Вывод уравнений движения динамически настраиваемого гироскопа с учётом угловой податливости скоростной опоры.

Для вывода уравнений математической модели ДНГ, учитывающей упругую угловую податливость скоростной опоры, воспользуемся
II методом Лагранжа. Выбор данного метода обусловлен тем, что он несложно реализуется с помощью программных средств компьютера.

Уравнение Лагранжа второго рода записывается следующим образом:

(15)

где T – кинетическая энергия системы,

q_i – обобщённая координата,

Q_i – обобщённая сила.

При выводе уравнений примем ряд допущений:

1) рассматриваемая механическая система абсолютно жёсткая, не считая податливости упругих элементов подвеса и угловой податливости скоростной опоры;

2) каждый упругий элемент подвеса имеет угловую податливость только вокруг одной оси;

3) центр масс маховика находится в точке пересечения осей подвеса;

4) вал вращается с постоянной угловой скоростью;

5) составляющей переносной угловой скорости, направленной вдоль оси собственного вращения, пренебрегаем;

6) углы отклонения ротора относительно вала и вала относительно корпуса являются величинами первого порядка малости (на практике они составляют единицы-десятки угловых минут)

В качестве обобщённых примем координаты, изменяющиеся в осях, не участвующих в быстром собственном вращении ротора, так как именно в этих осях происходит съём информации у управление движением маховика.

Обобщёнными координатами будем считать углы наклона ротора относительно вала α ₁, β ₁ и углы наклона вала относительно корпуса (основания) α ₂, β ₂.

Для вывода уравнений движения напишем программу в среде компьютерной алгебры Wolfram Mathematica. Алгоритм работы программы представлен на рис. 3.9. Исходный код представлен в приложении А.

Рис. 3.9. Алгоритм работы программы вывода уравнений математической модели ДНГ

Рассмотрим подробнее процесс получения уравнений движения динамически настраиваемого гироскопа с учётом угловой податливости скоростной опоры методом Лагранжа II рода.

Определение кинетической энергии системы

Из уравнения Лагранжа II рода (15) следует, что нам необходимо продифференцировать кинетическую энергию системы. Найдём её по формуле:

(16)

где J_i – момент инерции i-го тела (элемента механической системы);

ω _i – его абсолютная угловая скорость.

Тензоры инерции тел, входящих в систему (4)–(7) описаны в механической модели ДНГ (см. п. 3.6).

Необходимо определить абсолютную угловую скорость каждого элемента в осях, связанных с этим элементом.

Основание движется относительно инерциального пространства с угловой скоростью ω ₀:

(17)

Абсолютную угловую скорость вала можно найти по формуле:

(18)

Абсолютная угловая скорость 1-го кольца:

(19)

Абсолютная угловая скорость 2-го кольца:

(20)

Абсолютная угловая скорость движения ротора:

(21)

Для получения уравнений движения ДНГ, записанных в невращающихся осях, необходимо в выражениях для угловых скоростей кардановых колец (19)–(20) заменить переменные α и β на обобщённые координаты α ₁ и β ₁.

Для определения связи между α, β и α ₁, β ₁ найдём угловую скорость ротора относительно вала во вращающихся и в невращающихся осях, приравняем полученные выражения и из получившейся системы уравнений найдём выражения для и , которые затем проинтегрируем [3].

Угловую скорость движения ротора относительно вала в осях x’y’z’ можно найти следующим образом:

(22)

Угловая скорость движения ротора относительно вала в осях xyz:

(23)

При нахождении связи между координатами пренебрегаем величинами третьего и выше порядков малости, сохраняя второй [2]. Также ввиду большой величины скорости собственного вращения маховика считаем, что:

(24)

В итоге получаем следующие выражения, связывающие между собой углы α, β и α ₁, β ₁:

(25)

Подставив выражения для абсолютных угловых скоростей и тензоров инерции элементов системы в выражение (16) и произведя замену переменных согласно (25), получим кинетическую энергию системы.

Определение обобщённых сил

Правую часть уравнения Лагранжа II рода можно представить в следующем виде [2]:

(26)

где U – силовая функция системы;

R – диссипативная функция Релея;

x – координата.

Силовая функция системы учитывает потенциальную энергию упругой деформации в перемычках подвеса и в скоростной опоре и имеет вид:

(27)

где К_{α, β} – жёсткость упругой перемычки подвеса вокруг оси α, β ;

К_{α 2, β 2} – жёсткость скоростной опоры вокруг оси α ₂, β ₂.

Диссипативная функция Релея учитывает вязкое трение в материале подвеса, воздушное сопротивление движению маховика в увлечённой массе газа и относительно корпуса:

(28)

где μ _подв – коэффициент вязкого сопротивления движению маховика в увлечённой массе газа;

μ _нп – коэффициент вязкого сопротивления движению маховика относительно корпуса;

μ _В – коэффициент вязкого сопротивления движению вала относительно корпуса.

Уравнения движения

Подставив полученные выражения для кинетической энергии и обобщённой силы в уравнение Лагранжа II рода, а также проведя замену переменных согласно (25), получаем искомые уравнения движения.

В полученных уравнениях пренебрегаем величинами второго и выше порядков малости, а так же составляющими, изменяющимися с частотами, кратными двойной частоте собственного вращения ротора.

Уравнения движения маховика динамически настраиваемого гироскопа, учитывающие угловую податливость скоростной опоры, выглядят следующим образом:

(29)

где α ₁, β ₁ – углы наклона маховика относительно вала;

α ₂, β ₂ – углы наклона вала относительно корпуса;

– кинетический момент маховика;

– угловая скорость собственного вращения маховика;

– приведённый осевой момент инерции маховика;

– приведённый экваториальный момент инерции маховика;

– экваториальный и осевой моменты инерции ротора;

– экваториальные и осевой моменты инерции кардановых колец;

– экваториальный и осевой моменты инерции вала;

– кинетический момент вала;

– приведённый осевой момент инерции вала;

– приведённый экваториальный момент инерции вала;

– кинетический момент карданова кольца;

– приведённый экваториальный момент инерции карданова кольца;

– коэффициент увлечения оси маховика;

– коэффициент увлечения оси вала;

– коэффициент демпфирования прецессионных движений маховика;

– коэффициент вязкого сопротивления движению маховика в увлечённой массе газа;

– коэффициент вязкого сопротивления движению маховика относительно корпуса;

– коэффициент вязкого сопротивления движению вала относительно корпуса;

– эффективная жёсткость упругого подвеса;

– угловая жёсткость подвеса;

– разностный момент инерции;

– угловая жёсткость скоростной опоры;

– удельный момент радиальной коррекции;

– проекция переносной угловой скорости на ось X, Y основания;

– внешние возмущающие моменты, действующие на маховик;

– внешние возмущающие моменты, действующие на вал.

Первые два из полученных уравнений описывают движение маховика относительно вала в осях, не участвующих в собственном вращении, другие два описывают движение вала относительно корпуса в осях, связанных с корпусом.

Анализируя систему (29), можно сделать вывод, что уравнения движения вала и уравнения движения маховика связаны между собой через инерционные и гироскопические составляющие, обусловленные инерционными свойствами кардановых колец.

Предыдущая 1 234 5 6 7 Следующая