Методы анализа основной тенденции развития

В рядах динамики

Одной из важнейших задач статистики является определение в рядах динамики общей тенденции развития явления.

На развитие явления во времени оказывают влияние факторы, различные по характеру и силе воздействия. Одни из них оказывают практически постоянное воздействие и формируют в рядах динамики определённую тенденцию развития. Воздействие же других факторов может быть кратковременным или носить случайный характер. Поэтому при анализе динамики речь идёт не просто о тенденции развития, а об основной тенденции, достаточно стабильной на протяжении изученного этапа развития.

Основной тенденцией развития (трендом) называется плавное и устойчивое изменение уровня явления во времени, свободное от случайных колебаний. Задача состоит в том, чтобы выявить общую тенденцию в изменении уровней ряда, освобождённую от действия различных случайных факторов. С этой целью ряды динамики сглаживаются (выравниваются).

Выравнивание (сглаживание) производится:

1) методом укрупнения интервалов;

2) способом скользящей (подвижной) средней;

3) аналитическим способом.

Одним из наиболее простых методов изучения основной тенденции в рядах динамики является укрупнение интервалов. Он основан на укрупнении периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики. Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции.

При выравнивании способом скользящей средней укрупняется интервал и вместо каждого уровня заданного ряда берутся средние из окружающих его уровней с той и другой стороны. Получается средняя, охватившая группу 3, 5, 7 уровней, в середине которых находится рассчитанный средний уровень:

Пример. Имеются следующие данные о выгрузке из вагонов картофеля (таблица 15). Произведем расчет подвижной средней путем сглаживания уровней ряда динамики.

Таблица 15 – Расчет подвижной трехмесячной средней по выгрузке картофеля

Из вагонов, т

в тоннах

Месяцы	Отгрузка картофеля	Подвижная трехмесячная сумма	Подвижная трехчленная средняя
Январь Февраль Март Апрель Май июнь	40, 4 36, 8 40, 6 38, 0 42, 2 48, 5	– 40, 4 + 36, 8 + 40, 6 = 117, 8 36, 8 + 40, 6 + 38, 0 = 115, 4 40, 6 + 38, 0 + 42, 2 = 120, 8 38, 0 + 42, 2 + 48, 5 = 115, 4 –	– 117, 8: 3 = 39, 27 115, 4: 3 = 38, 47 120, 8: 3 = 40, 3 –

Сглаженный ряд по трём месяцам короче фактического на один уровень в начале и в конце.

При подвижной пятичленной сумме в выровненном ряду будут отсутствовать показатели первых двух начальных и конечных двух членов. Недостатком сглаживания ряда является «укорачивание» по сравнению с фактическим, а следовательно, потеря информации.

Для того чтобы создать количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней динамического ряда во времени, используется аналитическое выравнивание, при котором общая тенденция развития рассчитывается как функция времени:

ŷ _t = f (t),

где ŷ _t – уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему

аналитическому уравнению на момент времени t.

Определение теоретических (расчётных) уровней ŷ _t производится на основе так называемой адекватной математической модели, которая наилучшим образом отображает (аппроксимирует) основную тенденцию ряда динамики. Выбор типа модели зависит от цели исследования и должен быть основан на теоретическом анализе, выявляющем характер развития явления, а также на графическом изображении ряда динамики.

Подбор адекватной функции осуществляется методом наименьших квадратов, который предполагает, что отклонение суммы квадратов между теоретическими ŷ _t и эмпирическими у_i уровнями должно быть минимальным:

Σ (ŷ _t – у_i ) = min.

Подбор математической функции зависит от типа развития рассматриваемого явления.

Равномерное развитие. Для него характерны постоянные абсолютные приросты, основная тенденция развития описывается линейной функцией

= а₀+ а₁t,

где – уровень, найденный по уравнению;

а₀ и а₁ – параметры уравнения, которые при применении способа наимень-

ших квадратов находятся из решения системы нормальных уравнений;

t – время или иной аргумент.

Равноускоренное (равнозамедленное) развитие. Уровни таких рядов динамики изменяются с постоянными темпами прироста. Основная тенденция развития в таких рядах динамики отображается функцией параболы второго порядка

= а₀+ а₁t + а₂t².

Развитие с переменным ускорением (замедлением). Для этого типа динамики основная тенденция развития выражается функцией параболы третьего порядка:

= а₀+ а₁t +а₂t²+ а₃t³.

Развитие по экспоненте. Этот тип динамики характеризуют стабильные темпы роста. Основная тенденция в рядах динамики отображается показательной функцией

= а₀а₁^t.

Развитие с замедлением роста в конце периода. Основная тенденция развития в этих рядах динамики выражается полулогарифмической функцией

= а₀+ а₁lg t.

При аналитическом выравнивании могут быть использованы и другие функции:

степенная = а₀t^а1;

гиперболы = а₀+ а₁1/ t.

Аналитическое выравнивание динамического ряда по прямой. Выравнивание по прямой – это нахождение плавного изменения уровня ряда динамики согласно уравнению прямой

= а₀+ а₁t,

где – теоретический уровень, найденный по уравнению;

а₀ и а₁ – параметры уравнения;

t – время или иной аргумент.

Параметры а₀ и а₁ согласно методу наименьших квадратов находятся из решения системы нормальных уравнений:

Расчёт параметров значительно упрощается, если за начало отсчёта времени (t = 0) принять центральный интервал (момент). При чётном числе уровней значения условного обозначения времени t будут такими:

2000 г. 2001 г. 2002 г. 2003 г.

– 3 – 1 + 1 + 3

При нечётном числе уровней:

2000 г. 2001 г. 2002 г. 2003 г. 2004 г.

– 2 – 1 0 + 1 + 2

В обоих случаях Σ t = 0, система уравнений принимает вид:

Σ у = na₀;

Σ уt = a₁ Σ t².

из первого уравнения – а₀=

из второго уравнения – а₁= ;

n – число членов ряда.

Пример . Урожайность зерновых в фермерском хозяйстве представлена следующим рядом динамики (таблица 16), который мы выравниваем по прямой.

Таблица 16 – Данные об урожайности зерновых в фермерском хозяйстве и

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