Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Моделирование случайных процессов.



Лабораторная работа №7

Моделирование случайных процессов.

Понятие «случайный» - одно их самых фундаментальных как в математике, так и в повседневной жизни. Моделирование случайных процессов – мощнейшее направление в современном математическом моделировании.

Событие называется случайным, если оно достоверно непредсказуемо.

В вероятностных моделях смена состояний моделируемой системы определяется случайными величинами.

Случайные величины могут применяться при подсчете точных значений. Одним из распространенных приближенных вычислительных способов решения задач является метод Монте-Карло (метод статистических испытаний и статистического моделирования).

 

Имитационное моделирование в математике.

 

Имитационное моделирование — это метод исследования, основанный на том, что изучаемая система заменяется имитатором и с ним проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе (суть явления постигается без к экспериментов на реальном объекте).

Вычисление площадей методом Монте-Карло.

С помощью этого метода можно найти площадь любой фигуры G, которая имеет сложный контур, который сложно описать аналитически или сложно проинтегрировать. Нужно вписать эту фигуру в фигуру известной площади, скажем в прямоугольник с вершинами A, B, C, D и бросать точку на эту фигуру. Вероятность попадания точки в G будет равна отношению площадей.

Число успешных попаданий S фигуры G

P ( вероятность попадания в G) = --------------------------------------- = -----------------

Общее число бросков S АВСВ

S фигуры G = S АВСВ * P

 

Кроме вычисления площадей и объемов с помощью метода Монте – Карло можно вычислять решать системы уравнений и приближённо вычислять значение числа p.

 

Задание 1. Вычисление числа p методом Монте – Карло.

Вычисление π сводится к нахождению площади круга, радиус которого равен единице, с центром в точке М(0, 0).

Мы знаем, что площадь круга с радиусом 1 равна π

Вычислим эту площадь методом Монте-Карло и проверим будет ли она равна числу π.

1) Строим окружность r = 1, с центром в точке (0, 0). Площадь окружности мы не знаем.

2) Заключаем окружность в квадрат. Площадь квадрата 2*2 = 4

 

 

 


3) Проводим 1000 испытаний:

· Бросаем точку случайным образом в правый верхний сектор квадрата (его площадь 4/4=1) т.е. генерируем пару случайных чисел x и y x, y Î [0, 1].

· Определяем куда попадет точка: если x2+y2≤ 1 (x2+y2=R – уравнение окружности радиуса R, с центром в начале координат), то точка попадет в круг, иначе не попадет.

· Считаем количество попаданий

· Вычисляем вероятность попадания точки в окружность

· Вычисляем площадь единичной окружности (она должна быть близка к числу π ).

 

Табличная модель.

СЛЧИС() - функция Excel, возвращающая равномерно распределенное случайное число большее либо равное 0 и меньшее 1. Чтобы получить случайное вещественное число между a и b, можно использовать следующую формулу: СЛЧИС()*(b-a)+a

x= СЛЧИС()

y= СЛЧИС()

Результат эксперимента: ЕСЛИ(x*x+y*y< =1; 1; 0)

 

x y     Площадь 1/4 квадрата
      Количество попаданий  
        Количество испытаний  
        Вероятность попадания  
        Пи  
           

Проведите 1000, 5000, 10000 испытаний. Как будет зависеть точность вычисления числа p от количества испытаний.

 

Задание 2. Задача Бюффона (еще один способ вычисления числа p).

 

В XVIII веке граф Жорж де Бюффон сформулировал задачу о нахождении вероятности того, что брошенная на разграфленный лист бумаги игла пересечет одну из линий. Оказалось, что эта вероятность связана с числом p, что сделало возможным поиск этого числа вероятностными методами, т.е. методом Монте-Карло. Попытаемся и мы посчитать число p, имея в своем распоряжении такой мощный инструмент, как компьютер.

 

На листе бумаги начерчены параллельные прямые, находящиеся друг от друга на расстоянии L =1. На лист брошена игла длиной l = 0, 5 (l= L/2). Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых?

 


С одной стороны эта вероятность определяется соотношением (найденным Ж.Бюффоном в VIII в):

, если L = 2 ∙ L, то

 

С другой стороны:

, где N - число бросаний, N1 - число пересечений иглы с линией.

 

Имитационное моделирование проведем следующим образом.

Проводим 1000 испытаний (бросков иглы), считаем количество испытаний, в которых игла пересекла ось Х, находим вероятность P пересечения иглой оси Х, и затем вычисляем значение числа p из соотношения:

 

 

Положение иглы на листе полностью определяется двумя независимыми случайными величинами:

· углом α (0 < α < π )

· координатой y0 центра иглы. В нашем примере L=1, l = 0, 5, поэтому (-0, 75 < y0 < 0, 75).

 

Таким образом, чтобы смоделировать одно выпадение иглы, нам необходимо сгенерировать две случайные величины α и y0.

Координаты концов иглы определяются по следующим формулам:

 

Как определить пересекла ли игла ось Х? Если игла пересекла ось Х, координаты ее концов будут иметь разные знаки (y1∙ y2≤ 0)

 

Табличная модель.

y0 = СЛЧИС()*(0, 75+0, 75)-0, 75

α = СЛЧИС()*ПИ()

Результат бросания: ЕСЛИ(y1*y2< =0; 1; 0)

 

y0 α y1 y2     Длина иглы, l 0, 5
          Кол-во бросков, N  
          Кол-во попаданий, N1  
            Вероятность попадания, Р  
            p  
               
               

 

Проведите 1000, 5000, 10000 испытаний. Как будет зависеть точность вычисления числа p от количества испытаний.

 

Рассмотренная задача Бюффона — одно из очень многих приложений метода Монте-Карло. С помощью этого метода рассчитываются ядерные реакторы, он широко используется в геофизике, экономике, биологии, экологии и т.д., словом, для решения тех задач, где аналитические или численные методы решения не работают из-за высокой степени сложности.


Задание 3. Очередь к одному продавцу

Рассмотрим одну из простейших задач данного класса. Имеется магазин с одним продавцом, в который случайным образом входят покупатели. Если продавец свободен, он начинает обслуживать покупателя сразу, если покупателей несколько, выстраивается очередь.

 

Первая случайная величина в этой задаче - промежуток между приходами любой последовательной пары покупателей. Покупатели заходят в магазин с интервалом от 0 до 5 мин. Будем считать, что эта случайная величина равномерно распределена на интервале [0, 5] (чтобы была возможность использовать функцию СЛЧИС()). На самом деле распределение Пуассоновское

 

Вторая случайная величина – длительность обслуживания каждого покупателя. Обслуживание покупателя может занять у продавца от 0 до 10 минут. Также примем, что случайная величина равномерно распределена на интервале [0, 10].

 

При моделировании систем такого вида возникают следующие вопросы:

Каково среднее время ожидания покупателем в очереди?

Каково среднее время простоя продавца в ожидании покупателя?

 

Зная ответы на эти вопросы, можно оптимизировать работу магазина. Если имеются очереди можно поставить второго продавца, но если при этом продавцы будут мало заняты, возникнет ущерб для предприятия. В результате моделирования нужно найти оптимальное решение при наличии противоречивых требований.

Табличная модель.

ai = СЛЧИС()*Т

bi = СЛЧИС()*t

c1 = 0, ci+1=ci+ai+1

d1 = 0, di+1=МАКС(ci+1; ei) ei = di+bi

fi = ei – ci

g1 = 0, gi+1 = fi+1 – bi+1

h1 = 0, hi+1 = di+1 - ei

Моделирование очереди к одному продавцу
Максимальный промежуток между приходами покупателей (Т), мин
Максимальное время обслуживания покупателя (t), мин
Среднее время ожидания покупателем в очереди  
Среднее время простоя продавца в ожидании  
A B C D E F G H
Промежутки между приходами покупателей Длительность обслуживания Условное время прихода покупателя Момент начала обслуживания Момент окончания обслуживания Время, проведенное покупателем в магазине Время, проведенное покупателем в очереди Время, проведенное продавцом в ожидании
             
               
               
               

 

Подберите значение t, чтобы среднее время ожидания покупателем в очереди и среднее время простоя продавца в ожидании были минимальными.

 

Задание 5. Модель «пьяницы»

 

На случайности основана так называемая " модель пьяницы", которая используется для моделирования всевозможных хаотических движений частиц (движений молекул каких-либо газов или жидкостей). С помощью этой модели моделируются многие химические и физические процессы, проходящие в дискретных средах - в газах и жидкостях - явления диффузии, всевозможные потоки частиц, ветер, водопад, взрыв и т.д.

 

Табличная модель.

 

Модель " Пьяницы" - точка блуждает по горизонтальной линии
       
h max – макс шаг в сторону =  
       
p h x  
     
       
       

 

Постройте с помощью диаграммы траекторию движения точки.

 

 

Задание 4. Реализация игры «Жизнь» в Excel

Клетки в исходной таблице Excel слишком велики для нашей задачи. Поэтому придадим им вид небольших квадратов. В качестве примера возьмем игровое поле 5x5.

1) Отведем для игры клетки В2: F6.

2) Если клетка жива, то в ячейку запишем 1, если мертва, то 0. Зададим произвольное начальное состояние

 

Далее нам понадобятся две вспомогательные таблицы. В ячейках Н2: L6 будет храниться " потенциал" клеток.

3) Для вычисления потенциала клетки В2 введем в ячейку Н2 следующую формулу:

 

= СУММ(A1: C3)-B2 (1)

 

В данном случае подсчитывается число живых клеток в окрестности клетки

4) Закончив ввод формулы (1) нажатием клавиши Enter, установим курсор на правый нижний угол клетки Н2 и размножим формулу сначала до ячейки L2, а затем вниз, заполнив всю таблицу Н2: L6.

