Определение скоростей и ускорений звеньев и их точек

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Скорости и ускорения звеньев и их точек определяются при заданной угловой скорости и угловом ускорении ведущего звена (кривошипа).

Для нахождения скоростей звеньев необходимо продифференцировать их перемещения по времени t в соответствии с правилами дифференцирования сложных функций.

Угловая скорость шатуна: . (16)

Величина определяется по зависимости (7).

Линейная скорость ползуна . (17)

Величина находится по зависимости (9) или (14).

Линейная скорость точки С шатуна в проекциях на оси X, Y

; . (18)

Величины определяются по зависимостям (11).

Модуль вектора скорости . (19)

Угловое ускорение шатуна найдем дифференцированием по времени t выражения (16): . (20) Величина определяется по зависимости (8).

Линейное ускорение ползуна найдем дифференцированием по времени t зависимости (17) . (21)

Величина определяется по зависимости (10) или (15).

Линейное ускорение точки С шатуна в проекциях на оси X, Y находим дифференцированием по времени зависимостей (18):

; . (22)

Величины находятся по зависимости (12).

Модуль вектора ускорения точки С . (23)

1.3. Определение скоростей и ускорений методом планов

Данный метод позволяет вычислить величины скоростей и ускорений без использования аналитических зависимостей. Подробное изложение данного метода приведено в работах [1], [2]. Построение планов скоростей и ускорений выполним для положения механизма, показанного на рис. 2.

Скорость точки А, принадлежащей звеньям 1 и 2, определим как окружную во вращательном движении: . Вектор направлен перпендикулярно ОА в сторону . Для определения скорости точки В, принадлежащей звеньям 2 и 3, разложим движение звена 2 на переносное поступательное вместе с точкой А и относительное вращательное вокруг точки А. Тогда имеем . (24)

В данном уравнении вектор известен, линия действия совпадает с линией движения ползуна, линия действия относительной скорости перпендикулярна линии АВ шатуна.

Решение этого векторного уравнения производим графически путем построения плана скоростей (рис.3).

Из полюса р проводим отрезок р произвольной длины, изображающий вектор . Масштаб плана скоростей . Рекомендуется при построении принимать . Далее из полюса проводим линию действия скорости параллельно линии хода ползуна, а через точку - линию действия перпендикулярно АВ. Точка пересечения двух линий определяет величины векторов. ; .

Направление векторов и определяется по уравнению (24).

Угловая скорость шатуна . Её направление определяется по направлению скорости , приложенной в точке В.

Для нахождения вектора скорости точки С шатуна воспользуемся изображающими свойствами плана скоростей [2]. В соответствии с ними три точки одного звена на схеме механизма и три соответствующие точки на плане скоростей образуют подобные и сходственно расположенные фигуры. В данном случае три точки А, В, С шатуна находятся на одной линии. Следовательно, изображающая точка С на плане скоростей будет расположена между точками и . Её положение определится из соотношения: . Вектор проводим из полюса в точку С. .

Построение плана ускорений выполним для того же положения механизма (рис.2).

Ускорение точки А складывается из двух составляющих: центростремительного и вращательного. .

Для упрощения задачи будем считать угловую скорость кривошипа постоянной. Тогда угловое ускорение кривошипа , и . Следовательно, .

Вектор направлен параллельно ОА к центру вращения.

Определение ускорения точки В производится на основании разложения движения звена 2 на переносное поступательное с точкой А и относительное вращательное вокруг этой точки.

В соответствии с этим ускорение точки В определится из векторного уравнения

Так как относительное движение вращательное: .

Тогда . (25)

Следует заметить, что кориолисово ускорение в данном случае равно 0, так как переносное движение поступательное.

Центростремительное ускорение направлено параллельно шатуну от точки В к точке А. .

Вращательное ускорение перпендикулярно . Линия действия совпадает с линией движения ползуна. Решение уравнения (25) проводим графически путем построения плана ускорений (рис. 4).

Из полюса проводим отрезок произвольной длины, изображающий вектор . Масштаб плана ускорений . Рекомендуется при построении принимать 100мм. Далее, из точки откладываем в виде отрезка параллельно АВ в направлении от точки В к точке А.

Из точки проводим линию действия перпендикулярно шатуну АВ, а из полюса линию действия параллельно линии хода ползуна.

Точка пересечения этих линий определяет величины ускорений.

, .

Направление векторов и определяются по уравнению (25).

