Непрерывность функции, имеющей производную.

Теорема: Если функция y = f(x) дифференцируема в некоторой точке x = x0, то она в этой точке непрерывна.

Таким образом, в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке x = x0 функция y = f(x) непрерывна не следует, что она в этой точке дифференцируема. Например, функция y = |x| непрерывна для всех x (–Ґ< х < Ґ), но в точке x = 0 не имеет производной. В этой точке не существует касательной к графику. Есть правая касательная и левая, но они не совпадают.

Производная сложной функции

Теорема: Пусть функция , определенная и непрерывная в окрестности , имеет производную в точке . Функция определена и непрерывна в окрестности , где , и имеет производную в точке . Тогда сложная функция имеет производную в точке и

ДОК.

где и - б.м.ф. Тогда

и , где б.м.ф. в точке .

Тогда .

28. Производная суммы, произведения и частного двух функций.

Производная суммы (разности) функций

Производная алгебраической суммы функций выражается следующей теоремой.

Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:

Производная конечной алгебраической суммы дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных слагаемых. Например,

Производная произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и

Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.

Производная частного функций.

Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле

29. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически.

ТЕОРЕМА (производная обратной функции)

Пусть непрерывная, строго монотонная (возрастающая или убывающая) функция на отрезке [a; b] и имеющая в точке производную . Тогда обратная функция имеет производную в точке и

ДОК.

= .

Теорема. (производная функции, заданной параметрически) Пусть функция x = φ (t) имеет обратную функцию t = Ф(x). Если функции x=φ (t), y = ψ (t) дифференцируемы и φ '(t) ≠ 0, тогда

Доказательство

Так как функция x = φ (t) имеет обратную функцию, то формально y можно выразить через x: y = ψ (Ф (x)). Так как функция x = φ (t) дифференцируема, то, по теореме 5, функция t = Ф(x) также дифференцируема.

Используя правила дифференцирования, получаем чтд

Аналогичную формулу можно получить и для второй производной y'' x:

Окончательно получаем

30. Производные высших порядков. Формула Лейбница.

Если f определена на интервале (a, b)®R, диф-ма в " точке xÎ (a, b) то на (a, b) возникает новая функция f ’: (a, b)®R, значение которой в точке x=f ’ (x). Функция f ’ сама может иметь производную (f ’ ) ’: на (a, b)®R она по отношению к исходной функции называется второй производной от f и обозначается f ” (x), d²f(x)/dx² или f ” _xx(x), f ” _x₂(x); Опр. Если определена производная f⁽ⁿ^-1)(x) порядка n-1 от f то производная порядка n определяется формулой f⁽ⁿ⁾(x)=(fⁿ^-1))’(x). Для нее принято обозначение f⁽ⁿ⁾(x)=dⁿf(x)/dxⁿ– ф-ла Лейбница, f⁽⁰⁾(x): =f(x).

31. Понятие дифференцируемости функции и первого дифференциала. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

1.Дифференциалом функции y = f(x) называется главная линейная относительно D x часть приращения D y, равная произведению производной на приращение независимой переменной

dy = f'(x)D x.

Заметим, что дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной dx = D x. Поэтому формулу для дифференциала принято записывать в следующем виде:

dy = f'(x)dx.

2. Дифференцируемость. Функция называется дифференцируемой в точке x, если ее приращение ∆ y в этой точке может быть представлено в виде: ∆ y=A∆ x + α (∆ x) ∆ x, где A не зависит от ∆ x, α и α (∆ x) – бесконечно малая функция относительно ∆ x при ∆ x→ 0.

32. Геометрический смысл производной и дифференциала. Касательная и нормаль к графику.

Пусть f определена на (a, b) и непрерывна в точке x₀Î (a, b), пусть y₀=f(x₀), M₀(x₀, y₀); x₀+DxÎ (a, b), Dy=f(x₀+Dx)-f(x₀), M(x₀+Dx, y₀+Dy). M₀M: y=k(x-x₀)+y₀ (1),

k=æ (Dx)=Dy/Dx;

1 )Если $ кон. предел lim_D_x_®₀k(Dx)=k₀ то прямая y=k₀(x-x₀)+y₀ (2) назыв.

(наклонной) касательной к графику f в точке (x₀, y₀);

2 ) Если $ бесконечный предел

lim_D_x_®₀k(Dx)=¥, то прямая x=x₀ – вертикальная касательная к графику в точке (х₀, у₀);

При х=х₀ (2) – предельное положение (1) т.о. предельное положение секущей М₀М

Dх®0 это касательная y=f(x) в точке х₀, т.к. lim_D_x_®₀k(Dx)=lim_D_x_®₀Dy/Dx=f ’ (x₀) то уравнение

касательной имеет вид y=f ’ (x₀)(x-x₀)+_y₀, где y₀=f(x₀) (3). Из 3 получаем что производная в точке х₀=tga, a - угол между касательной и осью Ох, первое слагаемое f ’ (x₀)(x-x₀)=f ’ (x₀)Dx, Dx=x-x₀ является диф-ом dy в точке х₀ Þ y-y₀=dy т.о. дифференциал функции равен приращению ординаты касательной в соответствующей точке графика.

3 )Если lim_D_x_®₀Dy/Dx=¥, то касательной является прямая х=х₀ при этом в точке х₀ бескон. производная может существовать или не существовать.

33. Инвариантность формы первого дифференциала. Дифференциалы высших порядков, неинвариантность их формы в общем случае.

Дифференциалы высших порядков. Диф-ал от диф-ла первого порядка dy=f’(x)dx функции y=f(x) (рассматриваемого только как ф-и переменной х т.е. приращение аргумента х (dx) принимается постоянным, при условии что повторное приращ-е переменной х совпадает с начальным) называется вторым диф-ом d²f(x): d(df(x))=d(f’(x)dx)=d(f’(x))dx=f”(x)dxdx=f”(x)dx² отсюда f”(x)=d²f(x)/dx²; Опр. Диф-ом n-го порядка n=1, 2… называется дифференциалом от дифференциала порядка n-1 при условии что в диф-ле берутся одни и те же приращения dx, независимого от х. dⁿf(x)=d(dⁿ^-1f(x)) не трудно видеть, что dⁿf(x)=f⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ (dxⁿ=(dx)ⁿ) Þ f⁽ⁿ⁾(x)=dⁿf(x)/dxⁿ.

Неинвариантность формы дифференциала порядка выше первого

Рассмотрим случай, когда х является не независимой переменной, а функцией от другой переменной

y = f(x), x = j(u).

В силу инвариантности формы первого дифференциала имеем

dy = f '(x) dx.

(3)

Теперь в правой части формулы (3) от переменной u зависит не только функция f(x), но и дифференциал dx. Следовательно

dx = j '(u) du, d2 x = j''(u) du2.

Таким образом, в общем случае

d2 y = f''(x) dx2 + f'(x) d2 x.

(4)

Сравнивая формулы (2) и (4), убеждаемся, что дифференциалы второго (и более высоких порядков) не обладают инвариантностью формы.

34. Экстремумы функции. Необходимые условия экстремума (теорема Ферма).

Точки экстремума

Экстре́ мум — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Точка x₀ называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f (x), если для всех значений аргумента из некоторой достаточно малой δ - окрестности точки х₀ выполняется неравенство

f (x) < f (x₀) ( f ( x) > f ( x₀ ) )

при х ≠ x₀.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием экстремум. Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что неравенство f (x) < f ( x₀) ( f (x) > f ( x₀ )) может и не выполняться для всех значений х в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой окрестности точки x₀.

⇐ Предыдущая 12