Основы выборочного наблюдения

⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 14Следующая ⇒

Выборочное наблюдение является одним из видов несплошного статистического наблюдения, при котором наблюдению подвергается не вся совокупность единиц, а только часть их, отобранная на основе определенных научных принципов. При этом данные, полученные на основе отобранной части совокупности, распространяют на всю генеральную совокупность. Наблюдение организуется таким образом, что эта часть отобранных единиц представляет всю совокупность.

Выборочное наблюдение находит широкое применение во всех отраслях хозяйственной деятельности. Выборочным порядком выявляется покупательский спрос, проверяются нормы естественной убыли товаров и т.д. Применение выборочного метода часто является необходимым в тех случаях, когда изучение качества объекта ведет к его порче или полному уничтожению.

Вся изучаемая совокупность, из которой производится отбор некоторого числа единиц для выборочного наблюдения, называется генеральной совокупностью .

Часть генеральной совокупности, подлежащая выборочному обследованию, называется выборочной совокупностью.

Численность (объем) генеральной совокупности обозначим буквой N, а численность выборочной совокупности обозначим буквой n. При выборочном наблюдении обычно ставят две задачи: определение среднего размера изучаемого признака и определение доли изучаемого признака в данной совокупности. Основная задача выборочного наблюдения состоит в том, чтобы на основе характеристик выборочной совокупности (средней и доли) получить достоверные суждения о показателях средней и доли в генеральной совокупности. При этом следует иметь в виду, что при любых статистических исследованиях (сплошных и выборочных) возникают ошибки двух видов: регистрации и репрезентативности.

Ошибки регистрации могут иметь случайный (непреднамеренный) и систематический (тенденциозный) характер. Случайные ошибки обычно уравновешивают друг друга, поскольку не имеют преимущественного направления в сторону преувеличения или преуменьшения значения изучаемого показателя. Систематические ошибки направлены в одну сторону вследствие преднамеренного нарушения правил отбора. Их можно избежать при правильной организации и проведении наблюдения.

Ошибки репрезентативности присущи только выборочному наблюдению и возникают в силу того, что выборочная совокупность не полностью воспроизводит генеральную. Они представляют собой расхождение между значениями показателей, полученных при выборке, и значениями показателей этих же величин, которые были бы получены при проведённом с одинаковой степенью точности сплошном наблюдении, т. е. между величинами выборочных и соответствующих генеральных показателей.

Исчисленные обобщающие характеристики в генеральной совокупности называются генеральными: – генеральная средняя, а – генеральное среднее квадратическое отклонение, Р – генеральная доля, полученная как отношение числа М единиц, обладающих данным признаком, ко всей численности N генеральной совокупности:

Исчисленные обобщающие характеристики в выборочной совокупности называются выборочными: – выборочная средняя, σ – выборочное среднее квадратическое отклонение, w – выборочная доля (частость) – отношение числа m единиц выборочной совокупности, обладающих данным признаком, ко всей численности n выборочной совокупности, т. е.

Пример . В таблице 7 приведены данные испытания крепости шерстяной пряжи. Требуется определить среднее квадратическое отклонение выборочной совокупности от ее генеральной. В расчете использовать способ моментов.

Таблица 7 – Данные испытания 100 одиночных нитей на крепость

Крепость нити в граммах	Число проб f	Средняя крепость нити в граммах х	xf	х – х₀
А
80–100 100–120 120–140 140–160 160–180 180–200 200–220 220–240 240–260 260–280 280–300				–100 –80 –60 –40 –20	–5 –4 –3 –2 –1
И т о г о		–		–	–
Примечание – К – число, кратное величине интервала; х_о = 190.

Средняя выборочная (средняя крепость нити выборочной совокупности) равна 183, 6 г:

Среднее квадратическое отклонение

Поскольку проведение сплошного наблюдения заменяется выборочным, а исчисление средней генеральной заменяется исчислением средней выборочной, важно установить, насколько полученная средняя выборочная является характерной для данной генеральной совокупности и представляет ли она среднюю генеральную.

Другими словами, необходимо установить, как велико отклонение ∆ средней выборочной от средней генеральной , т. е.

Чем меньше величина отклонения , тем точнее выборочная средняя воспроизводит генеральную среднюю. Величина этого отклонения и определяет степень точности выборочного наблюдения.

Ошибки выборки

Ошибки выборочного наблюдения, которые иначе называют ошибками репрезентативности, возникают вследствие специфики самого метода и именно потому, что обследуется не вся совокупность, а лишь его часть, отобранная в случайном порядке.

Определение средней величины этих ошибок и их возможных границ, а следовательно, определение достоверности данных выборочного наблюдения, является основной задачей теории выборочного исследования.

