Волновые функции стационарных состояний

Перейдем в представление { } и запишем функции , представляющие собственные состояния гамильтониана.

Мы уже определили функцию , представляющую основное состояние :

. (77)

Фигурирующая перед экспонентой константа обеспечивает нормировку функции .

Чтобы получить функции , связанные с другими стационарными состояниями гармонического осциллятора, достаточно использовать выражение (67) для кет-вектора и тот факт, что в представлении { } оператор a⁺ представлен выражением , поскольку Х представлен умножением на х, а Р - дифференцированием (формула (16)). Тогда:

(78)

или

. (79)

Нетрудно видеть из этого выражения, что является произведением экспоненты на полином степени n и четности (-1)ⁿ, который называется полиномом Эрмита.

Несложные вычисления дают первые функции :

;

. (80)

Эти функции представлены на рис. 3, а соответствующие им плотности вероятности приведены на рис. 4.

Рис. 3.

Волновые функции трех первых уровней гармонического осциллятора

Рис. 4.

Плотность вероятности трех первых уровней гармонического осциллятора

Амплитуда колебаний частицы увеличивается с ростом ее энергии. Среднее значение потенциальной энергии также увеличивается с ростом n, так как при больших значениях n функция заметно отлична от нуля в тех областях оси Ох, где потенциал V(x) увеличивается. Кроме того, число нулей функции равно n, и средняя кинетическая энергия частицы увеличивается с ростом n. Действительно, она определяется формулой:

. (81)

С увеличением количества нулей функции кривизна волновой функции возрастает, и в формуле (81) вторая производная принимает все большие и большие значения.

Наконец, при больших n плотность вероятности принимает наибольшие значения при . Этот результат напоминает характеристику движения, которую предсказывает классическая механика: классическая частица имеет нулевую скорость в точках ; т.е. она в среднем проводит больше времени вблизи этих точек, чем в центре интервала .

Вопрос 9.

Законы теплового излучения

Тепловое излучение. В нагретых телах часть внутренней энергии вещества может превращаться в энергию излучения. Поэтому нагретые тела являются источниками электромагнитного излучения в широком диапазоне частот. Это излучение называют тепловым излучением.

Эксперименты показывают, что тепловое излучение имеет непрерывный спектр. Это означает, что нагретое тело испускает некоторое количество энергии излучения в любом диапазоне частот или длин волн. Распределение энергии излучения тела по спектру зависит от температуры тела. При этом для всех тел с увеличением температуры максимум энергии излучения смещается в коротковолновый участок спектра, а общая энергия излучения возрастает. Так, если излучение батареи центрального отопления ( К) имеет пик энергии в диапазоне невидимого инфракрасного излучения, то раскаленная поверхность Солнца ( К) излучает значительную часть энергии в диапазоне видимого света, а при ядерном взрыве ( К) большая доля энергии взрыва уносится коротковолновыми рентгеновским и гамма- излучением.

Если несколько нагретых излучающих тел окружить идеально отражающей, непроницаемой для излучения оболочкой (рис. 1.1), то по истечении некоторого промежутка времени в системе " излучающие тела + излучение в полости" установится термодинамическое равновесие. Это означает, что температуры всех тел выровняются, а распределение энергии между телами и излучением не будет изменяться со временем. Такое равновесное состояние системы устойчиво, то есть после всякого нарушения его, состояние равновесия вновь восстанавливается. Термодинамическое равновесие установится и в полости, стенки которой выполнены из любого реального материала и поддерживаются при некоторой неизменной температуре.

Рис. 1.1.

Способность теплового излучения находиться в равновесии с излучающим телом отличает тепловое излучение от других видов излучения тел. Поэтому, такое излучение, находящееся в равновесии с излучающим телом, будем называть равновесным.

Равновесному излучению можно приписать температуру тела, с которым оно находится в равновесии, распространив при этом законы равновесной термодинамики на тепловое излучение. Это означает, что для равновесного теплового излучения можно определить и рассчитать внутреннюю энергию, давление, энтропию и другие термодинамические характеристики, которые не будут изменяться со временем.

Равновесное тепловое излучение однородно, то есть его плотность энергии одинакова во всех точках внутри полости, где оно заключено. Такое излучение изотропно и неполяризованно - оно содержит все возможные направления распространения и направления колебаний векторов и .

Закон Кирхгофа. Между испускательными и поглощательными свойствами любого тела должна существовать связь. Ведь в опыте с равновесным тепловым излучением (рис. 1.1) равновесие в системе может установиться только в том случае, если каждое тело будет излучать в единицу времени столько же энергии, сколько оно поглощает. Это означает, что тела, интенсивнее поглощающие излучение какой-либо частоты, будут это излучение интенсивнее и испускать.

Поэтому, в соответствии с таким принципом детального равновесия, отношение испускательной и поглощательной способностей одинаково для всех тел в природе, включая абсолютно черное тело, и при данной температуре является одной и той же универсальной функцией частоты (длины волны).

