и следует, что . Тогда.

б) Учитывая, что и , получаем: .

Перенося векторы в левую часть, приходим к равенству , т.е. нетривиальная линейная комбинация векторов , , равна нулевому вектору. Следовательно, векторы , , линейно зависимы, что и требовалось доказать.

Вопрос №8.

Базис пространства . Координаты вектора

Базис - любая упорядоченная система из n линейно независимых векторов пространства .

Обозначение:

Для каждого вектора существуют числа такие что

Числа называются координатами вектора в базисе ( ) (определяются однозначно), X = (x) - координатный столбец вектора в этом базисе. Употребляется запись:

Справедливы формулы:

Вопрос №9.

Вопрос 10

Вопрос 11

Определение и примеры

Рассмотрим линейное пространство и преобразование этого пространства, то есть закон, по которому каждому вектору из соответствует вектор из того же пространства. Вектор называетсяобразом вектора и обозначается , а вектор называется прообразом вектора .

Определение 19.1 Преобразование линейного пространства называется линейным, если для любых векторов и и любого числа выполнены равенства

(19.1)

то есть образ суммы векторов равен сумме образов слагаемых, образ вектора, умноженного на число, равен произведению этого числа на образ вектора.

Замечание 19.1 В этой главе с каждым линейным преобразованием будет связана матрица, которую мы будем обозначать той же буквой, что и само преобразование. Чтобы их различать, мы для букв, обозначающих преобразование, будем использовать так называемый " каллиграфический" шрифт.

Линейное преобразование пространства называют также линейным отображением из в или линейным оператором из в .

Исходя из равенств (19.1) легко проверить, что

то есть образ линейной комбинации векторов равен линейной комбинации их образов.

Рассмотрим несколько примеров линейных преобразований.

Пример 19.1 Пусть -- двумерное векторное пространство, то есть множество векторов плоскости. Пусть . Это преобразование действует так: каждый вектор оно переводит в вектор такого же направления, но в два раза большей длины. Если считать, что все векторы имеют начало в начале координат, то преобразование можно представить как растяжение плоскости в два раза (рис. 19.1).

Вопрос 12

Матрица линейного преобразования

В примере 19.4 было показано, что преобразование -мерного пространства, заключающееся в умножении координатных столбцов векторов на фиксированную матрицу, является линейным преобразованием. В этом разделе мы покажем, что все линейные преобразования конечномерного пространства устроены таким же образом.

Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис , -- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим .

Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим

(19.2)

Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим их , , ..., соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

Подставим это выражение в равенство (19.2) и, используя предложение 14.3, изменим порядок суммирования

Это равенство означает, что -той координатой вектора служит .

Составим матрицу из координатных столбцов векторов , ...,

Вычислим произведение матрицы на столбец

Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому

(19.3)

Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

Пример 19.5 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.1.

Выберем какой-нибудь базис . Тогда

Следовательно, первый столбец матрицы имеет вид . Аналогично

Второй столбец матрицы имеет вид . В итоге

Пример 19.6 Найдем матрицу линейного преобразования из примера 19.2. Угол возьмем равным . В качестве базиса возьмем привычный ортонормированный базис i, j.

Из рисунка 19.7 видно, что вектор имеет координаты и .

Рис.19.7.Координаты образов базисных векторов при преобразовании поворота

Поэтому координатный столбец образа первого базисного вектора имеет вид . Координаты образа второго базисного вектора равны и , его координатный столбец имеет вид . В итоге получаем, что в базисе i, j матрица поворота на угол имеет вид

Вопрос №13.

Пусть L -- n -мерное линейное пространство, и e1, …, en и e1’, …, en’ -- два базиса в этом пространстве. Первый из них назовем " старым", а второй -- " новым". Пусть S -- матрица перехода а от старого базиса к новому.

Предложение 19.1 Пусть A -- линейное преобразование пространства L, и A и A’ -- матрицы этого преобразования в старом и новом базисе соответственно. Тогда A’= AS

Доказательство. Пусть x -- произвольный вектор пространства L, y -- его образ, то есть y=A(x). Пусть α и β -- координатные столбцы векторов x и y в старом базисе, а x’, y’ -- в новом. Тогда в силу формулы β =Aα имеем α =Sα ’, β =Sβ '. Подставим эти выражения в предыдущую формулу, получаем Sβ ’=A(Sα ’). Откуда β ’=( AS)α ’. С другой стороны, в силу формулы β =Aα в новом базисе β ’=A’α ’. Сравнивая это равенство с предыдущим, получаем A’= AS.

Определение Две квадратных матрицы P и Q одного порядка называются подобными, если существует такая невырожденная матрица S, что P= QS.

Следствие Матрицы одного линейного преобразования, соответствующие разным базисам, подобны друг другу, и наоборот, если матрицы подобны, то они являются матрицами одного и того же преобразования в разных базисах.

Вопрос №14.

Вектор х называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число λ, что выполняется равенство: Ах = λ х. Само число λ называется собственным числом матрицы А.

Для произвольного вектора х =х1е1 + х2е2 + х3е3 результатом применения к нему линейного преобразования А будет вектор Ах, который можно разложить по векторам того же базиса: Ах =х`1е1 + х`2е2 + х`3е3, где координаты x`i можно найти по формулам:

х`1 = a11x1 + a12x2 + a13x3

x`2 = a21x1 + a22x2 + a23x3,

x`3 = a31x1 + a32x2 + a33x3.

Коэффициенты в формулах этого линейного преобразования являются элементами строк матрицы А.

Подставив в формулы (9.3) x`j = λ xj, получим систему уравнений для определения координат собственного вектора:

Отсюда

Эта линейная однородная система будет иметь нетривиальное решение только в случае, если ее главный определитель равен 0 (правило Крамера). Записав это условие в виде:

получим уравнение для определения собственных чисел λ, называемое характеристическим уравнением. Кратко его можно представить тaк: | A - λ E | = 0

Вопрос №15.

Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Обозначим фокусы через F1 и F2, расстояние между ними через 2с, а сумму расстояний от произвольной точки эллипса до фокусов — через 2а

По определению 2а > 2с, т.е. a > с.

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат Оху так, чтобы фокусы F1 и F2 лежали на оси Ох, а начало координат совпадало с серединой отрезка F1F2. Тогда фокусы будут иметь следующие координаты:

Пусть М(х; у) — произвольная точка эллипса. Тогда, согласно определению эллипса, , т. е.

Это, по сути, и есть уравнение эллипса.

Преобразуем уравнение к более простому виду:

Так как a > с, то Положим Тогда последнее уравнение примет вид или

Гипербола

Пусть на плоскости заданы две точки и и дано число a (0 < a < c). Гипербола - множество точек M плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от точек и равен 2a. Точки и называются фокусами гиперболы; - действительная ось; - мнимая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы:

Каноническое уравнение:

Эксцентриситет:

Парабола

Пусть на плоскости заданы точка F и прямая , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой . Точка F называется фокусом, прямая - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина, - параметр, - фокус, - фокальный радиус.

Каноническое уравнение:

Эксцентриситет:

Эллипс:

К ним относят:
число a, называемые большой полуосью;
число b, называемое малой полуосью;
число , называемое линейным эксцентриситетом;
число 2с, называемое фокусным расстояние;
число , называемое (числовым ) эксцентриситетом (0 ≤ ε < 1);
число p = b² / a, называемое фокальным параметром;
ось абсцисс, называемая большой (или фокальной) осью;
ось ординат, называемая малой осью;
точка О(0, 0), называемая центром;
точки (а, 0) и (-а, 0), (0, b) и (0, -b), называемые вершинами;
точки (-с, 0) и (с, 0), называемые фокусами;
при ε ≠ 0 прямые x = a / ε и x = -a / ε, называемые директрисами.
Фокус (с, 0) и директриса x = a / ε называются правыми, а фокус (-с, 0) и директриса x = -a / ε - левыми. Фокус и директриса называются одноименными, если они оба - правые или оба - левые. Это отношение между фокусом и директрисой геометрически инвариантно, тогда как свойство фокуса (директрисы) быть правым или левым зависит от ориентации оси абсцисс.
Для окружности b = a, c = 0, ε = 0, p = a, фокусы совпадают с центром, а директрисы не определены.

