Определение равномерной непрерывности

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Теорема.

Если - последовательность стягивающихся отрезков, то ! точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Доказательство теоремы.

, .

Множество ограничено сверху

Множество ограничено снизу

, ; ; .

Покажем, что .

Предположим, что . Тогда чего быть не может.

Предположим, что . Тогда . Положим

: . (*)

Значит,

11. Теорема о пределе ограниченной и монотонной последовательности

Теорема (Вейерштрасс). Любая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Докажем теорему для монотонной возрастающей последовательности . Докажем, что точная верхняя граница для последовательности и будет ее пределом.

Действительно, по определению точной верхней границы

Кроме того, какое бы ни взять число , найдется такой номер , что

Так как последовательность монотонна, то при будет , а значит, и и выполняются неравенства

откуда и следует, что .

12. Число «е» как предел последовательности

Значение предела вида

обозначается символом е (натуральное число).
Рассмотрим последовательность с общим членом в виде

Эта последовательность монотонно возрастает и ограничена. Для доказательства этого разложим

по биному Ньютона:

Выражение в каждой скобке представляет собой правильную дробь. Если выражения в каждой из этих скобок заменить нулём, то правая часть равенства уменьшится, и вместо равенства получим неравенство вида

При n > 1 все слагаемые положительны, причём с возрастанием номера n увеличивается и число слагаемых, и каждое слагаемое в отдельности. Следовательно, последовательность

возрастает с возрастанием номера n, начиная с наименьшего значения, равного двум. Если же в правой части выражения в каждой скобке заменить единицей, а все множители знаменателей, начиная с третьего — на двойки, то получим сумму, большую первоначальной:

По формуле суммы n членов геометрической прогрессии

имеем

Поэтому . Таким образом, последовательность с общим членом возрастает с возрастанием номера n и ограничена сверху, следовательно, она имеет предел, который заключён между числами 2 и 3. Этот предел обозначают буквой е.

13. Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Всякая предельная точка подпоследовательности является предельной точкой последовательности .

ТЕОРЕМА 2. Если последовательность имеет предельную точку В, то существует сходящаяся ее подпоследовательность, имеющая В своим пределом.

ДОК. Выберем в каждом отрезке , описанном в ТЕОРЕМЕ 1, член последовательности . Тогда подпоследовательность , , имеет по построению число В своим пределом.

В примере (2) подпоследовательность , имеет предел В₁=1, подпоследовательность , имеет предел В₂=0, 5, подпоследовательность , имеет предел

В₃= - 0, 5, подпоследовательность , имеет предел В₄= - 1, (4) подпоследовательность , имеет предел В₁=1, подпоследовательность , имеет предел В₂= - 1.

Теорема Больцано – Вейерштрасса: Монотонно возрастающая (убывающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность должна иметь предел.
Действительно. В этом случае для возрастающей последовательности должна существовать такая точка ξ , для которой а) справа нет ни одной точки последовательности, б) слева от неё в любой как угодно малой окрестности существует бесконечно много членов последовательности. Если справа от точки ξ попалась хотя бы одна точка последовательности, то из-за возрастания последовательности справа от точки ξ будет бесконечно много членов числовой последовательности. Тогда это должна быть другая точка η > ξ и так далее. Если всё - таки такой точки не будет, то это приведёт к противоречию с требованием ограниченности последовательности. Так как в сколь угодно малой окрестности точки ξ (хотя бы слева) есть бесконечное число точек последовательности, то эта точка ξ является пределом этой последовательности. Если слева было бы конечное число точек последовательности и бесконечно справа, то это была бы другая точка ξ, что приводит опять к противоречию об ограниченности последовательности.
Существует другая формулировка теоремы Больцано – Вейерштрасса. Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Пусть последовательность ограничена, то есть существует такой отрезок [а, b], что х_n [а, b] n = 1, 2, 3, … Разделим отрезок [а, b] пополам, и по крайней мере один из получившихся отрезков содержит бесконечно много элементов данной последовательности. Пусть это будет отрезок [а₁, b₁], и так далее. Получим систему вложенных отрезков (см. ниже) [a, b] [a₁, b₁] [a₂, b₂] … [a_n, b_n] … Выберем по одному элементу последовательности из каждого отрезка

Последовательность {x_nk} является подпоследовательностью последовательности {x_n}. Так как

то существует такая точка ξ [а, b], что

Так как a_n ≤ x_n ≤ b_n, то

14. Фундаментальные последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности.

Фундаментальная последовательность, или сходящаяся в себе последовательность, или последовательность Коши — последовательность точек метрического пространства такая, что для любого заданного расстояния существует элемент последовательности, начиная с которого все элементы последовательности находятся друг от друга на расстоянии менее, чем заданное.

Свойства:

· Любая последовательность, имеющая предел, является фундаментальной.Критерий Коши для сходимости функциий: Числовая последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

· Если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность , то она сама сходится.

Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если она удовлетворяет критерию Коши:

для любого

существует такое натуральное

, что

для всех

15. -----------------------

16. Критерий Коши существования предела функции в точке (без док-ва)

Функция f имеет в точке x₀ Предел в том и только в том случае, если для любого e > 0 существует такое d > 0, что для всех точек х" и х" ", удовлетворяющих условию ½ х’ - x₀ ½ < d, ½ x" " — x₀½ < d, x" ¹ x₀, x" ’ ¹ x₀, выполняется неравенство ½ f (x" " ) — f (x" )½ < e.

17. Доказать. (Первый замечательный предел)

Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю

Непосредственное вычисление предела

приводит к неопределённости вида .
Из геометрических соображений имеем S_{ OAС}< S_OAC< S_{ OBC}. Используя формулы площадей рассматриваемых фигур, получим

или

sin x < x < tg x

Разделив все части неравенства на sin x > 0, получим при условии х > 0

или

Так как функция у = cos x непрерывна, то

Пользуясь теоремой о пределе промежуточной функции, получим окончательно

Замечание. Если х < 0, то знаки неравенств изменяются на противоположные, выводы же остаются прежними.

18. Доказать (Второй замечательный предел)

Ранее для натурального n было доказано

Докажем, что для любого действительного x имеет место так же равенство

Доказательство. Для любого действительного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n → ∞ ⇒ x→ ∞. По свойству для неравенств имеем

Прибавим ко всем частям неравенств единицу

По свойству степеней имеем

Так как

то по теореме о пределе промежуточной функции имеем также и

что и требовалось доказать. Для отрицательного х доказательство аналогично

19. Эквивалентность бесконечно малых функций. Сравнение бесконечно малых функций по порядку малости. Главная часть. Необходимое и достаточное условие эквивалентности.

ОПР. Бесконечно малые в точке функции и называются эквивалентными, если .

Обозначение ~ . Отношение эквивалентности транзитивно: ~ , ~ , то ~ и симметрично: ~ ® ~ .

Необходимое и достаточное условие эквивалентности: Для того, чтобы функции α ( x ) и β ( x ) были при x → a эквивалентными

бесконечно малыми, необходимо и достаточно, чтобы разность α ( x ) − β ( x )

была бесконечно малой более высокого порядка, чем α ( x ) или β ( x ).

(α ( x): β ( x) при x → a ) ⇔

⎛ α ( x) − β ( x) α ( x) − β ( x) ⎞

⇔ ⎜ lim = 0 ∨ lim = 0 ⎟.

⎝ x → a α ( x) x → a β ( x) ⎠

Доказательство. Необходимость. Пусть α ( x): β ( x) при x → a. Тогда

α ( x) − β ( x) β ( x) β ( x)

lim = lim(1 − ) = 1 − lim = 1 − 1 = 0;

x → a α ( x) x → a α ( x) x → a α ( x )

α ( x) − β ( x) α ( x) α ( x)

lim = lim( ) = lim − 1 = 1 − 1 = 0,

x → a β ( x) x→ a β ( x ) x → a β ( x )

откуда следует, что α ( x) − β ( x) = 0(α ( x)) и α ( x ) − β ( x) = 0( β ( x )).

Достаточность. Пусть, например, α ( x) − β ( x) = 0(α ( x)), тогда

α ( x) − β ( x) β ( x) β ( x)

lim = 0 или lim(1 − ) = 0 ⇒ lim = 1 ⇒ α ( x): β ( x).

x → a α ( x) x → a α ( x) x → a α ( x )

20. Непрерывность функции в точке и на множестве. Арифметические операции с непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.

Непрерывность функции в точке: Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности O(x₀) точки x₀ (включая саму точку x₀).

Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если существует lim_x_{→ x0} f(x), равный значению функции f(x) в этой точке:

lim f(x) = f(x₀),

x → x₀

(1)

т.е.

" O( f(x₀) ) $ O(x₀): x Î O(x₀) Þ f(x) Î O( f(x₀) ).

Замечание. Равенство (1) можно записать в виде:

lim f(x) = f (lim x ),

x → x₀

Непрерывность функции на множестве: Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке множества.

То, что f(x) непрерывна на множестве X обозначается следующим образом: f(x)ОC_X.

Определение: Функция называется непрерывной на отрезке [a, b], если она непрерывна в каждой внутренней точке этого отрезка и непрерывна справа в точке a и непрерывна слева в точке b.

То, что f(x) непрерывна на отрезке [a, b] обозначается следующим образом: f(x)ОC_{[a, b]}.

Арифметические операции с непрерывными функциями: Пусть функции f (x) и g (x) непрерывны в точке х₀. Тогда функции f (x) ± g (x), f (x)·g (x) и f (x): g (x) также непрерывны в этой точке (в последнем случае предполагается g (х₀) ≠ 0).

ТЕОРЕМА (арифметическая теорема о непрерывных функциях)

Пусть функции и непрерывны в точке . Тогда сумма , произведение

и частное , - непрерывные функции в точке .

ДОК. Следует из арифметической теоремы о пределах.

Непрерывность сложной функции: Введём понятие сложной функции. Пусть функции и определены на множестве X и Y соответственно, причём множество значений функции содержится в области определения функции f Тогда функцию, принимающую при каждом значение , называют сложной функцией или суперпозицией (композицией) функций и f и обозначают .

Теорема. Если функция z=f(y) непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , причём , то в некоторой окрестности точки определена сложная функция , и эта функция непрерывна в точке .

○ Пусть задано произвольное число . В силу непрерывности функции f в точке существует число такое, что и

(2) где

В силу непрерывности функции в точке для найденного в (2) числа

можно указать число такое, что (2')

Из условий (2) и (2') следует, что на множестве определена сложная функция , причём , где , т.е. .

Это означает, в силу определения непрерывности, что функция непрерывна в точке .●

21. Непрерывность функции в точке слева и справа. Классификация точек разрыва функции.

Непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

По аналогии с понятием предела слева (справа) вводится понятие непрерывности слева (справа). Если функция f определена на полуинтервале и , т.е.f(a – 0) = f(a), то эту функцию называют непрерывной слева в точке а.

Аналогично, если функция f определена на полуинтервале и f(a + 0) = f(a), то эту функцию называют непрерывной справа в точке а.

Например, функция f(x) = [x] непрерывна справа в точке x = 1 и не является непрерывной слева в этой точке, т.к. f(1 – 0) = 0, f(1 + 0) = f(1) = 1.

Очевидно, функция непрерывна в данной точке тогда и только тогда, когда она непрерывна как справа, так и слева в этой точке.

Классификация точек разрыва функции.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.

Говорят, что функция f (x) имеет точку разрыва первого рода при x = a, если в это точке

· Существуют левосторонний предел и правосторонний предел

· Эти односторонние пределы конечны.

При этом возможно следующие два случая:

· Левосторонний предел и правосторонний предел равны друг другу:

Такая точка называется точкой устранимого разрыва.

