Постановка задачи дисперсионного анализа

Задача №1

ВАРИАНТ 1 Абишева А.А.

Вариант 2 Беляков С.С.

ВАРИАНТ 3 Борискин А.В.

ВАРИАНТ№4 Воронин Ю.А.

ВАРИАНТ№5 Гринчевский А.С.

ВАРИАНТ№6 Гуфронзода Ш.

ВАРИАНТ№7 Ермаков Е.А.

ВАРИАНТ№8 Кирсанов Д.А.

ВАРИАНТ№9 Родионова А.М.

ВАРИАНТ№10 Смирнов В.С.

ВАРИАНТ№11 Сухинин В.В.

ВАРИАНТ№12 Черепанов А.В.

ВАРИАНТ№13 Дремин П.В.

Задача №2

В качестве реальной СМО рассмотрим следующую задачу. Порт имеет n причалов для разгрузки судов. Если все причалы заняты, то прибывшие суда ожидают своей очереди на разгрузку. В среднем за сутки на разгрузку поступает λ судов, а среднее время разгрузки одного судна составляет ν рабочих дней, т.е. интенсивность разгрузки судов в сутки.

Простой каждого судна перед разгрузкой обходится государству в Q_ож ед. стоимости в сутки, простой одного причала - в Q_п.к. ед. стоимости в сутки, а стоимость суточной эксплуатации причала - в Q_к ед. стоимости.

Эффективность функционирования порта можно оценить величиной суммарных потерь, связанных с простоем судов и причалов, а также с эксплуатацией причалов. Эти потери находятся по следующей формуле:

(19)

Необходимо сделать оценку экономической целесообразности увеличения числа причалов в соответствии с критерием суммарных потерь, т. е. экспериментально подобрать такое значение n, при котором величина С_п была бы минимальной.

Для решения задачи с помощью данной обучающей системы необходимо:

а) при заданных значениях n, λ и μ будут найдены величины P_o, Pn, M_r, T_ож, N_c и N_з с помощью соотношений (10), (11), (13) - (16).

б) на основе этих данных, представленных в таблице в окне «Результаты вычислений», найти величину суммарных потерь С_п по формуле (19);

в) увеличить число причалов на 1 при постоянных λ и μ и повторить пп. а) и б);

г) повторять пп. а) - г) до тех пор, пока число причалов не будет равным 15;

д) сделать выводы из полученных результатов и построенного графика С_п=f(n).

ВАРИАНТ№ 1 Абишева А.А.

ВАРИАНТ№2 Беляков С.С.

ВАРИАНТ№ 3 Воронин Ю.А.

ВАРИАНТ№4 Сухинин В.В.

ВАРИАНТ№5 Родионова А.М.

ВАРИАНТ№6 Гуфронзода Ш.

ВАРИАНТ№7 Ермаков Е.А.

ВАРИАНТ№8 Кирсанов Д.А.

ВАРИАНТ№9 Смирнов В.С.

Задача№3

Рассмотрим функционирование автоматической телефонной станции (АТС), имеющей n линий связи. Поток заявок (требования на ведение разговоров) будем считать простейшим с параметром l. Продолжительность каждого разговора является случайной величиной, среднее время разговора ― t_отк, а интенсивность потока обслуживания: .

В определенный момент эксплуатации АТС перед руководством станции возникает задача модернизации АТС так, чтобы вероятность отказа в обслуживании Р_отк уменьшилось до 0.01.

Станцию можно модернизировать либо за счет увеличения числа каналов n, либо за счет увеличения производительности существующих линий связи (увеличение интенсивности обслуживания μ ), либо путем комбинирования обоих этих способов.

Каждый из способов модернизации АТС требует определенных затрат. Необходимо выбрать такой способ модернизации АТС, при котором затраты на модернизацию были бы наименьшими.

Для решения задачи необходимо:

а) если условие P_отк< 0.01 при заданных n, λ и μ не выполняется, то при неизменных n и λ увеличить μ ;

б) выполнять пункт а) до тех пор пока условие P_отк< 0.01 не будет выполняться;

в) после этого при неизменном λ увеличить n на 1 и повторить пункты " а" -" б" для нового значения n;

г) выполнять пункт " в" несколько раз до тех пор, пока условие P_отк< 0.01 не будет выполняться для начального значения μ ;

д) определить минимальную стоимость и наилучший вариант модернизации.

Вариант№1 Дремин П.В.

Вариант№2 Черепанов А.В

Вариант№3 Борискин А.В.

ВАРИАНТ№4 Гринчевский А.С.

ТЕОРИЯ К ЗАДАЧЕ №1

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Цели работы

Целями работы являются: 1) изучение метода дисперсионного анализа с целью установления влияния факторов (входных величин) на отклик системы; 2) исследование вопросов применимости метода дисперсионного анализа для решения конкретных статистических задач.

Содержание работы

- изучить процедуру дисперсионного анализа;

- ответить на вопросы теста;

- с использованием ЭВМ решить конкретные задачи однофакторного дисперсионного анализа;

- получить результаты и составить отчет по работе.

Идея дисперсионного анализа

Чтобы иметь возможность оценивать влияние каждого фактора на переменную Y и сравнивать влияние различных факторов следует установить некоторый количественный показатель этого влияния. Рассмотрим идею дисперсионного анализа на примере изучения влияния одного фактора X на m уровнях, получим значения отклика y₁, y₂, …, y_n, рассеяние которых можно характеризовать выборочной дисперсией , где . Число степеней свободы есть ν ₀=m-1. Если отличие от незначимо, то разброс наблюдений, который она характеризует, связан только со случайными причинами и влияние фактора X несущественно. Если же отличие от значительно, то повышенный разброс наблюдений вызывается не только случайными причинами, но и влиянием фактора X, которое следует признать существенным.

Так как в последнем случае складывается влияние по крайней мере двух факторов: 1) случайных причин с дисперсией ; 2) фактора X с дисперсией , что приводит к общему рассеянию наблюдений, то их общая дисперсия является суммой , а ее оценка:

Откуда дисперсия фактора X определяется выражением:

В общем случае дисперсия ошибок неизвестна, поэтому схема дисперсионного анализа должна быть такой, чтобы позволяла определить ее наряду с оценкой дисперсии фактора X. С этой целью планируется проведение серии параллельных опытов на каждом из всех возможных сочетаний уровней факторов. Таким образом, основная идея дисперсионного анализа заключается в разложении оценки общего рассеяния на составляющие, зависящие от: 1) случайных причин; 2) от каждого из рассматриваемых факторов.

Алгоритм решения задачи

Рассмотрим процедуру однофакторного дисперсионного анализа. Пусть фактор X варьируется на n уровнях. Результаты можно представить в виде следующей таблицы:

			…	p
	y₁₁	y₁₂	…	y₁_p
	y₂₁	y₂₂	…	y₂_p
…	…	…	…	…	…
N	y_n1	y_n2	…	y_np

Не нарушая общности выводов, рассмотрим случай равночисленных серий наблюдений на всех уровнях , т.е p_i=p.

Рассеяние между столбцами обусловлено ошибкой воспроизводимости, а рассеяние между строчками – действием изучаемого фактора X. Вычислим среднее арифметическое серий из p наблюдений для каждого i-го уровня фактора с помощью соотношения вида:

(1)

Общее среднее арифметическое всех n× p наблюдений по всем уравнениям вычисляется следующим образом:

(2)

Рассеяние отдельных наблюдений относительно общего среднего обусловлено действием как случайных причин, так и влиянием фактора X. Действие фактора случайности проявляется в рассеянии (с дисперсией ) наблюдений серий параллельных исследований на каждом уровне x_i вокруг среднего арифметического своей серии. Влияние же фактора X (с дисперсией ) вызывает повышенное рассеяние средних арифметических относительно общего среднего . Каждое из этих трех рассеяний можно охарактеризовать соответствующей суммой квадратов отклонений. В соответствии с основной идеей дисперсионного анализа разложим общую сумму квадратов отклонений y_ij от общего среднего на две составляющие, одна из которых характеризует влияние фактора случайности, а другая – фактора изменчивости:

(3)

Оценки дисперсий: Предположим, что влияние фактора Х на отклик отсутствует, т.е. гипотеза Н₀ об однородности , верна. Тогда все n серий параллельных наблюдений можно рассматривать как случайные выборки одной и той же генеральной совокупности и, следовательно:

1) Несмещенная общая оценка дисперсии воспроизводимости по всем n× p наблюдениям определяется выражением:

(4)

с числом степеней свободы ;

2) выборочная дисперсия рассеивания «внутри серий» или остаточная оценка дисперсии воспроизводимости , находится как среднее из выборочных дисперсии по каждой серии в отдельности:

(5)

с числом степеней свободы ;

3) выборочная дисперсия средних по сериям служит несмещенной оценкой дисперсии с которой нормально распределены независимые друг от друга средние i-ых серий:

(6)

с числом степеней свободы . Отсюда нетрудно получить третью оценку воспроизводимости, выборочную дисперсию рассеивания «между сериями»:

(7)

с числом степеней свободы . Подсчет чисел степеней свободы проверяется с помощью соотношения .

