Характеристики СМО с ожиданием в установившемся режиме

Поведение СМО с ожиданием в стационарном режиме описывается следующими основными характеристиками:

Вероятность того, что все каналы свободны:

(10)

Вероятность того, что все каналы заняты:

(11)

Вероятность того, что все n каналов заняты и r заявок находится в очереди:

(12)

Среднее число заявок в очереди:

(13)

Среднее время ожидания заявок в очереди:

(14)

Среднее число каналов, свободных от обслуживания:

(15)

Среднее число каналов, занятых обслуживанием:

(16)

Коэффициент простоя каналов:

(17)

Коэффициент загрузки каналов:

(18)

5. Описание реальной СМО с ожиданием и постановка
задачи исследования

В качестве реальной СМО рассмотрим следующую задачу. Порт имеет n причалов для разгрузки судов. Если все причалы заняты, то прибывшие суда ожидают своей очереди на разгрузку. В среднем за сутки на разгрузку поступает λ судов, а среднее время разгрузки одного судна составляет ν рабочих дней, т.е. интенсивность разгрузки судов в сутки.

Простой каждого судна перед разгрузкой обходится государству в Q_ож ед. стоимости в сутки, простой одного причала - в Q_п.к. ед. стоимости в сутки, а стоимость суточной эксплуатации причала - в Q_к ед. стоимости.

Эффективность функционирования порта можно оценить величиной суммарных потерь, связанных с простоем судов и причалов, а также с эксплуатацией причалов. Эти потери находятся по следующей формуле:

(19)

Необходимо сделать оценку экономической целесообразности увеличения числа причалов в соответствии с критерием суммарных потерь, т. е. экспериментально подобрать такое значение n, при котором величина С_п была бы минимальной.

Для решения задачи с помощью данной обучающей системы необходимо:

а) при заданных значениях n, λ и μ будут найдены величины P_o, Pn, M_r, T_ож, N_c и N_з с помощью соотношений (10), (11), (13) - (16).

б) на основе этих данных, представленных в таблице в окне «Результаты вычислений», найти величину суммарных потерь С_п по формуле (19);

в) увеличить число причалов на 1 при постоянных λ и μ и повторить пп. а) и б);

г) повторять пп. а) - г) до тех пор, пока число причалов не будет равным 15;

д) сделать выводы из полученных результатов и построенного графика С_п=f(n).

Содержание отчета

1. Описание СМО с ожиданием, с указанием соотношений (1)-(18).

2. Таблица полученных результатов, которая представлена в окне «Результаты вычислений».

ТЕОРИЯ К ЗАДАЧЕ №3

СИСТЕМА МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ

Цели работы

Целями работы являются: 1) изучение системы массового обслуживания (СМО) с отказами; 2) исследование вопросов оптимального построения подобных систем.

Содержание работы

- изучить основные характеристики СМО с отказами;

- ответить на вопросы теста;

- с использованием ЭВМ решить конкретные задачи;

- получить результаты и составить отчет по работе.

Описание СМО с отказами

Пусть в n-канальной равнодоступной СМО действуют два потока:

- входной поток заявок;

- поток освобождений каналов.

Пусть оба потока являются простейшими с интенсивностью соответственно λ и μ .

СМО с отказами характерна тем, что если заявка застает свободным хотя бы один канал, то она принимается к обслуживанию и обслуживается до конца любым из свободных каналов. Если же заявка застает все n каналов занятыми, то она получает отказ и покидает систему необслуженной.

СМО с отказами описывается следующим множеством состояний:

А₀ – все n каналов свободны, в системе нет заявок;

А₁ – занят один канал, обслуживается 1 заявка;

………………………………………………………

А_k – занято k< n каналов, обслуживается k заявок;

………………………………………………………

А_n – заняты все n каналов, обслуживается n заявок.

Размеченный граф состояний для СМО с отказами может быть представлен в следующем виде:

Рассмотрим стационарное состояние системы. Поскольку все потоки, действующие в системе, являются простейшими, в процессе протекает марковский процесс. В этом случае для вывода уравнений системы можно воспользоваться следующим мнемоническим правилом: алгебраическая сумма слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение вероятности P_k нахождения системы в каком-либо определенном k состоянии на интенсивность потока, переводящего систему в другое состояние, равна нулю. Число слагаемых равно сумме стрелок, входящих и выходящих из состояния A_k, причем для входящих стрелок соответствующее слагаемое берется со знаком плюс, а для выходящих – со знаком минус.

Система алгебраических уравнений, описывающая стационарный режим работы СМО и составленная по графу возможных состояний в соответствии с мнемоническим правилом, имеет следующий вид:

(1)

К данной системе добавляется очевидное нормировочное условие для вероятностей нахождения СМО в определенных состояниях:

(2)

Для решения системы (1) введем вспомогательные переменные и запишем систему (1) в следующем виде:

(3)

Однородная система алгебраических уравнений (3) имеет нулевое решение , из которого можно получить следующую рекуррентную формулу: или

(4)

Используя нормировочное условие (2) можно найти, что

(5)

Подставив (5) в (4), получим основные расчетные формулы для вероятностей нахождения системы в определенном k-ом состоянии (формулы Эрланга):

(6)

Формулы Эрланга (6) дают предельный закон распределения вероятностей числа занятых каналов в зависимости от параметров входного потока заявок l и потока обслуживания m.

1 23	Поделиться: