I. Интегральное исчисление функции одной переменной

МАТЕМАТИКА

ЧАСТЬ II

Рабочая программа, методические указания и
варианты заданий контрольных работ № 3 и № 4 для студентов специальностей

280202 «Инженерная защита окружающей среды» и
080505 «Управление персоналом»

Института дистанционного образования

Специальности
Семестр
Лекции, часов
Практические занятия, часов
Контрольные работы	3, 4	3, 4
Самостоятельная работа, часов
Формы контроля	экзамен	экзамен

Томск 2008

УДК 517

Математика. Часть II: рабочая программа, метод. указания и варианты заданий контрольных работ № 3 и № 4 для студентов спец. 280202 «Инженерная защита окружающей среды» и 080505 «Управление персоналом» ИДО / Сост. О. Н. Ефремова, Е. А. Молдованова, С. В. Рожкова, В. И. Рожкова, O. В. Рожкова, Г. М. Матвеенко, Г. А. Никольская. – Томск:
Изд-во ТПУ, 2008. – 91 с.

Рабочая программа, методические указания и варианты контрольных заданий рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры высшей математики 30 сентября 2007 г, протокол № 6.

Заведующий кафедрой, профессор ________________К.П. Арефьев

Аннотация

Рабочая программа, методические указания и варианты заданий контрольных работ № 3 и № 4 по дисциплине «Математика. Часть II» предназначены для студентов специальностей 280202 «Инженерная защита окружающей среды» и 080505 «Управление персоналом» ИДО ТПУ.

Объем и содержание контрольных работ определяется программой утвержденной Советом университета 24.12.93 г. в соответствии с приказом Госкомитета РФ от 18.05.92 г. Представлены содержание тем дисциплины, темы практических занятий, методические указания и контрольные задания по разделам: интегральное исчисление функции одной переменной; дифференциальные уравнения первого порядка, числовые ряды, функциональные ряды.

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

В современной науке и технике математические методы исследования, моделирования играют все большую роль. Это обусловлено, прежде всего, быстрым ростом вычислительной техники, благодаря которой все время существенно расширяются возможности успешного применения математики при решении конкретных задач.

Математика является фундаментальной дисциплиной. Её преподавание предусматривает:

1) развитие логического и алгоритмического мышления;

2) овладение основными методами исследования и решения математических задач;

3) овладение численными методами;

4) выработку умения самостоятельно расширять математические знания и применять математику к решению научных и инженерных задач.

Общий курс математики является фундаментом математического образования инженера, имеющим важное значение для изучения общетеоретических и специальных дисциплин.

Рабочая программа написана в соответствии с учебной программой химических специальностей.

В эту часть включены следующие разделы:

1) интегральное исчисление функции одного аргумента;

2) дифференциальные уравнения первого порядка;

3) числовые ряды, функциональные ряды.

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ

I. Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл

Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей разных типов. Теорема о разложении многочлена на простые множители.

Интегрирование рациональных функций методом разложения их на простейшие дроби.

Интегрирование тригонометрических функций различных классов.

Интегрирование алгебраических иррациональностей различных видов и дифференциального бинома.

Определенный интеграл

Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла.

Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям, подстановкой.

Приложения определенного интеграла к вычислению площадей, длин дуг, объемов тел, вычисление работы.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Несобственные интегралы от неограниченной подынтегральной функции. Основные свойства.

Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.

II. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Понятие об особых решениях.

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное уравнение.

Линейное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли и в полных дифференциалах.

III. Числовые ряды

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.

Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

IV. Функциональные ряды

Основные понятия. Область сходимости.

Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

V. Степенные ряды

Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.

Разложение функций в степенные ряды.

Ряды Тейлора и Маклорена.

Применение рядов к приближенным вычислениям.

СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАЗДЕЛА ДИСЦИПЛИНЫ

Контрольные работы

Общие методические указания

Студент выполняет контрольную работу по варианту, номер которого совпадает с последними цифрами его учебного шифра. Например, если личный шифр студента 21443-14, то это значит, что в контрольной работе
№ 5 Вы должны выполнить задания 1 - 14, 2 - 14, 3 - 14 и т. д.

Если последние цифры шифра превосходят число 20, следует вычесть число, кратное 20. Например, 5311/26, соответствует вариант № 6, полученный при вычитании или шифру 5311/53 соответствует
№ 13 .

Неопределенный интеграл

Определение 1. Пусть функция определена на некотором интервале и для всех существует такая функция , что . Тогда называется первообразной для на .

Например, одной из первообразных функций для функции будет . Первообразная не единственна, т. к. = + = , = , а поэтому , также являются первообразными для .

Теорема.Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на интервале , отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое, т.е. если и – некоторые первообразные, т. е. = и = то – .

Следствие. Прибавляя к какой-либо первообразной для данной функции , определенной на промежутке , всевозможные постоянные , мы получим все первообразные для функции .

Определение 2. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом .

При этом называется подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования.

Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:

, где , постоянная может принимать любое значение и называется произвольной постоянной.

Таблица интегралов

Полезно помнить таблицу дифференциалов:

Отметим несколько преобразований, полезных для отыскания первообразных:

1. , где ;

2. , ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

и вообще: . Эту формулу называют подведением множителя под знак дифференциала. Используя таблицу интегралов и эти формулы, найдем некоторые интегралы.

Метод подстановки

Пусть имеет первообразную, а непрерывна и дифференцируема, тогда . (4)

Пример 5. Найти .

