Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденными называются колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней, периодически изменяющейся силы (эта сила называется вынуждающей силой).

Рассмотрим простейший случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону и отсутствуют силы трения:

Будем считать, что циклическая частота вынуждающей силы не равна частоте собственных колебаний системы. Поскольку в системе возникают колебания, то должна иметься еще упругая сила

В общем случае может присутствовать еще и сила трения, которая, как мы видели, приводит к затухающим колебаниям. Но для упрощения задачи предположим вначале, что сил трения нет. В конце покажем, к чему приводит учет сил трения.

Итак, на систему действуют две силы – вынуждающая и сила упругости.

По II закону Ньютона

Введем обозначения:

где – циклическая частота собственных колебаний системы (в отсутствии трения);

это неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Его решение складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения, как мы видели, представляет собой гармонические колебания. Они важны только в начальной стадии процесса, а затем устанавливаются вынужденные колебания, которые описываются частным решением неоднородного уравнения. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только это решение:

. (34)

Множитель перед гармонической функцией является амплитудой колебаний.

Из последней формулы видно, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения циклической частоты вынуждающей силы w и частоты собственных w₀ колебаний системы.

Исследуем эту зависимость в частных случаях.

1. . В этом случае колебания не совершаются и смещение равно статической деформации под действием постоянной силы F₀:

2. . Из формулы (34) видно, что в этом случае . Это связано с тем, что при большой частоте вынуждающей силы, эта сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

3. . При этом .

Следовательно, при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний системы амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом, а частота называется резонансной частотой.

Рис.26

Для упрощения решения мы пренебрегли силой трения. При учете сил трения амплитуда при резонансе уже не будет стремиться к бесконечности, а будет иметь конечное значение. При этом чем больше силы трения, т.е. чем больше коэффициент затухания , тем меньше амплитуда при резонансе, т.е. явление резонанса проявляется слабее (рис.26).

Кроме того, при учете сил трения формула для резонансной циклической частоты будет иметь следующий вид:

Отсюда видно, что с увеличением коэффициента затухания уменьшается, т.е. положение максимума при резонансе смещается в область меньших частот.

Явление резонанса широко используется в радиотехнике (настройка приемника), акустике. Ряд оптических явлений (например, аномальная дисперсия) связан с резонансом.

В различных сооружениях и машинах, подвергающихся периодически изменяющимся нагрузкам, резонанс весьма опасен. Он может вызвать их разрушение вследствие значительного возрастания амплитуды колебания. При проектировании машин и сооружений это следует учитывать.

Контрольные вопросы и задачи

1. Что происходит с амплитудой колебаний, если частота внешней силы приближается к частоте собственных колебаний системы?

Рис27

2. Чему равняется амплитуда колебаний, период колебаний и частота колебаний, график которых изображен на рис.27? Масштаб оси ординат – метры.

3. Точка совершает колебательное движение по двум взаимно-перпендикулярным направлениям в соответствии с уравнениями и . Какую форму имеет траектория движущейся точки?

4. Материальная точка совершает колебания вдоль оси х в соответствии с соотношением (м). Какова скорость движения точки в момент времени t = 0?

5. Как изменится период колебаний груза, подвешенного на пружине, если жесткость пружины уменьшится в 16 раз?

6. Как изменится период колебаний пружинного маятника при увеличении массы груза в 4 раза?

7.Начальная фаза колебаний точки равна . Период колебаний Т = 0, 06 с. Определить ближайшие моменты времени, в которые скорость и ускорение в два раза меньше их амплитудных значений.

8. Определить амплитуду колебания, возникающего при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковых частот, с разностью фаз 60⁰и амплитудами, равными 2 см и 4 см.

9. Тело массой m = 2 кг совершает колебания по закону (х₀ = 2 см; ω = 2 рад/с). Определить силу, действующую на тело, и его максимальную кинетическую энергию.

Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 131415 16 17 18 19 Следующая