Связь между переходной и импульсной характеристиками

Поскольку h(t) и g(t) описывают одну цепь, то, очевидно, они жестко связаны. Выше было показано, что импульсная функция представляет собой производную от единичной функции:

Отклик цепи на единичную функцию является переходной характеристикой h(t), а так как в линейных цепях следствия находятся в тех же соотношениях, что и вызывающие их причины, то отклик цепи на воздействие импульсной функции должен быть производной отклика единичной функции, т. е. импульсная характеристика g(t) должна быть производной от переходной характеристики h(t):

Связь между характеристиками g(t) и h(t) можно получить также, рассматривая отклик цепи на воздействие скачка напряжения E_m1(t). При таком воздействии отклик цепи i(t) = E_mh(t).

С другой стороны,

откуда

Выражение связи между импульсной и переходной характеристиками цепи несколько отличается в случае, когда переходная характеристика h(t) не равна нулю при t = 0 (рис. 51).

Рис. 51

h(t) = h₁(t) + h₂(t) = h₁(t) + h(0)∙ 1(t)

тогда

Заменив переходную характеристику суммой двух функций h₁(t) и
h₂(t) = h(0), представляющую собой скачок величиной h(0), возникающий при t = 0, получим импульсную характеристику, в которой этот скачок учтен производной второй функции h(0) δ (t). Так как функции h(t) и h₁(t)подобны при всех значениях t, кроме t = 0, то их производные одинаковы во всех точках, кроме скачка при t = 0.

При нахождении переходной и импульсной характеристик удобно использовать операторные характеристики цепи. Действительно, исходя из определения операторной характеристики, изображение отклика

Y_k(p) = H_ki(p)X_i(p).

С другой стороны, изображение отклика цепи на единичную функцию на входе является изображением переходной характеристики

Аналогично, изображение отклика цепи на дельта-функцию является изображением импульсной характеристики

Пример 7. Для электрической цепи, приведенной в примере 1, определить переходную и импульсную характеристики, используя операторную характеристику.

Решение. Найдем операторную характеристику цепи (рис. 41).

где

Подставив значения R, L, C в последнее выражение, получим

отсюда переходная характеристика

и импульсная характеристика

Связь интеграла Дюамеля с интегралом наложения

Подставив выражение для импульсной характеристики в интеграл наложения, получим

На основании фильтрующего свойства импульсной функции

Тогда

Таким образом,

Интеграл Дюамеля Интеграл наложения

Пример 8. Для электрической цепи, приведенной в примере 1, рассчитать ток в индуктивной ветви с помощью импульсной характеристики при входном напряжении e(t) (рис. 46).

Решение. Ранее была определена переходная характеристика