Определение крутящего момента в поперечном сечении вала

При равномерном вращении сумма внешних крутящих моментов, действующих на вал, равна 0. ( å М_i = 0)

Крутящий момент в любом сечении вала определяют методом сечений через внешние крутящие моменты.

Крутящий момент Т в произвольном поперечном сечении вала численно равен сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от рассматривае-мого поперечного сечения. Т=Σ M_z

Другими словами внутренние силы, возникающие в поперечном сечении бруса, должны дать момент, уравновешивающий внешние крутящие моменты, приложенные к оставленной части.

Правило знаков: Крутящий момент в сечении считается положительным, когда внешний момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть со стороны сечения.

Если же внешний момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке (при взгляде со стороны сечения), то крутящий момент в сечений будет отрицательным.

Если на вал действует несколько крутящих моментов, то для определения наиболее нагруженного участка вала строят эпюры крутящих моментов.

На каждом участке крутящий момент Т имеет постоянное значение. Эпюра крутящих моментов на участке – прямая параллельная оси абсцисс. При переходе границы участка эпюра крутящих моментов делает скачок на величину внешнего момента, приложенного в этом сечении.

Расчёт вала на прочность

При кручении бруса во всех поперечных сечениях возникают только касательные напряжения.

Для расчета на прочность (жесткость), также как и при растяжении (сжатии) бруса, надо найти его опасное сечение. В случае, если размеры поперечного сечения по длине бруса постоянны, опасными будут сечения, в которых крутящих момент максимален.

Касательное напряжение в " точке поперечного сечения:

где Т – внутренний крутящий момент, I_r – полярный момент инерции всего сечения,

r – радиус-вектор (расстояние) от центра сечения до рассматриваемой точки.

I_r и Т не зависят от того насколько точка удалена от центра сечения и постоянны для " точки сечения.

Наибольшего значения касательное напряжение достигает в точках контура поперечного сечения, т. е. при ρ _max = r = d/2

Так как наиболее важно именно максимальное напряжение, то обозначили , где W_r – полярный момент сопротивления (в общем случае – момент сопротивления при кручении). Тогда

Если поперечное сечение вала – круг:

Если поперечное сечение вала – кольцо:

Условие статической прочности вала при кручении:

используется при проверочном расчете.

При проектном расчете:

Деформации валов при кручении.

При кручении валов возникают только угловые деформации.

Угол, на который поворачивается вокруг оси одно сечение относительно другого, называется углом закручивания.

Угол поворота правого торца относительно левого называется полным углом закручивания и обозначается φ.

Полный угол закручивания определяется как алгебраическая сумма углов закручивания, вычисленных для каждого участка в отдельности.

φ = φ _1уч.+ φ _2уч.+ φ _3уч.+ φ _4уч.

Угол закручивания для участка вала длиной ℓ : (рад/м),

где Т – крутящий момент на данном участке вала [Н× м]

G – модуль поперечной упругости (модуль сдвига) [МПа, Н/м²]

I_r – полярный момент инерции [м⁴]

Угол взаимного поворота двух сечений, отнесенный к расстоянию между ними называется относительным углом закручивания (угол закручивания на длине ℓ ) и обозначается (рад)

Условие жесткости вала при кручении:

При проверке вала на жесткость или определении диаметра вала из условия жесткости за расчетный принимается наибольший крутящий момент Т_max из полученных на участках эпюры крутящих моментов.

Задача № 5 Вариант 25

Дано: Схема 10

М₁= 320 кН·м

М₂= 200 кН·м

М₃= 160 кН·м М₀ М₁ М₂ М₃

[ t ] = 140 Мпа

[q] = 2 °/м

а = 0, 5 м a b с

b = 0, 5 м

c = 0, 8 м

a = d/D = 0, 6 эп. М 0

Материал обоих –

стержней - сталь -40 –

G = 8·10⁴ МПа

– -160

М₀-?, d_спл -?

D -?, d_тр -?

m_тр/m_спл-? (%)

-360

эп. φ 0

0, 5

0, 48

0, 76

Решение

1 Определение внешнего крутящего момента М₀.

Рассмотрим вал со стороны его левого торца. Так как вал находится в равновесии, то сумма внешних крутящих моментов должна быть равна нулю. Соблюдая правило знаков, запишем уравнение равновесия внешних крутящих моментов, действующих на весь вал:

∑ М _i =0 М₀– М₁+ М₂+М₃= 0

Откуда М₀= М₁-М₂–М₃= 320-200-160 = - 40 кН·м

123 4