Гипербола:

Фокальные радиусы:

для правой ветви

для левой ветви

Фокальный параметр:

Уравнения директрис:

Парабола:

Фокальный радиус:

Уравнение директрисы:

Уравнение касательной в точке

Вопрос№19

Эксцентрисистет гиперболы

Определение: Эксцентриситетом гиперболы называется отношение с ⁄ а, где с — половина расстояния между фокусами, а — действительная полуось гиперболы.
Эксцентриситет гиперболы (как и эллипса) обозначим буквой ε. Так как с > а: то ε > 1, т. е. эксцентриситет гиперболы больше единицы. Очевидно,

Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем меньше отношение b ⁄ a, а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее основного прямоугольника, а, значит, и форму самой гиперболы.
В случае равносторонней гиперболы ( a = b) имеем

ε = √ 2

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии а ⁄ ε от него, называются директрисами гиперболы (здесь а — действительная полуось, ε — эксцентриситет гиперболы).
Аналогично случаю эллипса доказывается теорема: если г — расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r ⁄ d есть величина постоянная, равная эксцентриситету гиперболы.
Установленное свойство эллипса и гиперболы можно положить в основу общего определения этих линий: множество точек, для которых отношение расстояний до фокуса и до соответствующей директрисы является величиной постоянной, равной ε , есть эллипс, если ε < 1, и гипербола, если ε > 1.

Эксцентриситет эллипса

Определение. называется отношение c ⁄ a, где с — половина расстояния между фокусами, а — большая полуось эллипса.
Эксцентриситет обозначают буквой ε: ε = c⁄ a. Так как ε = с ⁄ a, то 0 ≤ ε ≤ 1. Принимая во внимание, что ε ² = с² ⁄ a² = ( a² – b²) ⁄ a² = 1 – (a ⁄ b)², получим

Из последнего равенства легко получается геометрическое истолкование эксцентриситета эллипса. При очень малом ε числа а и b почти равны, т.е. эллипс близок к окружности. Если же ε близко к единице, то число b весьма мало по сравнению с числом а и эллипс сильно вытянут вдоль большой оси. Таким образом, эксцентриситет эллипса характеризует меру вытянутости эллипса. Соотношения для фокальных радиусов для эллипса примут вид

r₁ = a + ε ·x, r₂ = a - ε ·x

Эксцентриситет параболы

При рассмотрении директориальных свойств эллипса и гиперболы мы по существу выяснили геометрический смысл эксцентриситетов этих кривых: эксцентриситет эллипса и гиперболы есть постоянное число, равное отношению расстояния от каждой их точки до фокуса. Из определения параболы следует, что её точки обладают аналогичным свойством, то есть MF/p(M, d)=const=1

, то есть эксцентриситетом параболы является число 1.

Вопрос №20

Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви гиперболы и параболы, имеет вид

, (1)

где , - полярные координаты произвольной точки линии, р - фокальный параметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к ее оси), - эксцентриситет (в случае параболы ). Полярная система координат при этом выбрана так, что полюс находится в фокусе, а полярная ось направлена по оси линии в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусу директрисы.

Вопрос №21

Вопрос 22

Параболо́ ид ― тип поверхности второго порядка. Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

2z=x²/p+y²/q

Если p и q одного знака, то параболоид называется эллиптическим.

если разного знака, то параболоид называется гиперболическим.

если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.