Из сказанного очевидно, что при отсутствии влияния фактора Х оценки однородны, так как являются оценками одной и той же генеральной дисперсии.

Предположим теперь, что влияние фактора Х на отклик существенно, т.е. гипотеза Н₀ об однородности , неверна. Тогда n серий наблюдений можно рассматривать как случайные выборки независимых нормально распределенных случайных величин с одной и той же дисперсией воспроизводимости и различными генеральными средними m₁, m₂, …, m_n и, следовательно:

1) выборочная дисперсия характеризует влияние как фактора случайности ε, так и фактора Х, т.е. ;

2) так как сумма не изменяется при замене y_ij на y_ij-m_i, то выборочная дисперсия также не изменяется и по-прежнему является несмещенной оценкой для генеральной дисперсии воспроизводимости , т.е. ;

3) поскольку сумма учитывает не только случайные, но и систематические расхождения между средними серий и увеличивается за счет влияния фактора Х, дисперсия при этом также увеличивается и перестает служить оценкой только , откуда следует, что .

Из сделанного второго предположения очевидно, что при влиянии фактора Х оценки неоднородны. Следовательно, сопоставляя эти выборочные дисперсии, можно принять решение о справедливости первого или второго предположения относительно существенности влияния фактора Х (с дисперсией ) на отклик.

Оценка влияния фактора. Для того, чтобы влияние фактора Х было признано существенным ( > 0), необходимо и достаточно, чтобы оценка дисперсии значимо отличалось от . Проверку исходной гипотезы Н₀ об однородности этих выборочных дисперсии можно осуществить с помощью критерия Фишера:

(8)

При использовании критерия Фишера применяется следующее правило принятие решения: Если , то влияние фактора Х признается существенным, и, наоборот, если , то влияние фактора Х признается несущественным.

Содержание отчета

1. Описание процедуры дисперсионного анализа, с указанием соотношений (1)-(8).

2. Результаты решения каждой из трех задач в виде:

вычисленные средние по каждой серии ( );

общее среднее ( );

оценка дисперсии рассеивания «между сериями»;

оценка дисперсии рассеивания «внутри серии»;

значение критерия Фишера (Fn);

результат анализа: зависит или нет процесс от фактора.

ТЕОРИЯ К ЗАДАЧЕ №2

Цели работы

Целями работы являются: 1) изучение системы массового обслуживания (СМО) с ожиданиями; 2) исследование вопросов оптимального построения подобных систем.

Содержание работы

- изучить основные характеристики СМО с отказами;

- ответить на вопросы теста;

- с использованием ЭВМ решить конкретные задачи;

- получить результаты и составить отчет по работе.

Описание СМО с ожиданием

Рассмотрим следующую СМО с простейшими потоками заявок λ и обслуживания μ : поступившая заявка может обслуживаться любым свободным каналом; если все п каналов заняты, поступившая заявка становится в очередь и ждет своего обслуживания. Будем считать, что число мест в очереди неограниченно, причем заявка, вставшая в очередь раньше, и будет обслуживаться раньше.

Подобные системы называют СМО с ожиданием. В этих системах общее число заявок, находящихся в системе, складывается из обслуживаемых заявок и заявок, находящихся в очереди. Поэтому СМО с ожиданием можно характеризовать следующим бесконечным множеством состояний:

А₀ – все n каналов свободны, в системе нет заявок и нет очереди;

………………………………………………………

А_k – занято k< n каналов, обслуживается k заявок, очереди нет;

…

А_n – заняты все n каналов, обслуживается n заявок, очереди нет.

А_n+1 – заняты все n каналов, обслуживается n заявок, одна заявка находится в очереди.

…

А_n+_r – заняты все n каналов, обслуживается n заявок, в очереди находится r заявок.

