Непрерывность функции в точке.

y = f(x), x₀ Î D(f)

Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х₀, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x₀ существует и равен значению в этой точке: lim f(x) = f(x₀)

^{X ®Xo}

y y = f(x) x » x₀; f(x) » f(x₀)

 

F(x₀) y

x₀ x Δ y

x - x₀ = Δ x

f(x) – f(x₀) = Δ y

x x₀

Δ x x

f(x) непрерывна в точке x₀ Û lim Δ y = 0

^{Δ X ® O}

Свойства функций непрерывных в точке

1)Если f(x), g(x) – непрерывны в точке x₀, то f(x) ± g(x); f(x)• g(x); f(x)/g(x) (g(x) ≠ 0) – также непрерывны в точке x_0.

Докажем, что F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в точке x₀

Дано: f(x) и g(x) – непрерывны в x₀ Û lim f(x) = f(x₀); lim g(x) = g(x₀)

^{X ® Xo X ® Xo}

lim (f(x)•g(x)) = limf(x)•lim g(x) (по свойству предела функции) = f(x₀)•g(x₀) (по

^{X ® Xo X ® Xo X ® Xo}

определению непрерывности) ® F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в x₀.

 

2) f(x) – непрерывна в точке x₀, существует такая окрестность точки

f(x₀) > 0 x₀, во всех точках которой f(x) > 0.

 

15. Основные элементарные функции:

1. Степенные функции: y = x^a,

где а – любое постоянное число. Областью определения считается промежуток x > 0, но если, например, а–натуральное число, функция определена для всех х.

2. Показательная функция: y = a^x,

где a > 0, a ≠ 1. Область определения – множество всех действительных чисел.

3. Логарифмическая функция: y = log_ax,

где a > 0, a ≠ 1. Область определения: x > 0.

4. Тригонометрические функции: y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x.

Область определения для sin x и cos x – множество действительных чисел.

5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x, y = arccos x, y = arctgx.

Область определения x Î [-1; 1] для arcsin x и arccos x, множество действительных чисел для arctg x.

Действия над функциями, которые считаются допустимыми:

1. все арифметические действия (f + g, f – g, f•g, f/g);

2. построение сложной функции.

Элементарными функциями называются такие, которые получаются из основных с помощью допустимых действий.

Элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.

Теорема о непрерывности сложной функции.

Пусть даны две функции x = φ (t) с областью определения Т и множеством значений Х, и y = f(x) с областью определения Х и множеством значений Y.

Тогда «цепное правило: _{φ f}

t ® x ® y

определяет новую функцию с областью определения Т. Эта новая функция обозначается y = f ( φ (t) ) и называется сложной функцией.

Если x = φ (t) – непрерывна в t₀ Þ y = f ( φ (t) ) – непрерывна в t₀

y = f(x) – непрерывна в x₀ = φ (t₀)

Доказательство:

x = φ (t) – непрерывна в t₀ Û Δ t ® 0 Þ Δ φ ® 0 (Δ x ® 0)

y = f(x) – непрерывна в x₀ Û Δ x ® 0 Þ Δ f ® 0

↓

Δ t ® 0 Þ Δ x ® 0 Þ Δ f ® 0 (Δ t ® 0 Þ Δ f ® 0)

y = f(φ (t)) – непрерывна в t₀

 

Теорема о непрерывности обратной функции.

Пусть y = f(x) - функция с областью определения X (D(f) = X) и областью значений Y (E(f) = Y). При этом разным значениям х отвечают разные значения y. Тогда для каждого значения y Î Y существует только одно x Î Х, такое, что f(x) = y. Если мы сопоставим каждому y Î Y именно такое x, то получим отображение множества Y в множество X. Это отображение называется обратным к данному отображению f и обозначается f ^-1, т. е. обратная функция для y = f(x) есть x = f ^–1(y).

 

Пусть y = f(x) (x Î D (f)) непрерывна и возрастает на отрезке [a; b], тогда обратная функция x = f^—1(y) также непрерывна и возрастает на [f(a); f(b)].

(аналогично для непрерывной убывающей функции).

 

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва, их 7классификация.

Функция, определённая в некоторой окрестности точки х₀, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке х₀ существует и равен значению в этой точке.

Функция f(x), определённая на отрезке [a, b], называется непрерывной в точке а справа, если lim f(x)=f(a) (аналогично слева)

^x®a+0

Функция y=f(x) непрерывна на Х, если эта функция непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Если lim f(x) не равен lim f(x₀)

^X®Xo

, то х₀ - точка разрыва непрерывности этой функции.

Классификация точек разрыва.

1. х₀ – точка разрыва первого рода, если одосторонние пределы существуют, но они не равны между собой.

1.1 Точка устранимого разрыва, если односторонние пределы равны между собой, но их значение не совпадает со значением функции в этой точке.

Lim f(x)=lim f(x) не равен f(x₀)

^{X®Xo-0 X®Xo+0}

1.2 Точка разрыва с «конечным скачком». Правый и левый пределы не совпадают.

1.3 Точка разрыва с «бесконечным скачком». Хотя бы один односторонних пределов бесконечен.

2. х₀ - точка разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует.

 

Предыдущая123456789101112131415Следующая

Поделиться:

Популярное:

1. Hекоторые стандартные функции
2. I. Интегральное исчисление функции одной переменной
3. I. Спинной мозг: строение и функции
4. II. Ценности и функции культуры. Человек как творец и продукт культуры.
5. III. 41. Стратегия и функции управления.
6. V1: Культурология как наука. Понятие, сущность, формы и функции культуры.
7. Авторские жанровые наименования в составе заголовочного комплекса, их функции
8. Аттестация государственных служащих: понятие, цели, задачи, функции, принципы.
9. Бесконечно большие функции и их связь с
10. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
11. БИЛЕТ 30. ЯЗЫК ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. ОСНОВНЫЕ ФУНКЦИИ. СОДЕРЖАТЕЛЬНОСТЬ ЯЗЫКОВОГО УРОВНЯ ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ФОРМЫ. ЯЗЫК ХУДОЖЕСТВЕННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ И РЕЧЬ ХУДОЖЕСТВЕННАЯ.
12. В основе их единый язык игры, но цель, функции и способы использования его в каждом случае иные.