Закон Стефана-Больцмана. Экспериментальные (1879 г. Й.Стефан) и теоретические (1884 г. Л.Больцман) исследования позволили доказать важный закон теплового излучения абсолютно черного тела. Этот закон утверждает, что энергетическая светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры, то есть

(1.7)

Закон смещения Вина. В 1893 г. немецкий физик В.Вин теоретически рассмотрел термодинамический процесс сжатия излучения, заключенного в полости с идеально зеркальными стенками. С учетом изменения частоты излучения за счет эффекта Допплера при отражении от движущегося зеркала Вин пришел к выводу, что испускательная способность абсолютно черного тела должна иметь вид

(1.9)

Здесь - некоторая функция, конкретный вид которой термодинамическими методами установить нельзя.

Фото́ н (от др.-греч. φ ῶ ς, род. пад. φ ω τ ό ς, «свет») — элементарная частица, квантэлектромагнитного излучения (в узком смысле —света). Это безмассовая частица, способная существовать только двигаясь со скоростью света. Электрический заряд фотона также равен нулю. Фотон может находиться только в двух спиновых состояниях с проекцией спина на направление движения (спиральностью) ±1. Этому свойству в классической электродинамике соответствует круговая правая и левая поляризация электромагнитной волны. Фотону как квантовой частице свойственен корпускулярно-волновой дуализм, он проявляет одновременно свойства частицы и волны.

Если энергия фотона равна , то импульс связан с энергией соотношением , где — скорость света (скорость, с которой в любой момент времени движется фотон как безмассовая частица). Для сравнения, для частиц с ненулевой массой покоя связь массы и импульса с энергией определяется формулой , как показано вспециальной теории относительности.^[52]

В вакууме энергия и импульс фотона зависят только от его частоты (или, что эквивалентно, от длины волны ):

и, следовательно, величина импульса есть:

где — постоянная Планка, равная ; — волновой вектор и — его величина (волновое число); — угловая частота. Волновой вектор указывает направление движения фотона. Спин фотона не зависит от частоты.

Классические формулы для энергии и импульса электромагнитного излучения могут быть получены исходя из представлений о фотонах. К примеру, давление излученияосуществляется за счёт передачи импульса фотонов телу при их поглощении. Действительно, давление — это сила, действующая на единицу площади поверхности, а сила равна изменению импульса, отнесённому ко времени этого изменения.

Фотоэффе́ кт — это испускание электронов веществом под действием света (и, вообще говоря, любого электромагнитного излучения). В конденсированных веществах (твёрдых и жидких) выделяют внешний и внутренний фотоэффект.

Внешним фотоэффектом (фотоэлектронной эмиссией) называется испускание электронов веществом под действием электромагнитных излучений. Электроны, вылетающие из вещества при внешнем фотоэффекте, называются фотоэлектронами, а электрический ток, образуемый ими при упорядоченном движении во внешнем электрическом поле, называется фототоком

Законы внешнего фотоэффекта

1. Закон Столетова: при неизменном спектральном составе электромагнитных излучений, падающих на фотокатод, фототок насыщения пропорционален энергетической освещенности катода (иначе: число фотоэлектронов, выбиваемых из катода за 1 с, прямо пропорционально интенсивности излучения):
и

2. Максимальная начальная скорость фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой.

3. Для каждого вещества существует красная граница фотоэффекта, то есть минимальная частота ν ₀ света (зависящая от химической природы вещества и состояния поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.

4. Внутренним фотоэффектом называется перераспределение электронов по энергетическим состояниям в твердых и жидких полупроводниках и диэлектриках, происходящее под действием излучений. Он проявляется в изменении концентрации носителей зарядов в среде и приводит к возникновению фотопроводимости или вентильного фотоэффекта.

5. Фотопроводимостью называется увеличение электрической проводимости вещества под действием излучения.

6. Вентильный фотоэффект или фотоэффект в запирающем слое — явление, при котором фотоэлектроны покидают пределы тела, переходя через поверхность раздела в другое твёрдое тело (полупроводник) или жидкость (электролит).

Эффект Комптона (Комптон-эффект) — явление изменения длины волныэлектромагнитного излучения вследствие упругого рассеивания егоэлектронами. Обнаружен американским физиком Артуром Комптоном в 1923 году для рентгеновского излучения. В 1927 Комптон получил за это открытие Нобелевскую премию по физике.

Иллюстрация к эффекту Комптона

При рассеянии фотона на покоящемся электроне частоты фотона и (до и после рассеяния соответственно) связаны соотношением:

где — угол рассеяния (угол между направлениями распространения фотона до и после рассеяния).

Перейдя к длинам волн:

где — комптоновская длина волны электрона.

Вопрос 10

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 789 10 11 12 Следующая ⇒