Угловое ускорение шатуна . Его направление определяется по направлению ускорения , приложенному в точке В. Для нахождения вектора ускорения точки С шатуна воспользуемся изображающими свойствами плана ускорений, которые аналогичны свойствам плана скоростей [2]. Изображающая точка С на плане ускорений будет находиться между точками и . Её положение определится из соотношения:

Вектор проводим из полюса в точку С. .

Силовой расчет механизма

Исходные данные для расчета

Схема кривошипно-ползунного механизма приведена на рис. 5. Здесь же показаны все приложенные силы и моменты.

При силовом расчете должны быть заданы (в метрах): радиус кривошипа , длина шатуна . Положение центров масс звеньев определяется расстояниями , , .

Задается средняя угловая скорость кривошипа .

Считаются известными: масса кривошипа (кг), масса шатуна (кг),

масса ползуна (кг), масса противовеса (кг),

момент инерции шатуна относительно центра массы (кгм²).

момент инерции вращающихся масс на валу кривошипа (кгм²).

Положение механизма определяется углом между положительным направлением оси Х и вектором силы тяжести (отсчитывается от оси Х против часовой стрелки).

Угол отсчитывается от положения кривошипа , в котором ползун занимает крайнее дальнее положение .

Задается угол для построения плана сил. Во всех положениях механизма задается величина углового ускорения кривошипа (с^-2). Его величина определяется в результате динамического анализа машины [1] или может быть (по указанию преподавателя) принята равной 0 во всех положениях.

Отсчет угла , направление угловой скорости и углового ускорения против часовой стрелки считаются положительными.

К ползуну приложена внешняя сила P (Н). Её величина задается в каждом положении механизма и является положительной, если ее направление совпадает с осью Х.

Силы трения в кинематических парах не учитываются.

На кривошипе должен быть приложен уравновешивающий момент (Нм), величина и направление которого определяются в каждом положении.

Методика силового расчета

На рис.5 показаны все силы, приложенные к механизму.

Силы тяжести звеньев:

(26)

где g=9, 8 м/с².

Исследование ведется по методу кинетостатики [1]. К движущемуся механизму применяются уравнения равновесия статики, но в рассмотрение вводятся инерционные нагрузки.

Силы инерции звеньев:

; . (27)

Здесь и далее не учитываются касательные составляющие сил инерции и , возникающие при движении кривошипа с ускорением. Инерционные моменты кривошипа и шатуна: . (28)

Величины ускорений центров масс звеньев величины угловых ускорений кривошипа , шатуна определяются при кинематическом и динамическом анализе хода машины.

Для определения реакции в кинематических парах воспользуемся уравнениями равновесия статически определимой структурной группы “шатун-ползун” (рис.6).

Векторное уравнение равновесия сил:

. (29)

Здесь и — реакции со стороны “отброшенных” звеньев 1 и 4 соответственно на звенья 2 и 3. При этом считаем, что положительное направление совпадает с осью Y.

Проектируя уравнения (29) на ось X и используя при этом зависимости (26), (27), получим: . (30)

Здесь определяются по зависимостям (22) и (21).

Уравнение равновесия моментов всех сил относительно, например, точки A

. (31)

Векторное уравнение (31) представляет собой сумму моментов, приложенных к

структурной группе всех сил, включая реакцию , взятую относительно точки А. Выраженное через проекции векторов на оси координат X, Y, оно имеет вид:

Величины определяются по зависимостям (6). Координаты и можно вычислить по тем же зависимостям (6), подставляя вместо соответственно и .

Используя зависимости (26), (27), (28), после преобразований получаем:

(32)

Проектируя уравнение (29) на ось Y системы координат и используя при этом зависимости (26), (27), получим: . (33)

Определим реакцию в шарнире . Условие равновесия шатуна запишется в виде:

Проектируя данное векторное уравнение на оси X, Y, получим:

, (34) .

Для определения реакции в шарнире О и величины уравновешивающего момента рассмотрим равновесие кривошипа 1 (рис.7)

Векторное уравнение равновесия сил на кривошипе:

(35)

Проектируя уравнение (35) на оси X, Y системы координат с использованием зависимостей (26), (27) и учитывая, что , получаем:

, (36)

Так как точки А, Е, D кривошипа находятся на одной линии, проекции центростремительных ускорений определяются по формулам:

; , (37) где, ; . (38)

Следует отметить, что при определении не учтены постоянные составляющие от силы тяжести маховика на валу кривошипа и от сил привода двигателя.

Уравнение равновесия моментов всех сил относительно точки О, выраженное через проекции векторов на оси X, Y, после преобразований имеет вид:

. (39)

⇐ Предыдущая 1 234 Следующая ⇒