Определение нормальных напряжений при изгибе

При чистом плоском изгибе в поперечных сечениях балки возникают только нормальные напряжения. Они изменяются по линейному закону в зависимости от высоты сечения (формула Навье): ,

где J_x — момент инерции сечения относительно нейтральной оси,

y — расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя.

Максимальные нормальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя:

Для симметричного, относительно нейтральной оси, сечения вводится обозначение: момент сопротивления сечения при изгибе W_x =J_x/y_max, тогда

Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то эпюра нормальных напряжений s не будет симметричной. Нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести сечения.

Формулы для определения нормального напряжения для чистого изгиба приближенно годятся и когда Q¹ 0. Это случай поперечного изгиба.

Условие прочности по нормальным напряжениям

Определение касательных напряжений при поперечном изгибе

При поперечном изгибе наряду с изгибающим моментом в сечении балки возникает поперечная сила (Q). Наличие поперечной силы связано с возникновением в поперечном сечении касательных напряжений.

Касательные напряжения при изгибе не распределяются равномерно на высоте сечения. Формула для подсчета касательных напряжений при изгибе носит название формулы Журавского.

τ =

где Q_y (Q) – поперечная сила в рассматриваемом сечении.

S`_x – статистический момент относительно нейтральной оси той части сечения, которая лежит выше или ниже прямой проведенной через данную точку;

I_x – осевой момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси.

b – ширина поперечного сечения на уровне точки, в которой определяется напряжение.

Q, I_x, b для сечения постоянной ширины не меняются.

S_x изменяется в зависимости от y₁, следовательно, τ в любой точке поперечного сечения зависит только от y₁. Касательные напряжения достигают максимального значения:

Для прямоугольного сечения: τ _max = в точках на нейтральной линии (при y = 0)

Для двутавра: τ _max = , где S_x_П/С – статистический момент полусечения.

Для круглого сечения: τ _max = , где A – площадь.

Максимальное касательное напряжение для большинства симметричных сечений относительно нейтральной оси (X) имеет место в точках лежащих на нейтральной оси.

Условие прочности по касательным напряжениям: τ _max ≤ [τ ]

Задача 6. Часть 1

Схема 5

Дано: R_A q₁R_B

а = 1 м М

b = 2 м

с = 0, 5 м В М

Р₁= 20 кН А

М = 20 кН·м

q₁= 10 кН/м

z₁z₂z₃

1) Опр-ть

опорные а b с

реакции

2)Построить

эп. Q и М 17, 1

7, 1

эп. Q, 0 0

(кН)

-12, 9

z'₂ -12, 9

12, 1

эп.М, 0 0

(кН·м ) -5, 38

-7, 9

-13, 7

-20

Решение:

Обозначим опоры, поставим реакции опор.

1. Определение реакций опор R_A и R_B

Σ М_А= 0 R_A·0 – q₁· + R_B ·(а+b+с) + М – М = 0

R_B=

Σ М_B= 0 – R_A·(а+b+с) + М + q₁·(a+b)·( – М + R_B·0 = 0

R_A=

Проверка: Σ F_y = 0 R_A – q₁·(а+b) + R_B = 0 => 17, 1–10·3+12, 9 = 0 => 0 = 0

Следовательно, реакции опор определены верно.

Построение эпюры поперечных сил (Q)

I участок: 0 ≤ z₁≤ а Q₁ = R_A – q₁ · z₁

при z₁= 0 Q₁= R_A – q₁ · 0 = 17, 1 кН

при z₁= a = 1м Q₁ = R_A – q₁ · а = 17, 1 – 10·1 = 7, 1 кН

II участок: а ≤ z₂ ≤ а+b Q₂ = R_A – q₁· z₂

при z₂= a = 1м Q₂= R_A – q₁· а = 17, 1 – 10·1 = 7, 1 кН

при z₂= a+b = 3м Q₂= R_A – q₁· (а+b) = 17, 1 – 10·3 = – 12, 9 кН

III участок: 0 ≤ z₃≤ с Q₃ = – R_B = – 12, 9 кН при z₃

По полученным на границах участков значениям Q строится эпюра поперечных сил.