…

Размеченный граф возможных состояний СМО с ожиданием имеет следующий вид:

Стационарное состояние системы описывается бесконечной системой алгебраических уравнений относительно вероятностей Р_k и P_n₊_r. Эта система формируется по графу состояний в соответствии с мнемоническим правилом, описанным в лабораторной работе № 2. Система имеет следующий вид:

(1)

при нормировочном условии .

Первые n уравнений системы (1) совпадают с n уравнениями для СМО с отказами и поэтому имеют решение в виде формул Эрланга:

(2)

Последние уравнения системы (1), начиная с п+1, одинаковы по структуре. С помощью вспомогательных переменных:

(3)

эти уравнения можно записать в виде:

(4)

откуда имеем

(5)

Учитывая соотношения (3) и (5), получим следующую рекуррентную формулу:

(6)

Применяя (6) r раз последовательно, получим

(7)

Вероятность P₀ можно найти из нормировочного условия, в которые подставим формулы (2) при 0≤ k≤ n и (7) при r≥ 0:

(8)

Обозначим . Пусть ρ ≤ 1, тогда сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем ρ равна . Соотношение (8) примет вид:

откуда

(9)

С использованием соотношения (9) нетрудно подсчитать основные характеристики СМО с ожиданием.

Содержание отчета

1. Описание СМО с ожиданием, с указанием соотношений (1)-(18).

2. Таблица полученных результатов, которая представлена в окне «Результаты вычислений».

ТЕОРИЯ К ЗАДАЧЕ №3

Цели работы

Целями работы являются: 1) изучение системы массового обслуживания (СМО) с отказами; 2) исследование вопросов оптимального построения подобных систем.

Содержание работы

- изучить основные характеристики СМО с отказами;

- ответить на вопросы теста;

- с использованием ЭВМ решить конкретные задачи;

- получить результаты и составить отчет по работе.

Описание СМО с отказами

Пусть в n-канальной равнодоступной СМО действуют два потока:

- входной поток заявок;

- поток освобождений каналов.

Пусть оба потока являются простейшими с интенсивностью соответственно λ и μ .

СМО с отказами характерна тем, что если заявка застает свободным хотя бы один канал, то она принимается к обслуживанию и обслуживается до конца любым из свободных каналов. Если же заявка застает все n каналов занятыми, то она получает отказ и покидает систему необслуженной.

СМО с отказами описывается следующим множеством состояний:

А₀ – все n каналов свободны, в системе нет заявок;

А₁ – занят один канал, обслуживается 1 заявка;

………………………………………………………

А_k – занято k< n каналов, обслуживается k заявок;

………………………………………………………

А_n – заняты все n каналов, обслуживается n заявок.

Размеченный граф состояний для СМО с отказами может быть представлен в следующем виде:

Рассмотрим стационарное состояние системы. Поскольку все потоки, действующие в системе, являются простейшими, в процессе протекает марковский процесс. В этом случае для вывода уравнений системы можно воспользоваться следующим мнемоническим правилом: алгебраическая сумма слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение вероятности P_k нахождения системы в каком-либо определенном k состоянии на интенсивность потока, переводящего систему в другое состояние, равна нулю. Число слагаемых равно сумме стрелок, входящих и выходящих из состояния A_k, причем для входящих стрелок соответствующее слагаемое берется со знаком плюс, а для выходящих – со знаком минус.

Система алгебраических уравнений, описывающая стационарный режим работы СМО и составленная по графу возможных состояний в соответствии с мнемоническим правилом, имеет следующий вид:

(1)

К данной системе добавляется очевидное нормировочное условие для вероятностей нахождения СМО в определенных состояниях:

(2)

Для решения системы (1) введем вспомогательные переменные и запишем систему (1) в следующем виде:

(3)

Однородная система алгебраических уравнений (3) имеет нулевое решение , из которого можно получить следующую рекуррентную формулу: или

(4)

Используя нормировочное условие (2) можно найти, что

(5)

Подставив (5) в (4), получим основные расчетные формулы для вероятностей нахождения системы в определенном k-ом состоянии (формулы Эрланга):

(6)

Формулы Эрланга (6) дают предельный закон распределения вероятностей числа занятых каналов в зависимости от параметров входного потока заявок l и потока обслуживания m.

Порядок выполнения работы

Для решения задачи необходимо:

а) если условие P_отк< 0.01 при заданных n, λ и μ не выполняется, то при неизменных n и λ увеличить μ ;

б) выполнять пункт а) до тех пор пока условие P_отк< 0.01 не будет выполняться;

в) после этого при неизменном λ увеличить n на 1 и повторить пункты " а" -" б" для нового значения n;

д) определить минимальную стоимость и наилучший вариант модернизации.

Содержание отчета

1. Описание СМО с отказами, с указанием соотношений (1)-(12).

2. Таблица полученных результатов, которая представлена в окне «Результаты вычислений».

3 Отмеченные на таблице «лучшие» варианты.

Задача №1

ВАРИАНТ 1 Абишева А.А.

Вариант 2 Беляков С.С.

ВАРИАНТ 3 Борискин А.В.

ВАРИАНТ№4 Воронин Ю.А.

ВАРИАНТ№5 Гринчевский А.С.

ВАРИАНТ№6 Гуфронзода Ш.

ВАРИАНТ№7 Ермаков Е.А.

ВАРИАНТ№8 Кирсанов Д.А.

ВАРИАНТ№9 Родионова А.М.

ВАРИАНТ№10 Смирнов В.С.

ВАРИАНТ№11 Сухинин В.В.

ВАРИАНТ№12 Черепанов А.В.

ВАРИАНТ№13 Дремин П.В.

Задача №2

(19)

Для решения задачи с помощью данной обучающей системы необходимо:

в) увеличить число причалов на 1 при постоянных λ и μ и повторить пп. а) и б);

г) повторять пп. а) - г) до тех пор, пока число причалов не будет равным 15;

д) сделать выводы из полученных результатов и построенного графика С_п=f(n).

ВАРИАНТ№ 1 Абишева А.А.

ВАРИАНТ№2 Беляков С.С.

ВАРИАНТ№ 3 Воронин Ю.А.

ВАРИАНТ№4 Сухинин В.В.

ВАРИАНТ№5 Родионова А.М.

ВАРИАНТ№6 Гуфронзода Ш.

ВАРИАНТ№7 Ермаков Е.А.

ВАРИАНТ№8 Кирсанов Д.А.

ВАРИАНТ№9 Смирнов В.С.

Задача№3

Для решения задачи необходимо:

а) если условие P_отк< 0.01 при заданных n, λ и μ не выполняется, то при неизменных n и λ увеличить μ ;

б) выполнять пункт а) до тех пор пока условие P_отк< 0.01 не будет выполняться;

в) после этого при неизменном λ увеличить n на 1 и повторить пункты " а" -" б" для нового значения n;

д) определить минимальную стоимость и наилучший вариант модернизации.

Вариант№1 Дремин П.В.

Вариант№2 Черепанов А.В

Вариант№3 Борискин А.В.

ВАРИАНТ№4 Гринчевский А.С.

ТЕОРИЯ К ЗАДАЧЕ №1

ДИСПЕРСИОННЫЙ АНАЛИЗ

Цели работы

Содержание работы

- изучить процедуру дисперсионного анализа;

- ответить на вопросы теста;

- с использованием ЭВМ решить конкретные задачи однофакторного дисперсионного анализа;

- получить результаты и составить отчет по работе.

Постановка задачи дисперсионного анализа

Во многих областях практической деятельности встречаются процессы, состояния которых зависят от входных переменных (факторов) не имеющих количественного описания. Для изучения влияния факторов на выходную функцию (отклик), их общего оценивания, ранжирования и выделения среди них существенных используется подход, получивший название дисперсионный анализ. Идея подхода заключается в изучении влияния факторов по величинам дисперсии выходной величины (отклика).

Дисперсионный анализ состоит в выделении и оценке отдельных факторов, вызывающих изменчивость значений функций отклика. С этой целью производится разложение дисперсии наблюденных значений отклика на составляющие, порождаемые независимыми факторами.

Рассмотрим постановку задачи дисперсионного анализа в общем виде. Выходная переменная Y может зависеть (по физическим причинам) от n независимых факторов (x₁, x₂, …, x_n), при том факторы не всегда имеют количественное описание. Каждый фактор может варьироваться на m уровнях. Каждая строка с индексом j содержит m наблюдений выходной переменной Y.

Требуется определить, в какой мере существенно на фоне случайных погрешностей, влияние того или иного фактора x_i на отклик Y, провести сравнение с другими факторами и выделить наиболее существенные из них.

12 3	Поделиться: