Вынужденные колебания в последовательном колебательном контуре

Цель работы: изучение явления резонанса в RLC- контуре, определение резонансной частоты и добротности контура.

Приборы и принадлежности: генератор звуковой частоты ЗГ1, вольтметр АВ1, стенд СЗ-ЭМ01, соединительные провода.

Краткие теоретические сведения

Последовательный колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью C, индуктивности L, омического сопротивления R и источника переменной ЭДС e, включенных последовательно (рис. 1).

По закону Ома для неоднородного участка цепи сила тока

I=(e+e_s-Dj)/R, (1)

где e - ЭДС источника переменного напряжения, которая изменяется по синусоидальному закону e=e0sin(Wt), e_s - ЭДС самоиндукции, возникающая в индуктивности, Dj - разность потенциалов на обкладках конденсатора, которую в дальнейшем будем обозначать через U.

Составим дифференциальное уравнение, описывающее колебательный процесс в рассматриваемом контуре;

IR=e - LdI/dt - U. (2)

Силу тока в цепи I и напряжение на конденсаторе U можно связать, рассматривая процесс изменения заряда конденсатора;

I=dq/dt, U=q/C, I=CdU/dt. (3)

Подставив (3) в (2), получим

. (4)

Введём обозначения: R/2L=b, 1/CL=w02и e0/CL=E0(w0- частота собственных колебаний контура, b - коэффициент затухания, W - частота вынуждающего ЭДС). После их подстановки в (4) имеем неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

. (5)

Решением его является сумма частного решения неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, которым в установившемся режиме колебаний можно пренебречь. Частное решение неоднородного уравнения (5) имеет вид

U=U_o(W)sin(Wt+j), (6)

где величины U0и j могут быть найдены подстановкой (6) в (5). График вынужденных колебаний представлен на рис. 2. Они происходят с частотой вынуждающей ЭДС.

Параметр j, представляющий собой сдвиг фаз колебаний напряжения на конденсаторе по отношению к колебаниям вынуждающей ЭДС, в лабораторной работе не определяется.

Амплитуда вынужденных колебаний

. (7)

Из формулы (7) видно, что U0зависит от амплитуды вынуждающей ЭДС E0и параметров колебательного контура w0и b. Исследование зависимости U0(W) показывает:

1) при W®0 напряжение на конденсаторе U0®e0;

2) функция U0(W) обладает максимумом при частоте генератора

(доказать самостоятельно);

3) напряжение на конденсаторе U0стремится к нулю при W®∞.

Графики зависимости U0(W) для различных коэффициентов затухания b приведены на рис. 3. Данные графики отражают явление резонанса напряжений. Частота вынуждающей ЭДС, при которой U0=U0^max, называется резонансной. Она зависит от параметров колебательного контура.

Следует отметить, что резонанс для тока наблюдается при частоте w0, не зависящей от b (рис. 4).

Для колебательного контура вводится понятие добротности

Q_i = U_oi^max/e_o (9)

или

, (10)

где R₀ – собственное сопротивление контура.

Порядок выполнения работы

1. Соберите схему, приведенную на рисунке 5. По указанию преподавателя подключите одну из емкостей С₁, С₂ или С₃. Установить частоту генератора ~ 100 Гц для этого с помощью кнопки «F» выбрать необходимый диапазон, точную настройку осуществить с помощью регулятора “F”. Установить на реостате R=0, установите величину U_cо в пределах 1¸ 3 В по показаниям вольтметра. Запишите это значение в таблицу 1.

2. Найдите резонансный диапазон частот, переключая диапазоны кнопкой «F». В этом диапазоне напряжение увеличивается в несколько раз.

3. Изменяя частоту генератора определить приблизительно резонансную частоту контура n_р и максимальное значение напряжения на емкости U_m. Выбрать интервал изучения резонансной кривой следующим образом: n₁< n_р, U_c(n₁)~0, 1U_m, но не меньше U_co; n₂> n_р, U_c(n₂)~0, 1U_m. Плавно изменяя частоту генератора в интервале от n₁ до n₂ получить 10¸ 15 пар значений (U_ci, n_I). результаты занести в таблицу.

4. Установить величину R=200 Ом и повторить измерения п.3 в том же интервале частот.

5. Изменить величину емкости и определить резонансную частоту n_р2 при R=0. Результат занести в таблицу.

6. По результатам измерений п.2, 3. построить резонансные кривые и определить добротность контура по соотношению

где 2Dn- ширина резонансной кривой при U_c.

7. Проверить соотношение .

8. Сделать выводы по влиянию на резонанс изменений сопротивления и емкости.

Таблица 1

№	U_co, В	C₁, мкФ	R=0	R=200 Ом	C₂, мкФ	n_р_{2, кГц}
n_I, кГц	U_ci, В	n_I, кГц	U_ci, В

Контрольные вопросы

1. Дифференциальное уравнение колебаний в последовательном RLC –контуре.

2. График затухающих колебаний. Коэффициент затухания, частота и период колебаний.

3. Логарифмический декремент затухания, добротность контура

4. Определение индуктивности контура в работе.

5. Определение логарифмического декремента затухания. Критическое сопротивление и его определение в работе.

Лабораторная работа № 6.22

1 2 345