Методика расчета случайных ошибок прямых измерений

Пусть измеряется n раз некоторая физическая величина Х. Из-за случайных погрешностей, возникающих в процессе измерения, мы получаем набор значений Х₁, Х₂, Х₃, ..., Х_n. Наиболее близким к истинному значению Х_ИСТ будет среднее арифметическое

. (1.3)

Чем больше измерений, тем ближе < X > и Х_ИСТ, а при

В реальном эксперименте число измерений всегда ограничено, поэтому истинное значение измеряемой величины остается неизвестным. Результаты отдельных измерений Х_i и среднее арифметическое < X > всегда содержат ошибку, поэтому вместе с результатом измерений нужно указать возможную величину ошибки, т.е. представить результат в виде

Эта запись равнозначна неравенству

. (1.4)

Существует несколько способов оценки случайной ошибки DХ. Мы рассмотрим один из них, наиболее часто используемый при обработке результатов эксперимента. По результатам измерений рассчитывают так называемую среднюю квадратическую ошибку среднего арифметического:

. (1.5)

Так как результаты отдельных измерений Х_i и среднее арифметическое – случайные величины, то и S_{< Х >} тоже случайная величина. Поэтому мы не можем утверждать, например, что возможная ошибка DХ не превышает величины S_{< Х >}. Следовательно, нужно не только рассчитать возможную величину ошибки, но и указать вероятность того, что среднее арифметическое отличается от Х_ИСТ не более чем на величину DХ, т.е. вероятность, с которой выполняется неравенство (1.4).

Область значений называется доверительным интервалом, а соответствующая вероятность – доверительной α . Доверительная вероятность является весьма важной характеристикой измерений, так как позволяет судить о надежности полученного результата.

Для нахождения доверительной вероятности необходимо знать закон распределения случайной величины (Х_i; < Х >; S_{< Х >}). Наиболее часто встречается на практике распределение Гаусса (нормальное распределение):

Здесь f(х) – функция распределения случайной величины Х. Произведение f(х) · dх равно вероятности того, что случайная величина примет значение, заключенное между Х и Х + DХ.

Графически закон Гаусса представлен на рис. 1.5.

Рис. 1.5

Кривая Гаусса характеризуется двумя параметрами: Х_ИСТ и σ.

Х_ИСТ определяет положение вершины, а σ – ширину кривой (2 σ – расстояние между точками перегиба). Параметр σ называют стандартным отклонением или средним квадратическим. Он определяет разброс результатов измерений около Х_ИСТ, т.е. характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерений. На рис. 1.5 показаны две гауссовы кривые для разных значений стандартного отклонения (σ ₁ и σ ₂). В законе Гаусса σ ² носит название дисперсии случайной величины (дисперсия – разброс).

Среднее арифметическое, как случайная величина, тоже описывается законом Гаусса с параметрами ,

Среднее значение является лучшей оценкой для Х_ИСТ, чем результат отдельного измерения, так как кривая f (< х > ) в n раз уже.

При известном параметре σ _{< Х >} доверительная вероятность:

Если задать доверительный интервал , то a = 0, 682; если , то , то .

Указанные значения доверительной вероятности относятся к бесконечно большому числу измерений. В практике физического эксперимента N часто не превышает 10, а параметр неизвестен. Если за принять , то доверительная вероятность, рассчитанная на основе закон Гаусса, оказывается завышенной.

Существует другой, более строгий метод определения доверительной вероятности, основанный на распределении Стьюдента, которое учитывает случайный характер величины . Распределение Стьюдента не содержит неизвестных параметров Х_ИСТ, и существенно отличается от гауссового при малом числе измерений (N < 30). В физическом лабораторном практикуме обычно ставится такая задача: по заданной доверительной вероятности нужно оценить величину доверительного интервала. На основе распределения Стьюдента доверительный интервал

где – коэффициент Стьюдента.

Существуют таблицы, в которых даны значения коэффициента Стьюдента для разных значений доверительной вероятности и различного числа измерений (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Коэффициент Стьюдента

n	a
0, 5	0, 6	0, 7	0, 8	0, 9	0, 95	0, 98	0, 99	0, 999
	0, 82	1, 06	1, 3	1, 9	2, 9	4, 3	7, 0	9, 9	31, 6
	0, 74	0, 94	1, 2	1, 5	2, 1	2, 8	3, 7	4, 6	8, 6
	0, 7	0, 88	1, 1	1, 4	1, 8	2, 3	2, 8	3, 3	4, 8

Таким образом, порядок расчета случайной ошибки измерения должен быть следующим:

а) производят n измерений искомой физической величины и вычисляют ее среднее значение

;

б) находят абсолютные погрешности отдельных измерений

;

в) рассчитывают среднюю квадратическую погрешность среднего арифметического

;

г) по заданной доверительной вероятности a и числу измерений n находят из табл. 1.1 коэффициент Стьюдента ;

д) рассчитывают доверительный интервал

;

е) окончательный результат записывают в виде

при .

Замечания. Так как при малом числе измерений является случайной величиной и определяется с большой погрешностью, то при записи числового значения доверительного интервала необходимо учитывать это обстоятельство. В теории ошибок доказано, что при числе измерений n £ 10 в числовом значении достаточно оставить одну значащую цифру, если она больше трех ( ), и две, если первая из них меньше четырех ( ). Затем числовое значение < X > округляют до разряда ошибки, например:

Точность вычислений при обработке результатов измерений нужно согласовать с точностью самих измерений, ошибка вычислений должна быть на порядок меньше ошибки измерений.

Систематические ошибки. Соотношение случайной
и систематической ошибок

Систематические ошибки могут существенно исказить результат измерения, поэтому перед началом измерений необходимо выявить систематические ошибки и, если возможно, исключить их. С этой целью проверяют исправность используемых приборов, правильность их установки, анализируют метод измерения и т. д. Чаще всего источником систематических погрешностей являются неточности, допущенные при изготовлении измерительных приборов, такие погрешности называют инструментальными, или приборными. Эти ошибки при изготовлении приборов не определяют, а лишь устанавливают, не превышают ли они допустимые пределы. Предельная погрешность d обычно указывается в паспорте или обозначается соответствующим условным знаком на шкале прибора. Например, для микрометра предельная погрешность равна 0, 004 мм, для штангенциркуля – 0, 05 мми т. д.

Таким образом, в результате обработки данных, полученных при измерении, мы находим случайную ошибку, величина которой определяется полушириной доверительного интервала , и ситематическую ошибку, равную предельной погрешности: Если предельная допустимая погрешность измерительного прибора не указана, то ∆ Х_пр берут равной половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

К какому же отношению между величинами случайной и систематической погрешностей следует стремиться при проведении измерений? По-видимому, определяющей должна быть систематическая ошибка, т.е., выбирая метод измерения и необходимое число измерений, нужно добиваться, чтобы была меньше . Если , то пренебрегают систематической ошибкой, при рассматривают только систематическую ошибку. Может оказаться, что случайная ошибка сравнима по величине с систематической, тогда находят суммарную ошибку

123 4