На втором участке эпюра Q пересекает нулевую линию при z₂ = z'₂

Определение z'₂: при z₂ = z'₂Q₂ = 0, следовательно R_A – q₁· z'₂= 0

Отсюда R_A= q₁· z'₂Þ z'₂= R_A ¤ q₁= 17, 1¤ 10 = 1, 71 м

Построение эпюры изгибающих моментов (М)

I участок: 0 ≤ z₁≤ а М₁ = R_A · z₁

при z₁= 0 М₁= 0

при z₁= a = 1м М₁= R_A · а = 17, 1·1 – 10 · ½ = 12, 1 кН·м

II участок: а ≤ z₂≤ а+b М₂ = R_A · z₂

при z₂= a = 1м М₂= 17, 1·1 – 10 · ½ – 20 = –7, 9 кН·м

при z₂= a+b = 3м М₂= 17, 1·3 – 10 · 9¤2 – 20 = –13, 6 кН·м

На втором участке парабола будет иметь экстремальное, а конкретнее, максимальное значение при z₂ = z'₂= 1, 71 м М₂= 17, 1·1, 71 – 10 · 1, 71²/2 – 20 = –5, 38 кН·м

III участок: 0 ≤ z₃≤ с М₃= R_B · z₃– М

при z₃= 0 М₃ = R_B · 0 – М = –20 кН·м

при z₃= с = 0, 5м М₃ = 12, 9·0, 5 – 20 = –13, 6 кН·м

По полученным на границах участков значениям М строится эпюра изгибающих моментов.

Максимальный внутренний изгибающий момент М_max= | –20| = 20 кН∙ м возникает в сечении над опорой В.

Задача 6. Часть 2.

Схема 5

q₁

Дано: q₂Р₁

а = 1 м

b = 2 м А В

с = 0, 5 м

q₁= 10 кН/м R_A z₁ R_B

P₁= 20 кН а b с

q₂= 24 кН/м

Z₂ Z₃

1) Определить реакции опор

2) Построить эпюру Q 28

3) Построить эпюру М 20

4) Найти М_max эп.Q, 8

(кН) 0 0

-10 z₂

-20

0 0

эп.М

(кН∙ м) -15 -7

-21, 25

Решение

Обозначим опоры, поставим реакции опор.

1. Определение реакций опор R_A и R_B

Σ М_А=0 R_A·0-q₁· +q₂- P₁(а+в)+R_B·(а+в+с)+М-М = 0 =>

R_B =

Σ М_B=0 -R_A·(а+в+с) +q₁·a( +P₁c -q₂-R_B·0=0 => R_A=

Проверка: Σ F_y=0 R_A – q₁а+q₂(c+в)-Р₁+R_B=0 -10-10·1+24·2, 5-20-20=0

Построение эпюры Q

I участок: 0 z₁ а Q₁ = -R_A - q₁z₁

при z₁=0 Q₁= -R_A =-10кН

при z₁=a=1м Q₁=-10-10·1=-20кН

II участок: а z₂ а+в Q₂ = -R_A – q₁а+q₂ (z₂-а)

при z₂=a=1м Q₂=-10-10·1= -20кН

при z₂=a+в=3м Q₂= -10-10·1+24·2= 28кН

III участок: 0 z₃ с Q₃ = R_B - q₂z₃

при z₃=0 Q₃=R_В=20кН

при z₃=с=0, 5м Q₃=20-24·0, 5=8кН

По полученным значениям Q на границах участков строится эпюра поперечных сил.

Найдем Z₂при Q₂=0 0 = -R_A – q₁а+q₂ (z₂-а) =>

z₂= (R_A+ q₁а+q₂а)/ q₂=54/24=2, 25м

Построение эпюры М

I участок: 0 z₁ а М₁ = -R_A z₁

при z₁=0 М₁=0 кНм

при z₁=a=1м М₁= -R_A·а =-10-10·0, 5=-15кНм

II участок: а z₂ а+в М₂ = -R_A z₂

при z₂=a=1м М₂= -10·1-10·0, 5= -15кНм

при z₂=a+в=3м М₂= -10·3-10·2, 5+24·2=-7кНм

при z₂=2, 25м М₂= -10·2, 25-10·1, 75+24·1, 25²/2=-21, 25кНм

III участок: 0 z₃ с М₃= -R_Bz₃+

при z₃=0 М₃ = 0кНм

при z₃=с=0, 5м М₃ = - 20·0, 5+24·0, 125= -7кНм

По полученным на границах участков значениям М строим эпюру изгибающих моментов

Ответ: R_A=10 кН, R_B=20 кН, М_max = 21, 25 кН∙ м

Задача 6. Часть 3

Схема 5

М q₂

Дано:

а = 1 м

b = 2 м

с = 0, 5 м z₁ Р₂

q₂= 24 кН/м а b с

Р₂= 30 кН

М = 20 кНм z₂

z₃

Построение 42

эпюр ы Q,

эпюр ы М. 18

M_max -? эп. Q, 0 0

(кН)

-30

33, 75

эп. М,

(кН∙ м) 0 0

Р е ш е н и е:

1 2 34