Создание адекватной математической модели.

При создании адекватной математической модели усилителя полезно взвесить значимость аргументов и их суть, с целью сокращения размерности матрицы ситуаций.

Незначимые первичные параметрыв матрицу ситуаций не вносятся. В математической модели они представляются константой в формуле.

Внешние первичные параметры (заданы заказчиком) непременно вносятся в матрицу ситуаций, ибо их нельзя не учитывать и нельзя изменять.

Значимые первичные параметры непременно вносятся в матрицу ситуаций с целью прогнозирования влияния их производственных и эксплуатационных изменений на закономерности случайного дрейфа выходного параметра.

Формула, отражающая функциональные связи между выходными и первичными параметрами имеет вид:

T=0.32*C2(1+α ₁C2(T-20)+β ₁C2*t)*(R2(1+ α ₂R2(T-20)+ β ₂R2*t)+0.7)+ + + +0.32*C1*(1+α ₁C1(T-20)+β ₁C1*t)*(R1(1+ α ₂R1(T-20)+ β ₂R1*t)+0.7),

где: R1, R2 – значения сопротивлений резисторов R1 и R2 при Т = 20°С [Ом];

С1, С2 – значения ёмкостей конденсаторов С1 и С2 при Т = 20°С [Ф];

α ₁, α ₂- температурные коэффициенты сопротивлений резисторов (R1 и R2) и ёмкостей конденсаторов (С1 и С2) соответственно (размерность ).

β ₁, β ₂- коэффициенты старения сопротивлений резисторов (R1 и R2) и ёмкостей конденсаторов (С1 и С2) соответственно (размерность ).

Т – температура окружающей среды [°С];

t – время работы [час].

, – значения задержки в тракте микросхемы К155АГ3 [нс];

Таким образом, математическая модель имеет вид:

T=0.32*X[4]*(1+X[10]*(X[13]-20)+X[12]*X[14])*(X[2]*(1+X[6]*(X[13]-20)+X[8]*X[14])+0.7)+X[15]+X[16]+0.32*X[3]*(1+X[9]*(X[13]-20)+X[11]*X[14])*(X[1]*(1+X[5]*(X[13]-20)+X[7]*X[14])+0.7),

где Т – значение периода импульса;

Х1, Х2 – номинальные значения сопротивлений R1 и R2 соответственно;

Х3, Х4 – значения ёмкостей конденсаторов С1 и С2 соответственно;

Х5, Х6 – значения температурных коэффициентов сопротивлений резисторов R1 и R2 соответственно;

Х7, Х8 – значения коэффициентов старения сопротивлений резисторов R1 и R2 соответственно;

Х9, Х10 – значения температурных коэффициентов ёмкостей конденсаторов С1 и С2 соответственно;

Х11, Х12 – значения коэффициентов старения ёмкостей конденсаторов С1 и С2 соответственно;

Х13 – значение температуры окружающей среды;

Х14 – время работы t;

Х15, Х16 – значения времени задержки , соответственно.

Оценка значимости первичных параметров путем оценки коэффициентов влияний и интервалов их возможных изменений первичных параметров. Оценка возможного упрощения математической модели на основе полученной информации.

Коэффициенты влияния характеризуют реакцию выходного параметра на изменение того или иного первичного параметра.

Для определения коэффициентов влияния надо выбрать исходные значения параметров. Выберем их исходя из следующих соображений:

1. Возьмем такие значения номиналов сопротивлений, которые дают наиболее близкий к требуемому результат, но при этом встречаются в наиболее популярных рядах Е24, Е12. Исходя из этих соображений, выберем сопротивления из ряда Е24:

С1 = 51 пф

R1 = 27 кОм

С2 = 47 пф

R2 = 24 кОм

2. Температурный коэффициент сопротивления резисторов. Возьмем такое значение, которому удовлетворяет большое количество резисторов разных типов:

α ₁= ±5*10^-4

3. Возьмем такой коэффициент старения резисторов, которому удовлетворяет большое количество резисторов разных типов:

β ₁= ±6.6*10^-6

4. Температурный коэффициент ёмкости: α ₂= ±3.3*10^-5

5. Коэффициент старения конденсаторов: β ₂ = ±1.9*10^-7

6. Температуру возьмем T = +30°C

7. Внешний первичный параметр время указан в заявке на разработку, он может изменяться в пределах от 0 до 3000 часов. Возьмем максимальное значение t = 3000 ч.

8. и возьмем равными 40 нс.

Будем искать коэффициенты влияния в двух наихудших рабочих точках, в которых отклонение выходного параметра от номинального значения является максимальным.

Первый случай:

Второй случай:

С помощью коэффициентов влияния можно оценить степень влияния изменений каждого из аргументов на нестабильность выходных параметров. Оценим степень влияния по формуле:

, где нормированный коэффициент влияния первичного параметра х_i на значение выходного параметра y= .

Программа вычисляет все возможные коэффициенты влияния: абсолютный, нормированный, относительный. Мы будем использовать для оценок значимости нормированный коэффициент влияния. Ибо погрешность выходного параметра задана в безотносительных единицах (проценты), а первичные параметры имеют размерность ( , , час, °С, Ом).

Для параметров X1, X2, Х3, Х4 отклонение ∆ _Xопределяется технологическим разбросом действительных значений сопротивления и емкости от номинальных для выбранного ряда:

∆ X1 = 27*10³- 24*10³= 3*10³Ом

∆ X2 = 24*10³- 22*10³= 2*10³Ом

∆ X3 = 51*10^-12- 47*10^-12= 4*10^-12Ф

∆ X4 = 47*10^-12- 43*10^-12= 4*10^-12 Ф

Параметры Х5 и Х6 соответствуют температурным коэффициентам сопротивления резисторов (имеют значение ±5*10^-4 ) и параметры X9 и X10 соответствуют температурным коэффициентам ёмкостей конденсаторов (имеют значение ±3.3*10^-5 ). Номинальное значение параметров Х5, Х6, X9 и X10 равно нулю, следовательно отклонения от номинального значения равны:

∆ X5 = 0 - (-5*10^-4) = 5*10^-4 ;

∆ X6 = 0 - (-5*10^-4) = 5*10^-4 ;

∆ X9 = 0 - (-3.3·10^-5) = 3.3·10^-5 ;

∆ X10 = 0 - (-3.3·10^-5) = 3.3·10^-5 ;

Параметры Х7 и Х8 соответствуют коэффициентам старения резисторов (имеют значение ±6.6*10^-6 ) и параметры Х11 и Х12 соответствуют коэффициентам старения конденсаторов (имеют значение ±1.9*10^-7 ). Номинальное значение параметров Х7, X8, X11 и Х12 равно нулю, следовательно отклонения от номинального значения равны:

∆ X7 = 0 – (-6.6*10^-6) = 6.6*10^-6 ;

∆ X8 = 0 – (-6.6*10^-6) = 6.6*10^-6 ;

∆ X11 = 0 – (-1.9*10^-7) = 1.9*10^-7 ;

∆ X12 = 0 – (-1.9*10^-7) = 1.9*10^-7 ;

Параметр Х13 соответствует температуре, нормальное значение температуры 20˚ С, поэтому отклонение

∆ X13= 20 – 30 = -10 °С;

Параметр Х14 соответствует времени работы изделия

X14 = 3000 ч;

Параметры Х15 и Х16 соответствуют значениям задержки в тракте микросхемы К155АГ3, 40 нс.

Подставив полученные значения в формулу, определим суммарную степень влияния всех первичных параметров на значение выходного параметра для случая, когда числитель принимает наименьшее значение, а знаменатель наибольшее:

a_y = 1.85*10^-5*3*10³+1.71*10^-5*2*10³+ 9.8*10⁹*4*10^-12+8.7*10⁹*4*10^-12+

+4.88*5*10^-4+ 4.0* 5*10^-5+1.46*10³*6.6*10^-6+1.2*10³*6.6*10^-6+5*3.3*10^-5+

+4.1*3.3*10^-5+1.5*10³*1.9*10^-7+1.23*10³*1.9*10^-7+4, 75*10^-4*10+

+6*10^-6*3000+1, 1*10⁴*40*10^-9+1, 1*10⁴*40*10^-9= 4, 4*10⁴.

Найдем степень влияния каждого параметра в отдельности.

a_i= k_i*100 / a_y

Х1: a1=26.4% Х2: a2=16.3%

Х3: a3=18.6% Х4: a4=16.6%

Х5: a5=1.16% Х6: a6=0.95%

Х7: a7=4.6% Х8: a8=3.8%

Х9: a9=0.08% Х10: a10=0.06%

Х11: a11=0.14% Х12: a12=0.11%

Х13: a13=2.26% Х14: a14=8.6%

Х15: a15=0.21% Х16: a16=0.21%

Проведем аналогичные расчеты для второго наихудшего случая:

Х1: a1=26.4% Х2: a2=16.3%

Х3: a3=18.6% Х4: a4=16.6%

Х5: a5=1.2% Х6: a6=0.91%

Х7: a7=4.3% Х8: a8=4.1%

Х9: a9=0.12% Х10: a10=0.02%

Х11: a11=0.1% Х12: a12=0.15%

Х13: a13=2.36% Х14: a14=8.5%

Х15: a15=0.21% Х16: a16=0.21%

Результаты очень близки.

Видно, что наибольшее влияние на значение выходного параметра оказывают изменения значений технологического разброса сопротивлений резисторов и емкостей конденсаторов, следовательно, при проведении матричных испытаний для определения области устойчивой работоспособности в первую очередь следует подбирать именно эти параметры. Диапазон изменения этих параметров имеет смысл разбить на максимально возможное количество квантов, т.е. на восемь.

Следующими по значимости влияния являются коэффициенты старения резисторов и конденсаторов. При проведении матричных испытаний диапазон изменения этих параметров разобьем на пять квантов.

Наименее значимыми являются температурные коэффициенты сопротивления резисторов и емкостей конденсаторов. Их диапазон разобьем на два кванта.

Значения времени работы, температуры, и изменяться не будут.

1 2 345 6