Имитационное моделирование в математике.

Имитационное моделирование — это метод исследования, основанный на том, что изучаемая система заменяется имитатором и с ним проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе (суть явления постигается без к экспериментов на реальном объекте).

Вычисление площадей методом Монте-Карло.

С помощью этого метода можно найти площадь любой фигуры G, которая имеет сложный контур, который сложно описать аналитически или сложно проинтегрировать. Нужно вписать эту фигуру в фигуру известной площади, скажем в прямоугольник с вершинами A, B, C, D и бросать точку на эту фигуру. Вероятность попадания точки в G будет равна отношению площадей.

Число успешных попаданий S _фигуры_G

P ( вероятность попадания в G) = --------------------------------------- = -----------------

Общее число бросков S _АВСВ

S _фигуры_G = S _АВСВ * P

Кроме вычисления площадей и объемов с помощью метода Монте – Карло можно вычислять решать системы уравнений и приближённо вычислять значение числа p.

Задание 1. Вычисление числа p методом Монте – Карло.

Вычисление π сводится к нахождению площади круга, радиус которого равен единице, с центром в точке М(0, 0).

Мы знаем, что площадь круга с радиусом 1 равна π

Вычислим эту площадь методом Монте-Карло и проверим будет ли она равна числу π.

1) Строим окружность r = 1, с центром в точке (0, 0). Площадь окружности мы не знаем.

2) Заключаем окружность в квадрат. Площадь квадрата 2*2 = 4

3) Проводим 1000 испытаний:

· Бросаем точку случайным образом в правый верхний сектор квадрата (его площадь 4/4=1) т.е. генерируем пару случайных чисел x и y x, y Î [0, 1].

· Определяем куда попадет точка: если x²+y²≤ 1 (x²+y²=R – уравнение окружности радиуса R, с центром в начале координат), то точка попадет в круг, иначе не попадет.

· Считаем количество попаданий

· Вычисляем вероятность попадания точки в окружность

· Вычисляем площадь единичной окружности (она должна быть близка к числу π ).

Табличная модель.

СЛЧИС() - функция Excel, возвращающая равномерно распределенное случайное число большее либо равное 0 и меньшее 1. Чтобы получить случайное вещественное число между a и b, можно использовать следующую формулу: СЛЧИС()*(b-a)+a

x= СЛЧИС()

y= СЛЧИС()

Результат эксперимента: ЕСЛИ(x*x+y*y< =1; 1; 0)

x	y	Площадь 1/4 квадрата
		Количество попаданий
		Количество испытаний
		Вероятность попадания
		Пи

Проведите 1000, 5000, 10000 испытаний. Как будет зависеть точность вычисления числа p от количества испытаний.

Задание 2. Задача Бюффона (еще один способ вычисления числа p).

В XVIII веке граф Жорж де Бюффон сформулировал задачу о нахождении вероятности того, что брошенная на разграфленный лист бумаги игла пересечет одну из линий. Оказалось, что эта вероятность связана с числом p, что сделало возможным поиск этого числа вероятностными методами, т.е. методом Монте-Карло. Попытаемся и мы посчитать число p, имея в своем распоряжении такой мощный инструмент, как компьютер.

На листе бумаги начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии L =1. На лист брошена игла длиной l = 0, 5 (l= L/2). Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

С одной стороны эта вероятность определяется соотношением (найденным Ж.Бюффоном в VIII в):

, если L = 2 ∙ L, то

С другой стороны:

, где N - число бросаний, N₁ - число пересечений иглы с линией.

Имитационное моделирование проведем следующим образом.

Проводим 1000 испытаний (бросков иглы), считаем количество испытаний, в которых игла пересекла ось Х, находим вероятность P пересечения иглой оси Х, и затем вычисляем значение числа p из соотношения:

Положение иглы на листе полностью определяется двумя независимыми случайными величинами:

· углом α (0 < α < π )

· координатой y0 центра иглы. В нашем примере L=1, l = 0, 5, поэтому (-0, 75 < y0 < 0, 75).

Таким образом, чтобы смоделировать одно выпадение иглы, нам необходимо сгенерировать две случайные величины α и y0.

Координаты концов иглы определяются по следующим формулам:

Как определить пересекла ли игла ось Х? Если игла пересекла ось Х, координаты ее концов будут иметь разные знаки (y₁∙ y₂≤ 0)

Табличная модель.

y0 = СЛЧИС()*(0, 75+0, 75)-0, 75

α = СЛЧИС()*ПИ()

Результат бросания: ЕСЛИ(y1*y2< =0; 1; 0)

y0	α	y1	y2	Длина иглы, l	0, 5
				Кол-во бросков, N
				Кол-во попаданий, N1
				Вероятность попадания, Р
				p

Проведите 1000, 5000, 10000 испытаний. Как будет зависеть точность вычисления числа p от количества испытаний.

Рассмотренная задача Бюффона — одно из очень многих приложений метода Монте-Карло. С помощью этого метода рассчитываются ядерные реакторы, он широко используется в геофизике, экономике, биологии, экологии и т.д., словом, для решения тех задач, где аналитические или численные методы решения не работают из-за высокой степени сложности.

123	Поделиться: