Тема 5. Метод средних величин и вариационный анализ

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 12Следующая ⇒

Средняя величина – это обобщающая количественная характеристика совокупности по изучаемому признаку в конкретных условиях места и времени. Средняя величина отражает то общее и типичное, что присуще единицам данной совокупности.

Расчет средней начинается с определения логической формулы, исходного соотношения показателя (ИСС):

ИСС=А/В

где А – объем изучаемого события в совокупности: это суммарная абсолютная величина;

В – объем совокупности: это число единиц совокупности.

Форма, вид и методика расчета средней величины зависят от поставленной цели, вида и взаимосвязи изучаемых признаков, а также от характера исходных данных.

Средние величины делятся на 2 основные категории:

ü степенные (аналитические, порядковые) средние (арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая);

ü структурные (позиционные) средние (мода и медиана) — применяются для изучения структуры рядов распределения.

Степенные средние

Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя считается по не сгруппированным данным и имеет следующий общий вид:

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака;

m – показатель степени средней;

n – число вариант.

Взвешенная средняя считается по сгруппированным данным и имеет общий вид:

где Xi – варианта (значение) осредняемого признака или серединное значение интервала, в котором измеряется варианта;

m – показатель степени средней;

fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

1. средняя арифметическая (к=1).

а) простая - спользуется, когда расчет осуществляется по несгруппированным данным:

где xi — i-й вариант осредняемого признака; n — число вариант

б) взвешенная- используется, когда данные представлены в виде рядов распределения или группировок

, где fi — частота повторяемости i-го варианта

2. средняя гармоническая (к=-1),

а) невзвешенная- используется в случае, когда веса равны

б) взвешенная- спользуется, когда известны индивидуальные значения признака и общий объем явления ( W_i =X_if)

3. средняя геометрическая (к=0) применяется при исчислении средних темпов динамики

4. средняя квадратическая (к=2). Если при замене индивидуальных величин признака на среднюю величину необходимо сохранить неизменной сумму квадратов исходных величин, то применяют среднюю квадратическую. Пример: есть 3 квадратных земельных участка со сторонами 100, 200, 300 м. Таки образом их общая площадь составит: 100²+200²+300²=140 000 м²Найти среднюю величину сторон. Если (100+200+300)/3=200 м., но общая площадь участков при этом не сохранится: (200*200)*3=120 000 м². Применим формулу простой средней квадратической:

216 м²

Площадь: 216*216*3≈ 140 000 м²

Средняя квадратическая взвешенная:

Средняя квадратическая применяется при исчислении показателей вариации.

5. Средняя кубическая (к=3)

Правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина:

Структурные средние

Медиана (Ме) — это вариант, который находится а середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу наблюдений) части. В ранжированных рядах не сгруппированных данных нахождение медианы сводится к отысканию порядкового номера и значения варианта у этого номера.

Медиана в интервальных вариационных рядах рассчитывается по формуле:

где X _Me – нижняя граница медианного интервала;

h –величина медианного интервала;

S _Me-1 – кумулятивная частота предмедианного интервала;

f _Me – частота медианного интервала

Модой (Мо) вариационного ряда называется вариант, которому соответствует наибольшая частота.

Для вычисления моды в интервальном ряду сначала находится модальный интервал, имеющий наибольшую частоту (или наибольшую плотность распределения — отношение частоты интервала к его величине ni/hi — в интервальном ряду с неравными интервалами), а значение моды определяется линейной интерполяцией:

где Х _Mo– нижнее значение модального интервала;

h – величина интервала;

f_MО, f_MО-1, f_MО+1– частота (в интервальном ряду с равными интервалами) или плотность распределения (в интервальном ряду с неравными интервалами) модального, предмодального и послемодального интервалов.

Средняя, мода и медиана совместно используются при анализе ряда распределения по структуре (на симметрию).

Если Мо< Ме< , то данный ряд ассиметричен (правосторонняя ассиметрия).

Если Мо=Ме= , то ряд симметричен.

Вариацией называется изменяемость, колеблемость величины признака. Вариация проявляется в отклонениях от средних и зависит от множества факторов, влияющих на социально-экономическое явление

Вариация признака под воздействием все факторов называется общей вариацией. Вариация, порождаемая существенными факторами, называется систематической вариацией. Вариация, порождаемая случайными, периодическими факторами, называется случайной вариацией.

Показатели вариации делятся на абсолютные и относительные.

Абсолютные показатели:

· размах вариации,

· среднее линейное отклонение,

· дисперсия,

· среднее квадратическое отклонение.

Относительные показатели:

· относительный размах вариации;

· относительное линейное отклонение;

· коэффициент вариации.

Тема 6. Индексный метод

Индексом в статистике называется относительный показатель, характеризующий изменение величины какого-либо явления по сравнению с эталоном.

Классификация индексов.

1. Содержание изучаемых объектов

ü Количественные (объемные) индексы (физического объема, товарооборота национального дохода)

ü Качественные индексы (интенсивности) (курса валют, цен, себестоимости, производительности труда)

2. Степень охвата элементов совокупности;

ü Индивидуальные (изменение одного показателя однотоварного)

ü общие (групповые или субидексы (по отраслям))

3. Метод расчета

ü Агрегатные

ü Средние

4. База сравнения

ü Динамические

ü Территориальные (например, индекс цен на товары в РФ и ФРГ)

5. Вид весов

ü С постоянными весами

ü С переменными весами

6. Состав явления

ü Постоянного состава

ü Переменного состава

ü Структурных сдвигов

7. Период исчисления

ü Годовые

ü Квартальные

ü Помесячные

Индивидуальные индексы служат для характеристики изменения отдельных элементов сложного явления. Например, изменение объема производства отдельных видов продукции (телевизоров, электроэнергии и т.д.), а также цен на акции какого-либо предприятия. Например, индивидуальный индекс физического объема продукции показывает, во сколько раз возрос (уменьшился) выпуск какого-либо одного товара в отчетный период по сравнению с базисным или сколько процентов составляет рост (снижение) выпуска товара:

В экономических расчетах чаще всего используются общие индексы. В зависимости от цели исследования и наличия исходных данных используют различные формы построения общих индексов — агрегатную или средневзвешенную (среднюю из индивидуальных индексов).

Агрегатный индекс — сложный относительный показатель, который характеризует среднее изменение социально-экономического явления, состоящего из несоизмеримых элементов.

Числитель и знаменатель агрегатного индекса представляют собой сумму произведений двух величин, одна из которых меняется (индексируемая величина) – это признак, изменение которого изучается, а другая выступает соизмерителем и остается неизменной в числителе и знаменателе (вес) индекса. В теории статистики при выборе весов пользуются следующими правилами: индексы динамики количественных (объемных) показателей рассчитывают с весами базового периода, а качественных – с весами текущего периода. Такое правило сообразуется с сущностью рассчитываемых показателей, и, кроме того, позволяет построить систему взаимосвязанных индексов.

Например, индекс физического объема продукции — это индекс количественного показателя. В этом индексе индексируемой величиной будет количество продукции в натуральном выражении, а весом — цена.

В числителе дроби — условная стоимость произведенных в текущий период товаров в ценах базисного периода, а в знаменателе — фактическая стоимость товаров, произведенных в базисном периоде. Разность числителя и знаменателя показывает, на сколько рублей изменилась стоимость продукции в результате роста (уменьшения) ее объема.

Индекс цен показывает, во сколько раз возросла (уменьшилась) стоимость продукции из-за изменения цен или сколько процентов составляет рост (снижение) стоимости продукции в результате изменения цен.

Индекс стоимости продукции, или товарооборота–агрегатный результативный показатель. Его задача – сравнение стоимости продукции. Он представляет собой отношение стоимости продукции текущего периода к стоимости продукции в базисный период и определяется по формуле:

Как отмечалось ранее, стоимость продукции можно представить как произведение количества товара на его цену. Такая же зависимость существует и между индексами стоимости, физического объема и цен:

Средний индекс — это сводный индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов.

К их исчислению прибегают тогда, когда имеющаяся в распоряжении информация не позволяет рассчитать общий агрегатный индекс. Например, если отсутствуют данные о ценах, но имеется информация о стоимости продукции в текущий период и известны индивидуальные индексы цен по каждому товару, то нельзя определить общий индекс цен как агрегатный, но можно вычислить его как средний из индивидуальных индексов.

Средний арифметический индекс - чаще всего применяется на практике для расчета сводных индексов количественных показателей:

Средний гармонический индекс - применяется чаще для качественных показателей

Особые формы записи индекса цен

Индекс Пааше (немецкий ученый-статистик)- показывает, насколько товары в текущий период стали дороже (дешевле), чем в базисный:

Индекс Ласпейреса (немецкий ученый-статистик)- показывает, во сколько бы раз товары базисного периода подорожали (подешевели) из-за изменения цен на них в отчетный период:

Индексируемой величиной обеих индексов являются цены.

Весами в индексе цен Пааше выступает количество продукции текущего периода, а в индексе Ласпейреса — количество продукции базисного периода.

На рассмотренных двух вариантах построения индексов, Фишер предложил рассчитывать среднюю геометрическую индексов цен Пааше и Ласпейреса. Этот индекс называют индексом Фишера или «идеальным» индексом:

Индекс цен Лоу:

где – средняя величина реализации товаров за 2 или большее число периодов

Индекс цен для пространственно-территориальных сопоставлений или индекс Эджворта-Маршалла:

Индексы средних уровней

Изменение среднего уровня качественного показателя оценивается с помощью индекса переменного состава. Так, например, индекс средней цены равен:

На формирование среднего уровня качественного показателя (цены, себестоимости, трудоемкости) оказывают влияние 2 фактора:

1) Изменение индивидуальных значений самой индексируемой величины (индекс цен постоянного состава);

2) Изменение структуры исследуемой совокупности (индекс структуры).

Индекс цен постоянного состава показывает, как изменяется средняя цена в результате изменения цен в отдельных фирмах:

Индекс структурных сдвигов позволяет оценить влияние изменения структуры совокупности на средний показатель:

Перечисленные индексы образуют систему:

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