Эллиптический параболойд

2z=x²/p+y²/q

Эллиптический параболойд если p=q

2z=x²/p+y²/q

Гиперболический параболойд

2z=x²/p-y²/q

Параболический цилиндр 2z=x²/p(или 2z=y²/q)

Вопрос23

Вещественное линейное пространство называется Эвклидовым, если в нем определена операция скалярного умножения: любым двум векторам x и y сопоставлено вещественное число ( обозначаемое (x, y) ) , и это соответственно удовлетворяет следующим условиям, каковы бы ни были векторы x, y и z и число C:

1.(x, y)=(x, y)

2. ( x+y, z)=(x, z)+(y, z)

3. (Cx, y)= C( x, y)

4. (x, x)> 0, если x≠ 0

Простейшие следствия из вышеуказанных аксиом:

1. (x, Cy)=(Cy, x)=C(y, x) следовательно всегда (X, Cy)=C(x, y)

2. (x, y+z)=(x, y)+ (x, z)

3. ( )= (x_i, y)

( )= (x, y_k)

4.(x, 0)=0

Пусть есть базис Eⁿ e₁, …, e_n

И вектор X= , выражается через векторы базиса X=x₁*e₁+…+x_n*e_n

И есть новый базис e₁^/, …., e_n^/,

Тогда: e₁^/ =S₁₁e₁+…+S_n₁e_n

…………………………………

e_n^/ =S₁_ne₁+…..+S_nne_n

А вектор X в новом базисе X^/= X^/=x₁^/*e₁^/+…+x_n^/*e_n^/

X=SX^/, X^/=S^-1X, где S матрица перехода

S= , где каждый k-й столбец это координаты k-го базисного вектора

Неравенство Коши-Буняковского

Для любых двух элементов х и у произвольного евклидова пространства справедливо неравенство

(x, y)^2 ≤ (x, x)(y, y),

называемое неравенством Коши-Буняковского.

Доказательство. Для любого вещественного числа λ, в силу аксиомы 4° скалярного произведения, справедливо неравенство (λ х — у, λ х — у) > 0. В силу аксиом 1°-3°, последнее неравенство можно переписать в виде

λ ^2(x, x) - 2λ (x, y) + (y, y) ≤ 0

Необходимым и достаточным условием неотрицательности последнего квадратного трехчлена является неположительность его дискриминанта, т. е. неравенство (в случае (х, х) = 0 квадратный трехчлен вырождается в линейную функцию, но в этом случае элемент х является нулевым, так что (х, у) = 0 и неравенство (4.7) также справедливо)

(x, y)^2 - (x, x)(y, y) ≤ 0.

Неравенство треугольника(следствие из неравенства Коши-Буняковского)

Для любых векторов и

Доказательство

Извлекаем корень получаем

Вопрос24

Замечание.

Если

X =

æ ç ç ç ç è

x₁

x₂

…

x_n

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

и Y =

æ ç ç ç ç è

y₁

y₂

…

y_n

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

— координатные столбцы векторов x и y в ортонормированном базисе e₁, e₂, …, e_n, то их скалярное произведение в этом базисе можно записать в матричной форме:

(x, y) = x₁ y₁ + x₂ y₂ + … x_n y_n = (x₁ x₂ … x_n) ·

æ ç ç ç ç è

y₁

y₂

…

y_n

ö ÷ ÷ ÷ ÷ ø

= X^T · Y,

где X^T — матрица–строка, получаемая из столбца X с помощью операции транспонирования.

Вопрос 26

Деление.

Представление комплексного числа на плоскости:

Вопрос №2.

Модуль комплексного числа a + bi обозначается как |z| или |a + bi| и равен корню из суммы квадратов a и b.

Операции с комплексными числами, представленными в тригонометрической форме.

Вопрос №3.

Формула Муавра.

k = 0, 1, 2, …, n – 1.

Вопрос №4

Формула Эйлера

Показательной функцией с мнимым показателем степени называется комплексная функция

Где параметр t может принимать любые действительные значения

Вопрос № 5

12 3 Следующая ⇒