Расчет комплексной передаточной характеристики цепи

Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения (рис. 40).

Рис. 40

Операторной, или обобщенной, частотной характеристикой H_ki(p) линейной цепи называется отношение операторного изображения отклика цепи Y(p) к операторному изображению внешнего воздействия X(p)при нулевых начальных условиях:

Операторная характеристика линейной цепи численно равна отношению отклика цепи к внешнему воздействию при внешнем воздействии вида

Операторная характеристика цепи определяется только видом цепи и параметрами входящих в неё элементов.

Как и КЧХ, операторные характеристики делятся на входные и передаточные. В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия, а какая в качестве отклика, различают:

1. Операторное входное сопротивление

2. Операторную входную проводимость

3.Операторный коэффициент передачи по напряжению

4.Операторный коэффициент передачи по току

5.Операторное передаточное сопротивление

6.Операторную передаточную проводимость

Для расчета обобщенной характеристики цепи можно применить любые известные методы, например, метод контурных токов, метод узловых напряжений, метод эквивалентного генератора и др.

Если сложная цепь содержит только один источник E_i(p), включенный в i-ом контуре, то контурный ток, создаваемый при этом в другом k-ом контуре

где Δ _Z(p) – определитель системы уравнений, составленных методом контурных токов (в операторной форме); Δ _ik(p) – алгебраическое дополнение элемента в операторной форме

Δ _ik(p) = (–1)ⁱ^{+ k}Δ _ikm(p).

Минор Δ _ikm(p) равен определителю системы, из которого исключена i-я строка, соответствующая i-ому контуру, где действует ЭДС E_i(p), и k-й столбец, соответствующий искомому k-ому току. Следовательно,

и тогда

Поскольку Δ _Z(p), Δ _ii(p), Δ _ik(p) представляют собой полиномы от собственных и взаимных операторных сопротивлений независимых контуров цепи, а сопротивления являются рациональными функциями р с вещественными коэффициентами, любая операторная характеристика линейной цепи также является рациональной функцией р с вещественными коэффициентами,
т. е. может быть представлена в виде отношения двух полиномов

Решив уравнения N(p) = 0 и M(p) = 0 и разложив N(p) и M(p)

на множители, получим

где – масштабный коэффициент; p₀₁, p₀₂, ..., p₀_n – нули функции; p_X₁, p_X₂, ..., p_Xm – полюсы функции H_ki(p).

Таким образом, операторная характеристика может быть задана распределением нулей и полюсов (значений р при которых функция обращается в бесконечность), а также масштабным коэффициентом K.

Для перехода от операторной характеристики цепи к её комплексной

частотной характеристике (КЧХ) необходимо заменить р на jω, т. е. КЧХ есть

частный случай обобщенной частотной характеристики при р = jω.

Таким образом, комплексную частотную характеристику можно представить в виде отношения двух полиномов по степеням jω. Порядок полинома знаменателя равен порядку цепи, порядок числителя может быть ниже. Например, для цепи второго порядка

Как и всякое комплексное число, КЧХ может быть представлена в показательной или в алгебраической формах. Следовательно, и комплексный коэффициент передачи по напряжению можно представить в виде

где − амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), а

− фазочастотная характеристика (ФЧХ) цепи.

Аналогично можно представить комплексную передаточную проводимость:

где − АЧХ, − ФЧХ.

Известно, что модуль дроби определяется как отношение модулей числителя и знаменателя, поэтому амплитудно-частотная характеристика

Аргумент дроби равен разности аргументов числителя и знаменателя, поэтому фазочастотная характеристика

Пример 5. Для электрической цепи, приведенной в примере 1, определить комплексную передаточную проводимость характеристики, используя операторную характеристику.

Решение. Найдем операторную характеристику цепи (рис. 41).

Рис.41

где

Подставив значения R, L, C в последнее выражение, получим

Комплексная передаточная проводимость

Амплитудно-частотная характеристика

Фазочастотная характеристика

Графики амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик приведены на рис.42, 43.

Рис. 41

Рис. 42

2.4. Расчет переходных процессов при произвольных входных
воздействиях

Рассмотренные выше методы расчета переходных процессов практически не пригодны при сложных формах входных сигналов. В этом случае применяют метод наложения, который заключается в разложении заданного входного воздействия на подобные слагаемые более простой формы, для которых легко найти отклик цепи.

Определив отклик цепи на каждую элементарную составляющую, и суммируя эти отклики, находим отклик цепи на все сложное воздействие.

Отдельные составляющие целесообразно выбирать такими, чтобы они были простыми математически, и расчет откликов, вызываемых ими, был бы не сложен. Элементарные составляющие и вызываемые ими отклики выражают с помощью двух функций: а) единичной функции (единичного скачка); б) импульсной функции (дельта функции).

1 234 5