Чтобы избавиться от корня, полагаем , отсюда . Найдем . Для этого продифференцируем равенство , получим ; тогда . Подставим в подынтегральное выражение; получим интеграл вида: .

Итак, .

Пример 6. Найти .

Здесь удобно применить тригонометрическую подстановку , с помощью которой мы избавимся от корня. Отсюда .

Тогда

Пример 7.

= = подставляя в формулу (5) получим =

= =

Иногда формула интегрирования по частям применяется несколько раз. Рассмотрим пример такого интеграла.

Пример 8. =

= =

Здесь формулу интегрирования по частям мы применили к полученному интегралу еще раз.

Замечание. Иногда применение формулы интегрирования по частям приводит к исходному интегралу, который в таком случае называется циклическим или круговым.

Пример 9. Найти интеграл = .

Получили интеграл, в котором заменился на .

Проинтегрируем еще раз по частям, обозначим:

Тогда =

, т.е. пришли к искомому интегралу

Таким образом,

Найдем

Упрощая, получим:

Это пример циклического интеграла.

Пример 10.

, здесь .

Пример 11.

Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен, можно вычислить, применяя прием выделения полного квадрата разности или суммы. Рассмотрим пример такого интеграла.

Пример 12.

= =

= ;

Возвращаясь к старой переменной, получим:

Примеры интегрирования рациональных функций

Пример 13. = ;

− это неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель.

Тогда , где - целая часть дроби,

- правильная рациональная дробь, знаменатель которой разлагается на множители: .

Корни знаменателя: , а не имеет действительных корней.

Тогда разложение для данной дроби имеет вид:

Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:

.Приравнивая числители обеих дробей, получим уравнение: 2= .

Пусть , тогда 2=2 . Коэффициенты найдем из системы:

Откуда .

Тогда = = =

Пример 14. .

– правильная дробь. Разложим знаменатель на простейшие сомножители, получим: .

Корни знаменателя: - кратности 2 и – простые корни.

Запишем разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших:

Приведем дроби к общему знаменателю, затем приравняем числители обеих дробей. Получим тождество:

Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.

Откуда , , .

Чтобы найти коэффициент составим уравнение, приравнивая коэффициенты при слева и справа в тождестве.

Получим уравнение: Откуда .

Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.

Пример 16.

= = = .

Пример 17. .

Применим универсальную тригонометрическую подстановку: , , , .

;

Разложим дробь на простейшие ;

Откуда .

Найдем коэффициенты разложения из системы:

Проинтегрируем: =

IV. Если и – дробные либо целые (отрицательные) числа и – целое отрицательное число, тогда рекомендуется подстановка , ,

или , , .

Пример 18. ;

т.к. четное отрицательное число.

Используем подстановку , , , ;

V. Интегралы вида , , где > , > 0 вычисляются при помощи подстановки , и , .

Пример 19.

;

- .

VI. Интегралы вид

где , – действительные числа.

Напомним известные тригонометрические формулы:

;

Заменив подынтегральные функции по этим формулам, получим интегралы, которые вычисляются просто.

Пример 20. =

= .

Определенный интеграл

Изучение определенного интеграла начинаем со следующей задачи. Пусть функция определена на , . Попробуем отыскать метод вычисления площади фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной осью , прямыми , и графиком функции , рис. 1.

Рассмотрим частные случаи

1. Функция постоянна на . В таком случае рассматриваемая фигура является прямоугольником, а его площадь равна длине основания , умноженной на высоту

2. Пусть непрерывна на . Разделим отрезок на произвольных частей точками . Выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину .

Умножим найденные значения на длину , т.е. .

Составим сумму всех таких произведений

(1)

Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции на отрезке .

Обозначим .

Найдем предел интегральной суммы (1), когда так, что
.

Если при этом интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число под определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, - областью интегрирования.

Формула Ньютона - Лейбница

Если - первообразная для непрерывной на функции , то имеет место равенство:

Формула Ньютона - Лейбница дает удобный способ вычисления определенного интеграла.

Примеры.

Формула Ньютона - Лейбница лежит в основе следующих методов, полезных при вычислении определенных интегралов.

Интегрирование по частям

Для любых непрерывно дифференцируемых на функций и имеет место равенство:

Или в обозначениях

Примеры. Вычислить:

Несобственные интегралы

Пусть теперь функция определена и непрерывна на бесконечном интервале . Тогда для любого значение интеграла определено и зависит от .

Если существует конечный предел , то этот предел называется несобственным интегралом от на и обозначается через .

В этом случае говорят, что сходится.

В противном случае, т.е. когда конечного предела для интеграла при не существует, говорят о расходимости несобственного интеграла .

Аналогично, определяются следующие несобственные интегралы для других бесконечных пределов

где с - произвольное число.

Примеры.

1) Вычислить:

2) Установить, при каких интеграл сходится?

Пусть . Тогда

Таким образом,

Значит, если , то , т. е. интеграл сходится.

Если , то , т. е. интеграл расходится.

При a=1, , т. е. интеграл расходится.

Таким образом,

т.е. расходится.

Важную роль в решении вопроса о сходимости (расходимости) несобственного интеграла играет теорема сравнения:

Если функции и определены на интервале и для некоторого справедливо неравенство то из сходимости интеграла (из расходимости ) следует сходимость интеграла (расходимость ).