Моменты инерции простых сечений

 

Прямоугольник:

 

Квадрат:

 

Круг:

 

Кольцо:

 

Моменты инерции относительно параллельных осей

 

 

Момент инерции сечения относительно любой оси равен моменту инерции относительно параллельной ей центральной оси плюс произведение площади сечения на квадрат расстояния между осями.

 

I_x1=I_x+a²·A I_y1=I_y+b²·A

 

Центробежный момент инерции относительно параллельных осей:

I_{x1 y1}=I_xy+ab× A , где a и b – координаты в осях XY

Оси, относительно которых моменты инерции сечения имеют экстремальные значения, а центробежный момент инерции I_xy = 0 называются главными осями инерции сечения.

Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции сечения.

Задача № 4 Вариант 20

Дано: Решение

Схема 20 Геометрические характеристики заданных профилей

Уголок взяты из таблиц сортамента прокатной стали:

100х100х12, – швеллера № 18а (ГОСТ 8240-72):

Швеллер h = 18 cм, b_ш = 7, 4 см, F_ш = 22, 2 см²,

№ 18а z_ош = 2, 13 см, I_xш = 1190 см⁴, I_yш = 105 см⁴

F -? – равнобокого уголка 100х100х12 (ГОСТ 8509-86):

u_c -?, v_c -? d = 1, 2cм, b_уг = 10см, F_уг = 22, 8см², z_оуг = 2, 91см,

I_Xo -?, I_Yo -? I_xуг = 209 см⁴ = I_ууг, I_max = 331 см⁴, I_min = 86, 9 см⁴

I_XoYo -?, α _o -?

I_x -?, I_y -? 1 Общая площадь (F) сечения

i_x -?, i_y -? Площадь составного сечения:

F = F_ш + F_уг = 22, 2 + 22, 8 = 45 см²

2 Определение положения центра тяжести (u_c, v_c) всего сечения

На схеме проводятся вспомогательные оси u и v таким образом, чтобы они были параллельны центральным осям уголка и швеллера, относительно которых моменты инерции известны.

Положение ц. т. (точки С) относительно начала координат осей u и v:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Схема 20

 

 

 

Определение осевых и центробежного моментов инерции сечения относительно центральных осей

Через центр тяжести С на схеме проводятся оси X_o и Y_o таким образом, чтобы они были параллельны центральным осям уголка и швеллера, относительно которых моменты инерции известны (параллельны полкам). оси X_o и Y_o являются центральными для составного сечения.

3.1. Момент инерции сечения относительно оси X_o

Момент инерции швеллера относительно оси X_o:

Момент инерции уголка относительно оси X_o:

Момент инерции всего сечения относительно оси X_o:

3.2. Момент инерции сечения относительно оси Y_o

Момент инерции швеллера относительно оси Y_o:

Момент инерции уголка относительно оси Y_o:

Момент инерции всего сечения относительно оси Y_o:

Центробежный момент инерции относительно центральных

осей X_o и Y_o

Центробежный момент инерции швеллера относительно осей Х_о и Y_o:

,

где (v_c – h/2) – расстояние между осями Х₀ и Х_ш;

(u_c – (b_ш –z_0ш)) – расстояние между осями Y₀ и Y_ш

 

Для швеллера оси Х_ш и Y_ш – главные, поэтому

 

Центробежный момент инерции уголка относительно осей Х₀ и Y₀

,

где – центробежный момент инерции уголка, относительно собственных осей, параллельных полкам;

и - координаты начала осей и (точки С) относительно осей и , т.е. между осями Х₀ и Х_уг и между осями Y₀ и Y_уг.

Центробежный момент инерции всего сечения относительно осей и :

Определение положения главных центральных осей X и Y

Угол наклона главных центральных осей и к вспомогательной центральной оси :

откуда ;

Оси X и Y обозначаются на схеме

Определение главных центральных моментов инерции

Ось ( или ), относительно которой момент инерции максимален, составляет меньший угол с той из исходных осей ( или ), относительно которой момент инерции больше.

(1816, 1> 599, 7), следовательно

 

Проверка правильности вычисления моментов инерции

Должны соблюдаться неравенства

и

и

Неравенства соблюдаются, следовательно, моменты инерции определены верно.

Определение главных радиусов инерции

 

Главный радиус инерции всего сечения относительно оси

Главный радиус инерции всего сечения относительно оси

 

Кручение

Кручение – вид деформации, при котором поперечные сечения бруса взаимно поворачиваются под влиянием моментов, действующих в этих сечениях. Продольная ось бруса при этом остается прямой.

При работе стержня, бруса на кручение в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор – крутящий момент T.

Работающий на кручение стержень, брус называют валом.

1234	Поделиться:

Популярное:

1. Внешние и внутренние силы. Метод сечений
2. Внутренние силовые факторы. Метод сечений.
3. Выбор сечений проводов по допустимым потерям напряжения
4. Вычисление момента инерции маятника Максвелла
5. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛ В НЕИНЕРЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ОТСЧЕТА. СИЛЫ ИНЕРЦИИ
6. Динамика вращательного движения тел вокруг неподвижной оси: момент силы относительно оси, плечо силы, момент инерции точечного тела и системы тел, основной закон динамики вращательного движения.
7. Дискриминационные моменты в использовании иностранной рабочей силы. «Утечка умов». Причины «утечки умов» и способы осуществления
8. Задача 2. Измерение момента инерции маятника Максвелла с дополнительными кольцами
9. ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА МЕТОДОМ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
10. ИЗУЧЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
11. Лабораторная работа № 3А. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТЕЛ И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА
12. Метод сечений. Напряжение. Растяжение, сжатие. Расчет на прочность.