Часть 2. Принятие решения в условиях неопределенности.

Постановка задачи

1. Сформулировать задачу принятия решения в условиях неопределенности с 4 альтернативными действиями, которые зависят от 4 состояний природы.

2. На основе данных задачи выбрать оптимальную альтернативу.

Описание алгоритма решения задачи

Принятие решения в условиях неопределенности требует определения альтернативных действий, которым соответствуют расходы или доходы, зависящие от (случайных) состояний природы. Матрицу в задаче принятия решений с m возможными действиями и n состояниями природы можно представить следующим образом.

	s₁	s₂	…	s_n
а₁	ν (а₁, s₁)	ν (а₁, s₂)	…	ν (а₁, s_n)
а₂	ν (а₂, s₁)	ν (а₂, s₂)	…	ν (а₂, s_n)
.	.	.	.	.
.	.	.	.	.
а_m	ν (а_m, s₁)	ν (а_m, s₂)	…	ν (а_m, s_n)

Существует 4 критерия для анализа ситуации, связанной с принятием решений.

1. Критерий Лапласа.

2. Минимаксный критерий.

3. Критерий Сэвиджа.

4. Критерий Гурвица.

Эти критерии отличаются по степени консерватизма, который проявляет индивидуум, принимающий решение, перед лицом неопределенности.

Критерий Лапласа опирается на принцип недостаточного обоснования, который гласит, что поскольку распределение вероятностей состояния неизвестно, нет причин считать их различными. Следовательно, используется оптимистическое предположение, что вероятности всех состояний природы равны между собой, то есть . Если при этом представляет получаемую прибыль, то наилучшим решением является то, которое обеспечивает

Если величина представляет собой расходы лица, принимающего решение, то оператор “max” заменяется на ”min”.

Минимаксный (максиминный) критерий основан на консервативном осторожном поведении лица, принимающего решение, и сводится к выбору наилучшей альтернативы из наихудших или, наоборот из наихудших альтернатив наилучшую. Если величина представляет получаемую прибыль, то в соответствии с максиминным критерием, в качестве оптимального выбирается решение, обеспечивающее

Если величина представляет потери, используется минимаксный критерий, который определяется следующим соотношением

Критерий Сэвиджа стремится смягчить консерватизм минимаксного(максиминного) критерия путем замены матрицы платежей (выигрышей или проигрышей) матрицей потерь , которая определяется следующим образом:

Критерий Гурвица охватывает ряд различных подходов к принятию решений – от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного (консервативного). Для описания склонности лица к оптимизму используется параметр оптимизма Пусть величины представляют доходы. Тогда решению, выбранному по критерию Гурвица, соответствует:

Если , критерий Гурвица становится консервативным, так как его применение эквивалентно применению обычного минимаксного критерия. Если , критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, ибо рассчитывает на наилучшее из наилучших условий. Степень оптимизма (или пессимизма) можно конкретизировать надлежащим выбором величины из интервала . При отсутствии ярко выраженной склонности к оптимизму или пессимизму выбор представляется разумным. Если величины представляют потери, то критерий принимает следующий вид:

Пример решения задачи

Формулировка задачи:

В некотором городе планируется построить санаторий. Организаторы посчитали, что количество отдыхающих в зависимости от времени года может быть различно и составлять 150, 200, 300 или 350 человек.

Пусть переменные представляют собой возможные по количеству отдыхающих размеры санатория, а переменные соответствуют различным уровням обслуживания отдыхающих.

Матрица затрат (в тыс. рублей) выглядит следующим образом:

	s1	s2	s3	s4
a1
a2
a3
a4

Определить оптимальный размер санатория, характеризующийся наименьшими затратами.

Решение:

Критерий Лапласа

При заданных вероятностях , ожидаемые значения затрат для различных возможных решений вычисляются следующим образом:


	← оптимум

Так как исходная матрица представляет собой расходы, то оптимальное решение достигается при реализации альтернативы, характеризующейся минимальными затратами.

Вывод: наименьший уровень расходов был получен при использовании альтернативы а2, организаторы решают построить санаторий на 200 отдыхающих.

Минимаксный критерий

Эту же задачу можно решить с помощью минимаксного критерия , так как в данном случае рассматривается матрица расходов.

s1 s2 s3 s4

a1

a2 ← минимакс

a3

a4

Вывод: наименьший уровень расходов получен при использовании а2 альтернативы, организаторы решают построить санаторий на 200 отдыхающих.

Критерий Сэвиджа

Для случая исследования расходов, согласно критерию Сэвиджа, составляется матрица сожалений, элементы которой определяются по данным исходной матрицы из соотношения:

где минимальное значение элемента в столбце матрицы

	s1	s2	s3	s4
a1
a2
a3
a4

Матрица сожалений в данном случае имеет следующий вид:

	s1	s2	s3	s4	Максимум строк
a1						← минимакс
a2						← минимакс
a3
a4

Вывод: наименьший уровень расходов получен при использовании a1 или a2 альтернатив, организаторы могут выбрать любую из этих двух альтернатив.

Критерий Гурвица

Для отражения своего мнения по рассматриваемому процессу принятия решения примем показатель оптимизма (высказывается точка зрения направленная к оптимизму)

Оптимальное решение ищется из соотношения .

Тогда получаем:

	s1	s2	s3	s4
a1
a2
a3
a4

Вывод: наименьший уровень расходов получен при использовании a2 альтернативы, организаторы решают построить санаторий на 200 отдыхающих.

1 234 5 6