Моделирование надежности сложных нерезервированных

Систем

Теоретические сведения

Дана система, состоящая из m элементов, каждый из которых имеет вероятность безотказной работы . Создать компьютерную модель надежности этой системы.

Схематически эта модель представляет собой последовательное соединение элементов системы (рис.7.2).

 

Рис.7.2

 

Для последовательно соединенных элементов вероятность безотказной работы равна: .

Блок схема алгоритма

Введем обозначения:

N – количество испытаний;

k – номер испытания;

i – номер элемента;

- событие безотказной работы i –го элемента: -отказа нет; - произошел отказ.

7.2.2. Задание.Согласно варианту задания (табл.7.2) необходимо составить и отладить программу моделирования надежности сложных нерезервированных систем.

 

Таблица 7.2

Вариант	N	m
			0, 40
			0, 50
			0, 60
			0, 80
			0, 70
			0, 45
			0, 55
			0, 65
			0, 42
			0, 52
			0, 62
			0, 72
			0, 46
			0, 56
			0, 66
			0, 76

 

Моделирование надежности сложных систем

(смешанное соединение элементов)

Теоретические сведения

Дана системе, состоящая из m элементов, каждый из которых имеет вероятность безотказной работы . Создать компьютерную модель надежности этой системы.

Схематически эта модель представляет собой последовательное соединение элементов системы (рис.7.3).

 

Рис.7.3

Для смешанного соединения элементов системы вероятность безотказной работы равна .

 

7.3.2. Задание.Согласно варианту задания (табл.7.2) необходимо составить и отладить программу моделирования надежности сложных систем для смешанного соединения элементов. При выполнении работы ввести обозначения, аналогичные п.7.2.1.

 

Метод Монте-Карло (метода статистических испытаний)

Цель работы.Получение теоретических и практических навыков использования метода Монте-Карло для решения математических задач.

Теоретические сведения

Монте-Карло – всемирный центр игорного бизнеса – дал название большой группе методов, которые позволяют приближенно решать сложные задачи моделирования с помощью случайных чисел.

Подавляюще число расчетов по методу Монте-Карло осуществляется с использованием псевдослучайных чисел. От последовательности случайных чисел , равномерно распределенных в интервале [0; 1] (см. п.6), можно перейти к последовательности случайных чисел с произвольно заданным законом распределения, используя табл.7.2

 

Таблица 7.2

 

а) Вычисление площади фигур

Идея метода заключается в следующем. Сначала вся фигура , площадь которой надо определить, заключается внутрь другой фигуры , для которой площадь легко вычисляется. Чаще всего этой фигурой-контейнером является прямоугольник, хотя можно использовать окружность и другие фигуры.

Далее с помощью датчика случайных чисел с равномерным распределением генерируются случайные координаты (х, у) точки внутри прямоугольника и определяют, попала точка на фигуру или нет. Такие испытания проводятся N раз.

 

Пусть из N точек, полученным таким образом, М попали на фигуру. Тогда, считая, что распределение точек в прямоугольнике равномерное, можно записать пропорцию

.

Из этой формулы найдем площадь искомой фигуры

,

где произведение двух множителей в скобках представляет собой площадь прямоугольного контейнера.

Метод Монте-Карло чрезвычайно эффективен, прост, но необходим «хороший» генератор случайных чисел. Вторая проблема применения метода заключается в определении объема выборки, то есть количества точек N, необходимых для обеспечения решения с заданной точностью. Эксперименты показывают: чтобы увеличить точность в 10 раз, объем выборки нужно увеличить в 100 раз; то есть точность примерно пропорциональна корню квадратному из объема выборки:

.

 

Пример 1.Используя метод Монте-Карло, вычислить площадь круга радиуса R=5см. с центром в точке (1; 2).

Решение.Уравнение соответствующей окружности имеет вид

(х-1)² + (у-2)² = 25.

Для решения задачи методом Монте-Карло впишем круг в квадрат. Его вершины будут иметь координаты (-4; -3); (6; -3); (-4; 7); (6; 7). Любая точка внутри квадрата или на его границе должна удовлетворять неравенствам –4 < x < 6 и –3 < у < 7.