Теория и практика применения выборочного метода показали, что данные выборочного наблюдения достаточно достоверны, так как выборочный метод базируется на применении закона больших чисел и теории вероятности.

Сущность закона больших чисел заключается в том, что чем больше будет взято единиц наблюдения, тем точнее средняя выборочная будет воспроизводить среднюю генеральную.

Теориявыборочного метода дает формулу, по которой можно вычислить среднюю величину ошибки μ для выборочной совокупности, отобранной в случайном порядке, т. е. таким образом, что каждая единица генеральной совокупности имела бы равную возможность попасть в это число:

где μ – средняя ошибка выборки;

σ – среднее квадратическое отклонение;

n – численность выборочной совокупности.

Применяя эту формулу, получим следующую величину средней ошибки для нашего примера:

Величина средней ошибки выборки зависит, прежде всего, от показателей колеблемости значений признаков в выборочной совокупности. Степень колеблемости значений признаков определяется средним квадратическим отклонением σ.

Чем меньше величина среднего квадратического отклонения, тем меньше величина средней ошибки при той же численности выборки.

Кроме того, величина средней ошибки зависит от численности выборки. Увеличивая или уменьшая объем выборки n, можно регулировать величину ошибки μ. Чем больше единиц будет охвачено выборочным наблюдением, тем меньше будет величина ошибки, т. к. точнее будет представлена генеральная совокупность. Полученная величина ошибки μ характеризует среднее отклонение средней выборочной от средней генеральной.

Величина пределов конкретной ошибки зависит от степени вероятности, с которой измеряется ошибка выборки.

Ошибка выборки, исчисленная с заданной степенью вероятности, представляет предельную ошибку выборки.

Если через обозначим предельную ошибку, частное от деления на μ приравняем к t, тогда можно записать , отсюда Δ = μ t, а так как то

Следовательно, величина предельной ошибки зависит от величины средней ошибки и коэффициента t. Коэффициент зависит от степени вероятности, с которой производится выборочное наблюдение.

Величину вероятности для различных значений t можно определить на основе теоремы Ляпунова. На практике пользуются готовыми таблицами значений этой функции, вычисленных для различных значений t. С увеличением значения t вероятность Р быстро приближается к единице, так что практически обычно ограничиваются значениями t, не превышающими 2–3 единицы:

- при значении t = 1 вероятность равна 0, 683;

- t = 2 вероятность 0, 954;

- t = 3 вероятность 0, 997.

- Уже при значении t, равном 3, вероятность очень близка к единице. Это означает, что если бы из одной и той же генеральной совокупности было произведено большое число случайных выборок одинаковой численности, то в среднем на 1000 выборок приходилось бы 997 таких, в которых отклонение выборочной средней от генеральной не превышало 3 , и только в трех выборках отклонение могло бы выйти за эти пределы.

Указывая вероятные пределы случайной ошибки выборки, мы тем самым указываем и те пределы, за которые не выйдет характеристика генеральной совокупности.

Определим для нашего примера, в каких границах должна заключаться средняя крепость нити в генеральной совокупности, с вероятностью 0, 997.

Средняя ошибка равна т. е.

Предельная ошибка при заданной степени вероятности А равна 3, т. е.

При проведении выборочного наблюдения часто возникает необходимость предварительного определения численности выборочной совокупности. Предположим, что мы хотим получить ошибку выборки вдвое меньшую, чем мы получили, т.е. ставим определенные условия: величина должна быть равна 2, 15 вместо 4, 30. Чтобы добиться уменьшения ошибки вдвое, нужно увеличить число наблюдений. Но на какое количество? Формула средней ошибки выборки позволяет ответить на этот вопрос:

или а отсюда или т. е. при

сокращении ошибки вдвое численность выборки должна быть увеличена в четыре раза, при сокращении втрое объем выборки должен быть увеличен в девять раз и т. д. Следовательно, чтобы получить среднюю ошибку выборки, для нашего примера равную 2, 15, нужно подвергнуть наблюдению не 100, а 400 нитей.

Для определения доли изучаемого признака пользуются формулой средней ошибки выборки, которая имеет следующий вид:

где Р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной со-

вокупности.

Но этот показатель неизвестен, и его как раз нужно определить на основе выборочного наблюдения. Поэтому величина Р заменяется частостью :

Допустим, что нужно установить для нашего примера долю нитей, имеющих крепость 190 и больше. Частость (доля данного признака в выборочной совокупности) равна 0, 56

Отсюда средняя ошибка для доли:

При заданной степени вероятности (0, 997) предельная ошибка доли:

Пределы генеральной доли определяем по формуле

Р =

Отсюда Р = 0, 56 0, 14868.

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