Поляризация волн при отражении

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 13Следующая ⇒

Поляризованный свет можно получить, используя отражение или преломление света от диэлектрических изотропных сред (например, от стекла). Если угол падения света на границу раздела двух диэлектриков отличен от нуля, отраженный и преломленный лучи оказываются частично поляризованными. В отраженном луче преобладают колебания, перпендикулярные плоскости падения (на рис. 5.9 эти колебания обозначены точками), в преломленном луче – колебания, параллельные плоскости падения (на рис. 5.9 они изображены двусторонними стрелками).

Степень поляризации того и другого луча зависит от угла падения луча. У каждой пары прозрачных сред существует такой угол падения, при котором отраженный свет становится полностью плоскополяризованным, а преломленный луч остается частично поляризованным, но степень его поляризации при этом угле максимальна (рис. 5.10). Этот угол называется углом Бpюстеpа. Угол Брюстера определяется из условия

где – относительный показатель преломления двух сред. Можно показать, что при падении волны под углом Брюстера отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны.

Таким образом, пластинка диэлектрика сортирует лучи естественного света, отражая преимущественно лучи с одним направлением колебаний и пропуская перпендикулярные колебания.

Рис. 5.11а

Рис. 5.11б

Закон Брюстера может быть использован для изготовления поляризатора. В этом случае используют не отраженный, а преломленный луч, хотя он и не полностью поляризован. Чтобы получить высокую степень поляризации преломленного луча, его пропускают через стопу стеклянных пластинок: после прохождения каждой следующей пластинки стопы степень поляризации преломленного луча увеличивается. При достаточно большом числе пластинок проходящий через эту систему свет будет практически полностью плоскополяризованным, а интенсивность прошедшего света в отсутствие поглощения будет равна половине интенсивности падающего на стопу естественного света.

Основными источниками поляризованного света в окружающей нас среде являются такие яркие горизонтальные поверхности как водная гладь, мокрый асфальт (рис. 5.11а), снег, лед (рис. 5.11б), стеклянные поверхности (рис. 5.11в). По характеру воздействия на глаз или фотоплёнку плоскополяризованный свет ничем не отличается от неполяризованного.

Рис. 5.11в

Этот свет создает оптические помехи, приводит к ухудшению видимости при рыбной ловле, вождении автомобиля.

Рис. 5.11г

Блики могут неожиданно возникнуть на дороге, заставая водителей врасплох, особенно на мокрой дороге весной или осенью, когда солнце находится низко над горизонтом (рис. 5.11г).

Уравнение Шредингера. Задание состояние микрочастицы, волновая функция, её статистический смысл. Суперпозиция состояний в квантовой теории. Амплитуда вероятности. Стационарное уравнение Шредингера, стационарные состояния. Частица в однородной прямоугольной яме. Прохождение частицы над и под барьером. Гармонический осциллятор. Элементы квантовой электроники. Волновые функций стационарных состояний.

Уравне́ ниеШрёдингера — уравнение, описывающее изменение в пространстве и во времени чистого состояния, задаваемого волновой функцией, в гамильтоновых квантовых системах. Играет в квантовой механике такую же важную роль, как уравнение второго закона Ньютона вклассической механике

. Его можно назвать уравнением движения квантовой частицы. Установлено Эрвином Шрёдингером в 1926 году.

Уравнение Шрёдингера предназначено для частиц без спина, движущихся со скоростями много меньшими скорости света. В случае быстрых частиц и частиц со спином используются его обобщения (уравнение Клейна — Гордона, уравнение Паули, уравнение Дирака и др.)

В начале XX века учёные пришли к выводу, что между предсказаниями классической теории и экспериментальными данными об атомной структуре существует ряд расхождений. Открытие уравнения Шрёдингера последовало за революционным предположением де Бройля, что не только свету, но и вообще любым телам (в том числе и любым микрочастицам) присущи волновые свойства.

Исторически окончательной формулировке уравнения Шрёдингера предшествовал длительный период развития физики. Оно является одним из важнейших уравнений физики, объясняющих физические явления. Квантовая теория, однако, не требует полного отказа от законов Ньютона, а лишь определяет границы применимости классической физики. Следовательно, уравнение Шрёдингера должно согласовываться с законами Ньютона в предельном случае. Это подтверждается при более глубоком анализе теории: если размер и масса тела становятся макроскопическими и точность слежения за его координатой много хуже стандартного квантового предела, прогнозы квантовой и классической теорий совпадают, потому что неопределённый путь объекта становится близким к однозначной траектории.

Наиболее общая форма уравнения Шрёдингера — это форма, включающая зависимость от времени^[1]:

Зависимое от времени уравнение (общий случай)

Волнова́ яфу́ нкция, или пси-функция — комплекснозначная функция

, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

где — координатный базисный вектор, а — волновая функция в координатном представлении.

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятностинахождения частицы в данной точке пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значения волновой функции этого состояния в координатном представлении.

Волновая функция (или вектор состояния) – комплексная функция, описывающая состояние квантовомеханической системы. Её знание позволяет получить максимально полные сведения о системе, принципиально достижимые в микромире. Так с её помощью можно рассчитать все измеряемые физические характеристики системы, вероятность пребывания её в определенном месте пространства и эволюцию во времени. Волновая функция может быть найдена в результате решения волнового уравнения Шредингера.

Статическая интерпретация волновой функции

На основании статистической интерпретации вероятность нахождения частицы в

момент времени t с координатами x и x+dx, y и y+dy, z и z+dz определяется

интенсивностью волновой функции, т.е. квадратом пси-функции. Поскольку в

общем случае ψ - комплексная функция, а вероятность должна быть всегда

действительной и положительной величиной, то за меру интенсивности

принимается квадрат модуля волновой функции.

Физический смысл ψ - функции

Вероятность dW нахождения частицы в элементе объема dV в момент времени t

dW = ψ dV.

Ква́ нтоваясуперпози́ ция (когерентная суперпозиция) — это суперпозиция состояний, которые не могут быть реализованы одновременно склассической

точки зрения, это суперпозиция альтернативных (взаимоисключающих) состояний. Принцип существования суперпозиций состояний обычно называется в контексте квантовой механики просто принципом суперпозиции.

Если функции и являются допустимыми волновыми функциями, описывающими состояние квантовой системы, то их линейная суперпозиция, , также описывает какое-то состояние данной системы. Если измерение какой-либо физической величины в состоянии приводит к определённому результату , а в состоянии — к результату , то измерение в состоянии приведёт к результату или с вероятностями и соответственно.

Из принципа суперпозиции также следует, что все уравнения на волновые функции (например, уравнение Шрёдингера) в квантовой механике должны быть линейными.

Любая наблюдаемая величина (например, положение, импульс или энергия частицы) является собственным значениемэрмитова линейного оператора, соответствующим конкретному собственному состоянию этого оператора, то есть определённой волновой функции, действие оператора на которую сводится к умножению на число — собственное значение. Линейная комбинация двух волновых функций — собственных состояний оператора также будет описывать реально существующее физическое состояние системы. Однако для такой системы наблюдаемая величина уже не будет иметь конкретного значения, и в результате измерения будет получено одно из двух значений с вероятностями, определяемыми квадратами коэффициентов (амплитуд), с которыми базисные функции входят в линейную комбинацию. (Разумеется, волновая функция системы может быть линейной комбинацией и более чем двух базисных состояний, вплоть до бесконечного их количества).

Важными следствиями квантовой суперпозиции являются различные интерференционные эффекты (см. опыт Юнга, дифракционные методы), а для составных систем — зацепленные состояния.

Популярный пример парадоксального поведения квантовомеханических объектов с точки зрения макроскопического наблюдателя — кот Шрёдингера, который может представлять собой квантовую суперпозицию живого и мёртвого кота. Впрочем, достоверно ничего не известно о применимости принципа суперпозиции (как и квантовой механики вообще) к макроскопическим системам.

Частица в одномерной прямоугольной “потенциальной яме” с бесконечно высокими “стенками”.

Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной “потенциальной яме” с бесконечно высокими “стенками”. Такая “яма” описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)

где l - ширина “ямы”, а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 2).

Рис. 2

Уравнение Шредингера (7.5) в случае одномерной задачи запишется в виде

. (8.1)

По условию задачи (бесконечно высокие “стенки”), частица не проникает за пределы “ямы”, поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами “ямы” равна нулю. На границах “ямы” (при х=0 и х=l) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль. Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид

(8.2)

В пределах “ямы” ( уравнение Шредингера (8.1) сведется к уравнению

или

(8.3)

где

(8.4)

Общее решение дифференциального уравнения (8.3):

(8.5)

Условие (8.2) выполняется только при где n – целые числа, т. е. необходимо, чтобы

. (8.6)

Из выражений (8.4) и (8.6) следует, что

(8.7)

т.е. уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в “потенциальной яме” с бесконечно высокими “стенками”, удовлетворяется только при собственных значениях Еn, зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия частицы в “потенциальной яме” с бесконечно высокими “стенками” не может быть произвольной, а принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется. Квантованные значения энергии Е„ называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется квантовым числом. Таким образом, микрочастица в “потенциальной яме” с бесконечно высокими “стенками” может находиться только на определенном энергетическом уровне En, или, как говорят, частица находится в определенном квантовом состоянии n.

Подставив в (8.5) значение k из (8.6) найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А определим из условия нормировки (6.3), которое для данного случая запишется в виде

В результате интегрирования получим , а собственные функции будут иметь вид

(8.8)

Рис. 3

Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энергии (8.7) при n = 1, 2. 3, приведены на рис.3. а. На рис.3, б изображена плотность вероятности обнаружения частицы от “стенок” ямы, равная для n – 1, 2 и 3. Из рисунка следует, что. например, в квантовом состоянии с п = 2 частица не может находиться в середине “ямы”, в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.

Из выражения (8.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя соседними уровнями равен

(8.9)

Например, для электрона при размерах ямы м (свободные электроны в металл Дж эВ т.е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными), то для электрона Дж= эВ, т. е. получаются явно дискретные -значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.

⇐ Предыдущая 2 3 4 5 678 9 10 11 Следующая ⇒