 

 

Проведя испытания и получив множество случайных точек, подсчитываем число точек, попавших внутрь круга или на окружность. Если выборка состоит из n наблюдений и M из N точек попали внутрь круга или на окружность, то оценку площади круга можно получить из соотношения:

S_кр = S_кв M/N = 100 M/N.

В табл.7.3 приведены оценки S_кр, полученные для разных значений N. При этом для каждого N выполнялось 5 прогонов (S_кр =78, 54 кв.см).

 

Таблица 7.3

Оценка площади круга

Номер прогона	Оценка площади круга Sкр
Число испытаний n
		1 000	5 000	10 000
		79, 5		79, 5
				81, 88	78, 8
		77, 3	80, 2	79, 5	79, 8
		79, 13	81, 29	78, 22	78, 6
		77, 72	77, 76		78, 26
Среднее	75, 6	78, 63	78, 77	78, 23	78, 88
Дисперсия	27, 3	0, 3	0, 0789	0, 0785	0, 01

 

Выводы:

1. С ростом числа генерируемых точек (т. е. продолжительности прогона модели) оценки площади круга приближаются к точному значению (78, 54 кв.см.). Это условие обычно достигается после по­вторения эксперимента достаточное количество раз. Наблюдаемое явление типично для результатов любой имитационной модели. Обычно в большинстве имитационных моделей нас интересуют результаты, полученные в стационарных условиях.

2. Прогоны модели (отличающихся друг от друга только последовательностью используемых случайных чисел) дают различные оценки при одном и том же значении п. Каждый прогон мож­но рассматривать как наблюдение в эксперименте, связанном с мо­делированием.

3. Влияние переходных условий умень­шается, если усреднить результаты серий. Сущест­вует предел, за которым увеличение продолжительности прогона модели уже не дает существенного повышения точности результа­та, измеряемого дисперсией. Это замечание представляется чрезвы­чайно важным, поскольку затраты на эксплуатацию имитационной модели прямо пропорциональны продолжительности прогонов. Поэтому желательно найти компромисс между большой точностью (т. е. малой дисперсией) и небольшими затратами на процедуру получения результатов.

Замечание. Если - последовательность случайных чисел, равномерно распределенных на отрезке [0, 1], то для определения последовательности случайных чисел равномерно распределенных на отрезке [a, b] необходимо использовать формулу .

Пример 2. Используя метод Монте-Карло, вычислить приближенно число .

Решение. Известно, что площадь круга равна , где R – радиус круга. Тогда , то есть, зная радиус окружности и определив численно ее площадь, можно приближенно рассчитать значение .

Выберем окружность единичного радиуса с центром в начале координат и рассмотрим ее четверть.

 

 

Для использования метода Монте-Карло необходимо, используя датчик случайных чисел, равномерно заполнить точками (пусть их общее количество будет N) квадрат со стороной 1 и подсчитать, сколько из них окажется внутри окружности (это число обозначим через М). Тогда площадь всей окружности равна 4M/N, а так как ее радиус равен 1, это же число примерно равно .

 

Варианты заданий.

Согласно варианту задания найти площадь заштрихованной фигуры методом Монте-Карло.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11. Определить методом Монте-Карло площадь треугольника, вершины которого имеют координаты (-1, 0); (0, 1); (1, 0).

 

12.Определить методом Монте-Карло площадь фигуры, ограниченной кривой

.

 

13.Определить методом Монте-Карло площадь фигуры, ограниченной кривой

.

 

⇐ Предыдущая12345

Поделиться:

Популярное:

1. Актуальные проблемы когнитивной ортологии связаны с моделированием феномена нормы в языковой картине мира.
2. Библиографическая проверка надежности Нового Завета
3. ЗЕМЛЯНОЕ ПОЛОТНО В СЛОЖНЫХ УСЛОВИЯХ
4. Имитационное моделирование в математике.
5. Индексный метод для измерения влияния факторов в сложных
6. Квалификация сложных составов преступлений
7. Коммуникация, проектирование, моделирование, управление и организация деятельности.
8. Математическое моделирование и компьютеры
9. Моделирование в экономике. Задача линейного программирования
10. Моделирование временного аспекта и структурной организации системы
11. Моделирование государственной политики в области информационной безопасности
12. Моделирование изотерм сорбции