· Левосторонний предел и правосторонний предел не равны друг другу:

Такая точка называется точкой конечного разрыва. Модуль разности значений односторонних пределов называется скачком функции.

Функция f (x) имеет точку разрыва второго рода при x = a, если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

22. Необходимое и достаточное условие непрерывности монотонной функции. Достаточное условие существования обратной функции. (все без док-ва)

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f(x) определенная на [a, b] была непрерывна на [a, b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f(x) заполняло целиком отрезок с концами f(a), f(b) (либо[f(a), f(b)] либо [f(b), f(a)]).

Достаточное условие: Функция y = f(x) имеет обратную, если всякая прямая y = y₀ пересекает график функции y = f(x) не более чем в одной точке (она может совсем не пересекать график, если y₀ не принадлежит области значений функции f).

Это же условие можно сформулировать иначе: уравнение f(x) = y₀ при каждом y₀ имеет не более одного решения.

Условие того, что функция имеет обратную, заведомо выполняется, если функция строго возрастает или строго убывает.

23. Теоремы о нулях и промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции (Теорема Больцано-Коши).

Это утверждение о том, что если непрерывная функция принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.

Пусть дана непрерывная функция на отрезке Пусть также и без ограничения общности предположим, что Тогда для любого существует такое, что .

Доказательство

Рассмотрим функцию Она непрерывна на отрезке и , Покажем, что существует такая точка , что Разделим отрезок точкой на два равных по длине отрезка, тогда либо и нужная точка найдена, либо и тогда на концах одного из полученных промежутков функция принимает значения разных знаков (на левом конце меньше нуля, на правом больше).

Обозначив полученный отрезок , разделим его снова на два равных по длине отрезка и т.д. Тогда, либо через конечное число шагов придем к искомой точке , либо получим последовательность вложенных отрезков по длине стремящихся к нулю и таких, что

Пусть - общая точка всех отрезков , Тогда и в силу непрерывности функции

Поскольку

получим, что

24. Теорема об ограниченности функции, непрерывной на отрезке.( Первая теорема Вейершстрасса)

Всякая непрерывная функция на отрезке ограничена на этом отрезке.

ДОК. Предположим противное: функция на отрезке [a; b] неограниченна ® . Последовательность ограничена по построению, поэтому по теореме у нее есть предельная точка . Поскольку функция непрерывна в точке c , она ограничена в окрестности этой точки ( теорема об ограниченности функции, имеющей предел),

т.е. . Тогда в окрестности может находиться не более конечного числа членов последовательности , что противоречит тому, что c – предельная точка последовательности .

Доказано, что множество значений функции ограничено. Тогда по теореме о точной верхней и нижней грани существует и .

ОПР. Если , то А называется наименьшим значением функции на отрезке [a; b].

Обозначение .

ОПР. Если , то В называется наибольшим значением функции на отрезке [a; b].

Обозначение .

25. Теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих точных граней. (вторая теорема Вейерштрасса)

Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения).

Доказательство: Пусть f(x)∈ C([a; b]), c=infx∈ [a; b]f(x), d=supx∈ [a; b]f(x). По первой
теореме Вейерштрасса c, d∈ R. Докажем, что f достигает на [a; b] своих граней, т.е. найдутся такие точки x1, x2∈ [a; b], чтоf(x1)=c, f(x2)=d.

Докажем, например, существование точки x2.

По определению верхней грани имеем (∀ x∈ [a; b])(f(x)=d). Предположим противное, т.е. точки x2, в которой f(x2)=dна [a; b], тогда на [a; b] выполняется условиеf(x)< d или d− f(x)> 0. Далее введем вспомогательную функцию ϕ (x)=1d− f(x). ϕ (x) на [a; b] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [a; b] функций и d− f(x)/=0), поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ (x) на [a; b]ограничена.
Это означает, что при некотором М> 0 (∀ x∈ [a; b])(0< 1d− f(x)≤ M), отсюда имеем f(x)≤ d− 1M< d.
Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f(x) на [a; b], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x2 такой, чтоf(x2)=d.

Аналогично доказывается существование точки x1∈ [a; b], такой что f(x1)=c.

26. Равномерная непрерывность функции на множестве. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.

Производная сложной функции

Теорема: Пусть функция , определенная и непрерывная в окрестности , имеет производную в точке . Функция определена и непрерывна в окрестности , где , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и

ДОК.

где и - б.м.ф. Тогда

и , где б.м.ф. в точке .

Тогда .

28. Производная суммы, произведения и частного двух функций.

Доказательство

Так как функция x = φ (t) имеет обратную функцию, то формально y можно выразить через x: y = ψ (Ф (x)). Так как функция x = φ (t) дифференцируема, то, по теореме 5, функция t = Ф(x) также дифференцируема.

Используя правила дифференцирования, получаем чтд

Аналогичную формулу можно получить и для второй производной y'' x:

Окончательно получаем

30. Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Если f определена на интервале (a, b)®R, диф-ма в " точке xÎ (a, b) то на (a, b) возникает новая функция f ’: (a, b)®R, значение которой в точке x=f ’ (x). Функция f ’ сама может иметь производную (f ’ ) ’: на (a, b)®R она по отношению к исходной функции называется второй производной от f и обозначается f ” (x), d²f(x)/dx² или f ” _xx(x), f ” _x₂(x); Опр. Если определена производная f⁽ⁿ^-1)(x) порядка n-1 от f то производная порядка n определяется формулой f⁽ⁿ⁾(x)=(fⁿ^-1))’(x). Для нее принято обозначение f⁽ⁿ⁾(x)=dⁿf(x)/dxⁿ– ф-ла Лейбница, f⁽⁰⁾(x): =f(x).

31. Понятие дифференцируемости функции и первого дифференциала. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

1.Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x)D x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = D x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

dy = f'(x)dx.

2. Дифференцируемость. Функция называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение ∆ y в этой точке может быть представлено в виде: ∆ y=A∆ x + α (∆ x) ∆ x, где A не зависит от ∆ x, α и α (∆ x) – бесконечно малая функция относительно ∆ x при ∆ x→ 0.

32. Геометрический смысл производной и дифференциала. Касательная и нормаль к графику.

Пусть f определена на (a, b) и непрерывна в точке x₀Î (a, b), пусть y₀=f(x₀), M₀(x₀, y₀); x₀+DxÎ (a, b), Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀), M(x₀+Dx, y₀+Dy). M₀M: y=k(x-x₀)+y₀ (1),

k=æ (Dx)=Dy/Dx;

1 )Если $ кон. предел lim_D_x_®₀k(Dx)=k₀ то прямая y=k₀(x-x₀)+y₀ (2) назыв.

(наклонной) касательной к графику f в точке (x₀, y₀);

2 ) Если $ бесконечный предел

lim_D_x_®₀k(Dx)=¥, то прямая x=x₀ – вертикальная касательная к графику в точке (х₀, у₀);

При х=х₀ (2) – предельное положение (1) т.о. предельное положение секущей М₀М

Dх®0 это касательная y=f(x) в точке х₀, т.к. lim_D_x_®₀k(Dx)=lim_D_x_®₀Dy/Dx=f ’ (x₀) то уравнение

касательной имеет вид y=f ’ (x₀)(x-x₀)+_y₀, где y₀=f(x₀) (3). Из 3 получаем что производная в точке х₀=tga, a - угол между касательной и осью Ох, первое слагаемое f ’ (x₀)(x-x₀)=f ’ (x₀)Dx, Dx=x-x₀ является диф-ом dy в точке х₀ Þ y-y₀=dy т.о. дифференциал функции равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.

3 )Если lim_D_x_®₀Dy/Dx=¥, то касательной является прямая х=х₀ при этом в точке х₀ бескон. производная может существовать или не существовать.

33. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков, неинвариантность их формы в общем случае.

12 Следующая ⇒