Изображение простейших функций

1.Изображение постоянной величины (рис. 33)

Зная изображение постоянной, можно записать изображение единичной функции

2. Изображение показательной функции

при Rep > Reα

Положив в последней формуле α = jω, получим

Далее можно найти изображение комплекса гармонического тока и напряжения

2.2.3. Основные свойства преобразования Лапласа

Очевидно, что соответствие между оригиналом и изображением взаимно однозначны, т. е. каждой функции f(t) соответствует одна вполне определенная функция F(p) и наоборот.

Свойство линейности. При умножении оригинала на постоянную величину на ту же постоянную величину умножается и изображение

а f(t) а F(p).

Действительно,

Если оригинал представлен суммой функций, то изображение этой суммы равно сумме изображений этих функций (свойство линейности преобразования Лапласа: изображение линейной комбинации функций есть линейная комбинация изображений)

Теорема дифференцирования. Допустим, что некоторая функция f(t) имеет изображение F(p), требуется найти изображение производной этой функции.

Пусть f΄ (t) = φ (t). Найти Ф(р) φ (t).

Интегрируя по частям, получим

Вычисление производной при нулевых начальных условиях [f(0) = 0] соответствует умножению изображения функции на множитель p:

Теорема интегрирования . Известно изображение некоторой функции f(t). Требуется определить изображение функции, являющейся интегралом функции f(t).

Пусть , тогда ,

если

Многократному интегрированию соответствует общее выражение

Теорема запаздывания. Теорема позволяет определить изображение функции f(t – t₁), отличающейся от функции f(t) тем, что она сдвинута вправо вдоль оси времени на t₁ (рис. 34)

Рис. 34

так как в интервале (0 – t₁) функция f(t – t₁) = 0.

Введем новую переменную τ = t – t₁, тогда t = τ + t₁, dt = dτ.

Таким образом, запаздывание функции на время t₁ соответствует умножению её изображения на .

Теорема смещения. Теорема смещения позволяет определить, как изменяется изображение при умножении оригинала на показательную функцию e^±^{α t}, где α – постоянное число.

Пусть новая функция имеет вид ψ (t) = f(t)e^±^{α t}.

Изображение

Таким образом, умножение временной функции на экспоненциальный множитель приводит к «смещению» в области изображений независимой переменной p на .

Теорему смещения очень удобно применять при определении изображения экспоненциально убывающих функций. Например, необходимо найти изображение функции ψ (t) = sinω te^–^{α t}.

Выше было показано, что , тогда

Разделив вещественную и мнимую части, получим

Следовательно,

Теорема умножения изображений (теорема свертки – интеграл Бореля) заключается в следующем: если

f₁(t) F₁(p), f₂(t) F₂(p)

то

Таким образом, произведению изображений двух функций соответствует свертка их оригиналов. Теорема свертки широко используется при составлении таблиц операторных соотношений. Если изображение искомой функции может быть представлено в виде произведения двух (или более) сомножителей, то по оригиналам каждого из сомножителей можно вычислить оригинал исходной функции. Например, определим оригинал функции, изображение которой имеет вид

Изображение Ф(р) можно представить как произведение двух изображений:

Следовательно,

Теорема подобия позволяет определить изображение функции времени при изменении масштаба её аргумента. Пусть известно изображение функции f(t) F(p). Определим изображение функции φ (t) = f(at), где а – некоторая положительная постоянная.

Обозначим at = x, тогда и

Окончательно имеем

Умножение аргумента оригинала на положительное постоянное число а приводит к делению аргумента изображения и самого изображения на то же число а.

Предельные соотношения устанавливают существование равенства между значениями функции времени и её изображения в начале координат и в бесконечно удаленной точке.

Ниже будет показано, что комплексную переменную р можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту, мнимая часть которой представляет собой угловую частоту некоторого гармонического колебания, а вещественная характеризует изменение огибающей этого колебания. Приняв вещественную часть р равной нулю, получим из предельных соотношений связь между функцией времени и частотной характеристикой в начале координат и при бесконечных значениях t и jω .

Проиллюстрируем эту связь на примере прохождения импульсного сигнала через усилитель с ограниченной полосой пропускания (рис. 35).

Рис. 35

Таким образом, характер изменения функции времени в области малых времен определяется частотной характеристикой в области высоких частот и наоборот: изменения в области больших времен определяется частотной характеристикой в области низких частот.

123 4 5