Непрерывность функции в точке. Точки разрыва

Функция f(x) называется непрерывной в точке х₀, если при х → х₀ предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т.е.

f(x) = f(x₀).

Для непрерывности функции f(x) в точке х₀ необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) функция должна быть определена точке х₀и в некоторой окрестности, содержащей эту точку;

2) функция должна иметь равные односторонние пределы

f(x) = f(x);

3) односторонние пределы функции при х → х₀ равны значению функции в этой точке f(x) = f(x₀).

Функция f(x) называется разрывной в точке х₀, если она определена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х₀ не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Разрыв функции f(x) в точке х₀, называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы f(x) и f(x). Функция f(x), график которой приведен на рисунке 9, имеет в точке х = 2 разрыв первого рода, так как для нее существуют пределы при х → 2 справа и слева.

Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода. Функция у = , график которой приведен на рисунке 10, имеет в точке х = 0 разрыв второго рода, так как при х → 0 для нее не существует предела ни слева, ни справа.

Скачком функции f(x) в точке разрыва х₀, называется разность ее односторонних пределов f(x) – f(x) если они различны.

Пример. Дана функция у = . Найти ее точки разрыва, если они существуют и скачок функции в каждой точке разрыва.

Решение.

Функция у = определена и непрерывна на всей числовой прямой, кроме точки х = 2. Из этого следует что в точке х = 2 функция имеет разрыв (рис. 11.).

Исследуем точку разрыва:

= -3, так как при всяком значении х < 2 эта функция равна -3;

= 3, так как при всяком значении х > 2 эта функция равна 3. Следовательно, в точке х = 2 функция имеет конечный разрыв; её скачок в точке разрыва конечный:

–

= 3 – (-3) = 6.

٭ ٭

150. Исходя из определения, доказать непрерывность функций:

а) у = х² + х – 2 для всех х (- ∞; + ∞ );

b) у = х³ – 2х +4 для всех х (- ∞; + ∞ ).

151. Исходя из определения, доказать непрерывность функций:

а) у = sin (3x + 2) для всех х (- ∞; + ∞ );

b) у = cos (5x – 1) для всех х (- ∞; + ∞ ).

152. Исследовать функции на непрерывность, установить род точек разрыва:

а) у = х + ;	d) у = ;
b) у = ;	е) у = ;
с) у = е ;	f) у = tg .

153. Исследовать функции на непрерывность, установить род точек разрыва:

	х² при - ∞ < х < 1, 2х- 1 при 1≤ х < ∞;		cos при - ∞ < х < 1, х – 1 при 1≤ х < ∞;
а) у =	с) у =

	- при х < 0, 1 при 0 ≤ х < 1, х при 1 ≤ х ≤ 2;	.	при х < 0,
b) у =	d) у =	х при 1 ≤ х < 2,
		3 при 2 ≤ х ≤ 3.

154. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и скачок функции в каждой точке разрыва:

а) у = х + ;	с) у = ;
b) у = ;	d) у = .

155. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и скачок функции в каждой точке разрыва:

а) у = 4х – ;	с) у = ;
b) у = ;	d) у = .

156. Найти точки разрыва функции, если они существуют, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график:

а) у = ;	с) у = ;
b) у = ;	d) у = arcctg .

157. Найти точки разрыва функции, если они существуют, скачок функции в каждой точке разрыва и построить график:

а) у =	- х² при х ≤ 3,
х при х > 3;
b) у =	3 при 0 ≤ х ≤ 1,
7 - 3х при 1< х < 4,
2х +1 при 4 ≤ х < + ∞;
с) у =	3х -1 при - ∞ < х < - 1,
при - 1≤ х < ∞.

Глава 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§1.Производная функции

Определение производной функции

Определение. Производной функции у = f(x) в точке х₀ называется предел отношения приращения функции ∆ у в точке х₀ к приращению аргумента ∆ х, когда последний стремится к нулю.

Таким образом, если у = f(x) - функция от х, то производная f'(x) этой функции при данном значении х определяется равенством

f'(x) = .