 

Сложнее всего задать правило поведения клеточного автомата.

 

5) Запишем в ячейку В10 правило поведения автомата В2, используя логические функции:

 

=ЕСЛИ(ИЛИ(H2> 3; H2< 2); 0; ЕСЛИ(H2=3; 1; ЕСЛИ(H2=2; B2; -1))) (2)

 

Первое ЕСЛИ в функции (2) означает, что клетка будет мертва при потенциале Н2 = 0, 1, 4, 5, 6, 7; второе ЕСЛИ - что при потенциале 3 клетка будет живой, третье ЕСЛИ - что при потенциале 2 состояние автомата в клетке В2 не меняется. Наконец, выражение (-1) означает, что при невыполнении всех предыдущих условий в ячейку В10 будет записано значение (-1). (Заметим, что в данном случае этот вариант невозможен.)

 

6) Функция (2) записывается только в одну ячейку В10, далее она размножается вправо до ячейки F10, а затем вниз, заполняя всю таблицу B10: F14. Таким образом, если в таблице B2: F6 мы имеем состояние системы в момент t, то в таблице B10: F14 вычисляется состояние системы в следующий момент t + 1.

7) Теперь необходимо скопировать таблицу B10: F14 в таблицу B2: F6. Делается это следующим образом.

Шаг 1. Выделяем таблицу BIO: F14.

Шаг 2. В меню " Правка" выбираем команду " Копировать".

Шаг 3. Устанавливаем курсор в ячейку В2.

Шаг 4. В меню " Правка" выбираем команду " Специальная вставка". В раскрывшейся дополнительной вкладке следует из первого столбца " Вставить" выбрать строку " Значения" и нажать кнопку ОК.

 

В итоге в таблице B2: F6 появится картинка нового состояния системы.

 

Процедуру копирования можно существенно ускорить, если подготовить соответствующий макрос. Делается это очень просто.

 

1) В Excel 2000 в меню " Сервис" выбираем " Макрос", а затем команду " Начать запись".

2) В раскрывшейся вкладке можно дать имя макросу либо оставить предлагаемый вариант " Макрос 1".

3) Назначаем макросу клавишу быстрого вызова, например Ctrl + e.

4) Нажимаем ОК.

5) Появится таблица Excel, и на экране возникнет кнопка " Остановить макрос".

6) Выполним указанные выше операции (шаги 1-4) и нажмем кнопку " Остановить".

 

Запись макроса будет закончена.

 

Теперь переход к следующему временному такту будет происходить после каждого нажатия комбинации клавиш Ctrl + е и можно спокойно наблюдать за эволюцией системы.

Примеры структур для игры «Жизнь»:

1. Неизменяемые формы жизни (которые в следующие моменты времени остаются неизменными):


Block Boat

 

2. Осцилляторы (или переключатели):


Blincker Toad

 

3. Перемещающиеся (планеры, которые перемещаются по всей игровой площади):


Glider Lightweight spaceship

В каталоге «Практика» откройте файл Lifemodel.xls и посмотрите борьбу двух структур в игре «Жизнь»


Идеи для проектов можно найти в книге «Модели социальных процессов» (электронный вариант http: //bibl.tikva.ru)

 

Например, на странице 262 описана модель процесса расовой сегрегации. Клеточные автоматы (игра «Жизнь» относится к клеточным автоматам) используются как инструмент для изучения процессов социальной самоорганизации.

Лабораторная работа №7

Моделирование случайных процессов.

Понятие «случайный» - одно их самых фундаментальных как в математике, так и в повседневной жизни. Моделирование случайных процессов – мощнейшее направление в современном математическом моделировании.

Событие называется случайным, если оно достоверно непредсказуемо.

В вероятностных моделях смена состояний моделируемой системы определяется случайными величинами.

Случайные величины могут применяться при подсчете точных значений. Одним из распространенных приближенных вычислительных способов решения задач является метод Монте-Карло (метод статистических испытаний и статистического моделирования).

 


Поделиться:



Популярное:

  1. Актуальные проблемы когнитивной ортологии связаны с моделированием феномена нормы в языковой картине мира.
  2. В середине 30-х годов в стране прошел ряд открытых судебных политических процессов.
  3. Законы распределения случайных погрешностей
  4. И все. Кармический урок стал основой психики и реальных жизненных процессов.
  5. Имитационное моделирование в математике.
  6. Индексы и индексный метод в исследовании социально-экономических явлений и процессов.
  7. Исключение случайных колебаний (Методы механического сглаживания).
  8. Ключевые характеристики патологических процессов.
  9. Коммуникация, проектирование, моделирование, управление и организация деятельности.
  10. Математическая обработка результатов измерений при наличии только случайных ошибок
  11. Математическое моделирование и компьютеры
  12. Методика расчета случайных ошибок прямых измерений


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-31; Просмотров: 807; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.072 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь