Описание алгоритма решения задачи

Модели линейного, динамического, сепарабельного и т.д. программирования являются примером принятия решений в условиях определенности. Эти модели применимы лишь в тех случаях, когда альтернативные решения можно связать между собой точными линейными функциями. Но существует и иной подход к принятию решений в условиях определенности, когда определяются некоторые количественные показатели, обеспечивающие числовую шкалу предпочтений для возможных альтернативных решений. Этот подход известен как метод анализа иерархий.

Этапы решения задачи:

1. Получить матрицы парных сравнений критериев и матрицы парных сравнений альтернатив в рамках каждого критерия от всех экспертов.

Если имеется n критериев на заданном уровне иерархии, то создается матрица А размерности , именуемую матрицей парных сравнений, которая отражает суждение лица, принимающего решение, относительно важности разных критериев. Парное сравнение выполняется таким образом, что критерий в строке i (i=1, 2, …, n) оценивается относительно каждого из критериев, представленных n столбцами. Обозначим через a_ij элемент матрицы А, находящийся на пересечении i –строки и j – столбца. В соответствии с методом анализа иерархий для описания упомянутых оценок используются целые числа от 1 до 9. При этом a_ij=1 означает, что i –й и j – й критерий одинаково важны, a_ij=5 отражает мнение, что i –й критерий значительно важнее, чем j – й, а a_ij=9 указывает, что i –й критерий чрезвычайно важнее и j – го Другие промежуточные значения между 1 и 9 интерпретируются аналогично. На матрицу парных сравнений накладываются следующие ограничения:

a. если a_ij=k, то a_ji=1/k.

b. все диагональные элементы a_ij матрицы А должны быть равны 1, так как они выражают оценки критериев относительно самих себя.

2. Определить относительные веса w критериев и альтернативпутем нормализации матрицы А ( деление элементов каждого столбца на сумму элементов этого же столбца). Искомые относительные веса w вычисляются теперь в виде средних значений элементов соответствующих строк нормализованной матрицы А.

3. Определить согласованность матрицы A. Согласованность означает, что решение будет согласовано с определениями парных сравнений критериев или альтернатив. С математической точки зрения согласованность матрицы A означает, что для всех i, j и k. Свойство согласованности требует линейной зависимости столбцов (и строк) матрицы А. В частности, столбцы матрицы сравнения размером являются зависимыми, и, следовательно, такая матрица всегда является согласованной. Не все матрицы сравнений являются согласованными, так как строятся на основе человеческих суждений. При этом необходимо определить: является ли уровень несогласованности приемлемым. Чтобы выяснить, является ли уровень согласованности допустимым, необходимо определить соответствующую количественную меру для матрицы сравнений А. Идеально согласованная матрица А порождает нормализованную матрицу N, в которой все столбцы одинаковы.

.

Матрица сравнений А может быть получена из матрицы N путем деления элементов i-го столбца на w_i ( это процесс, обратный нахождению матрицы N из А ).

.

Используя приведенное определение матрицы А, имеем

.

В компактной форме условие согласованности матрицы А формулируется следующим образом. Матрица А будет согласованной тогда и только тогда, когда

Aw = n w,

где w – вектор столбец относительных весов w_i, i = 1, 2, …, n.

Когда матрица А не является согласованной, относительный вес w_i аппроксимируется средним значением n элементов i-й строки нормализованной матрицы N. Обозначив через вычисленную оценку (среднее значение в строке), условие согласованности матрицы можно записать

A = n_max ,

 

где . В случае n_maх= n матрица сравнения А является идеально согласованной.

Уровень несогласованности матрицы A вычисляетсяиз выражения

,

где

- коэффициент согласованности матрицы А,

- стохастический коэффициент согласованности матрицы А.

Стохастический коэффициент согласованности RI определяется эмпирическим путем как среднее значение коэффициента CI для большой выборки генерированных случайным образом матриц сравнения А.

Если , уровень несогласованности является приемлемым. В противном случае уровень несогласованности матрицы сравнения А является высоким и лицу, принимающему решение, рекомендуется проверить элементы парного сравнения a_ij матрицы A в целях получения более согласованной матрицы.

Значение n_max вычисляется на основе матричного уравнения , при этом нетрудно заметить, что i-е уравнение этой системы имеет вид:

, i = 1, 2, …, n.

Поскольку , сумма элементов в столбце расчетной матрицы может быть записана в следующем виде

.

Таким образом величину n_max можно определить путем вычисления вектор-столбца с последующим суммированием его элементов.

4. На основе полученных весовых коэффициентов находится комбинированный вес для каждой альтернативы.

5. Альтернатива, комбинированный весовой коэффициент которой является наибольшим, представляет собой оптимальное решение.

Пример решения задачи

Формулировка задачи:

Предприятию необходимо взять в аренду складские помещения для хранения своей продукции.Склад может быть расположен в одном из трех городов: D, B или C. Руководству предприятия, в составе: Петров П.Е., Иванов И.В. и Некрасова Н.Е., необходимо решить: в каком городе рациональнее расположить склад. Для анализа альтернатив руководство выделило три критерия, оказывающих наибольшее влияние на доходность предприятия: спрос на продукцию (С), наличие конкурентов (К) и стоимость аренды складских помещений (Ар) в каждом из городов. Основываясь на выдвинутых критериях, руководство должно отдать предпочтение определенному городу.

В каком городе выгоднее разместить склад, при условии, что мнения экспертов равнозначны?

Решение:

1. Матрицы парных сравнений критериев:

Петров П.Е.

Иванов И.В.

Некрасов Н.Е.

С

К

Ар

С

К

Ар

С

К

Ар

D=

С

D=

С

D=

С

К

0, 2

0, 5

К

0, 25

К

0, 5

Ар

0, 25

Ар

0, 333

Ар

0, 2

0, 25

2. Для определения относительных весов критериев «С», «К» и «Ар» нормализуем полученные матрицы сравнения и найдем средние значения элементов соответствующих строк нормализованной матрицы.

Петров П.Е.
			С	К	Ар	wi
	ND=	С				0, 681
	К				0, 118
	Ар				0, 201

Аналогично получаем весовые коэффициенты критериев для других экспертов:

Иванов И.В.		Некрасов Н.Е.
		С	К	Ар	wi			С	К	Ар	wi
ND=	С	0, 632	0, 667	0, 6	0, 633	ND=	С	0, 588	0, 615	0, 5	0, 568
К	0, 158	0, 167	0, 2	0, 175	К	0, 294	0, 308	0, 4	0, 334
Ар	0, 211	0, 167	0, 2	0, 192	Ар	0, 118	0, 077	0, 1	0, 098

3. Проверим: является ли уровень несогласованности полученных матриц парных сравнений приемлемым.

Петров П.Е.
=					0, 681	=	2, 076
0, 2		0, 5	0, 118	0, 355
0, 25			0, 201	0, 607

Отсюда получаем:

n_max = 2, 076 + 0, 355 + 0, 607 = 3, 038

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR< 0, 1, уровень несогласованности матрицы D является приемлемым.

Аналогично находим:

 

 

Иванов И.В.
=					0, 633	=	1, 909
0, 25			0, 175	0, 525
0, 333			0, 192	0, 578

Отсюда получаем:

n_max = 3, 013

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR< 0, 1, уровень несогласованности матрицы D является приемлемым.

Некрасов Н.Е.
=					0, 568	=	1, 727
0, 5			0, 334	1, 011
0, 2	0, 25		0, 098	0, 295

Отсюда получаем:

n_max = 3, 033.

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR< 0, 1, уровень несогласованности матрицы D является приемлемым.

В результате мы имеем весовые коэффициенты критериев для каждого эксперта, представленные в Таблица 1.

Таблица 1

	Петров П.Е.	Иванов И.В.	Некрасов Н.А.
С	0, 681	0, 633	0, 568
К	0, 118	0, 175	0, 334
Ар	0, 201	0, 192	0, 098

Произведем действия, аналогичные пп.1-3, для получения весов альтернативных решений (D, B и С).

1. Матрицы парных сравнений альтернатив в соответствии с каждым критерием.

 

Петров П.Е.

DС=

D

В

С

DК=

D

В

С

DАр=

D

В

С

D

D

D

0, 5

В

В

0, 5

В

0, 5

0, 25

С

0, 5

0, 333

С

0, 333

0, 5

С

 

Иванов И.В.

DС=

D

В

С

DК=

D

В

С

DАр=

D

В

С

D

D

D

В

0, 25

0, 5

В

0, 333

В

0, 333

С

0, 333

С

0, 25

0, 5

С

0, 25

0, 5

 

Некрасов Н.Е.

DС=

D

В

С

DК=

D

В

С

DАр=

D

В

С

D

D

D

В

0, 5

В

0, 333

В

0, 5

0, 5

С

0, 2

0, 2

С

0, 25

С

2. Соответствующие нормализованные матрицы и весовые коэффициенты альтернатив:

Петров П.Е.
NDC=		D	В	С	wi
D	0, 4	0, 429	0, 333	0, 387
В	0, 4	0, 429	0, 5	0, 443
С	0, 2	0, 143	0, 167	0, 170
NDК=		D	В	С	wi
D	0, 545	0, 571	0, 5	0, 539
В	0, 273	0, 286	0, 333	0, 297
С	0, 182	0, 143	0, 167	0, 164
NDАр=		А	В	С	wi
D	0, 286	0, 286	0, 286	0, 286
В	0, 143	0, 143	0, 143	0, 143
С	0, 571	0, 571	0, 571	0, 571

 

Иванов И.В.
NDC=		D	В	С	wi
D	0, 632	0, 571	0, 667	0, 623
В	0, 158	0, 143	0, 111	0, 137
С	0, 211	0, 286	0, 222	0, 239
NDК=		D	В	С	wi
D	0, 632	0, 667	0, 571	0, 623
В	0, 211	0, 222	0, 286	0, 239
С	0, 158	0, 111	0, 143	0, 137
NDАр=		D	В	С	wi
D	0, 571	0, 6	0, 5	0, 571
В	0, 286	0, 3	0, 375	0, 286
С	0, 143	0, 1	0, 125	0, 143

 

Некрасов Н.Е.
NDC=		D	В	С	wi
D	0, 588	0, 625	0, 455	0, 556
В	0, 294	0, 313	0, 455	0, 354
С	0, 118	0, 063	0, 091	0, 090
NDК=		D	В	С	wi
D	0, 632	0, 667	0, 571	0, 623
В	0, 211	0, 222	0, 286	0, 239
С	0, 158	0, 111	0, 143	0, 137
NDАр=		D	В	С	wi
D	0, 4	0, 4	0, 4	0, 4
В	0, 2	0, 2	0, 2	0, 2
С	0, 4	0, 4	0, 4	0, 4

3. Проверим согласованности матриц сравнений альтернатив.

Столбцы матрицы N_DАр (Петров П.Е.) и N_DАр (Некрасов Н.Е.) одинаковы. Это имеет место лишь в случае, когда лицо, принимающее решение, проявляет идеальную согласованность в определении элементов матрицы сравнений, т.е. матрица сравнений является согласованной.

Оценим уровень несогласованности остальных матриц сравнений.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Спрос», составленную экспертом Петровым П.Е.

=					0, 387	=	1, 170
			0, 443	1, 340
	0, 333		0, 170	0, 511

Отсюда получаем: n_max = 3, 021

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR< 0, 1, уровень несогласованности матрицы D_С является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Конкуренция», составленную экспертом Петровым П.Е.

=					0, 539	=	1, 625
0, 5			0, 297	0, 894
0, 333	0, 5		0, 164	0, 492

Отсюда получаем: n_max = 3, 011

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR< 0, 1, уровень несогласованности матрицы D_К является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Спрос», составленную экспертом Ивановым И.В.

=					0, 623	=	1, 891
0, 25		0, 5	0, 137	0, 413
0, 3333			0, 239	0, 722

Отсюда получаем: n_max = 3, 025

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR< 0, 1, уровень несогласованности матрицы D_С является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Конкуренция», составленную экспертом Ивановым И.В.

 

 

=					0, 623	=	1, 891
0, 333			0, 239	0, 722
0, 25	0, 5		0, 137	0, 413

Отсюда получаем: n_max = 3, 025

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR< 0, 1, уровень несогласованности матрицы D_К является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Арендная плата», составленную экспертом Ивановым И.В.

=					0, 557	=	1, 688
0, 5			0, 320	0, 967
0, 25	0, 333		0, 123	0, 369

Отсюда получаем: n_max = 3, 023

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR< 0, 1, уровень несогласованности матрицы D_Ар является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Спрос», составленную экспертом Некрасовым И.В.

=					0, 090	=	1, 715
0, 5			0, 090	1, 083
0, 2	0, 2		0, 090	0, 272

Отсюда получаем: n_max = 3, 071

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR< 0, 1, уровень несогласованности матрицы D_С является приемлемым.

Проверим согласованность матрицы сравнений альтернатив в рамках критерия «Конкуренция», составленную экспертом Некрасовым И.В.

=					0, 623	=	1, 891
0, 333			0, 239	0, 722
0, 25	0, 5		0, 137	0, 413

Отсюда получаем: n_max = 3, 025

Следовательно, для n=3 имеем:

Так как CR< 0, 1, уровень несогласованности матрицы D_К является приемлемым.

В результате мы имеем весовые коэффициенты альтернатив в соответствии с каждым критерием для каждого эксперта, которые представлены в Таблица 2.

Таблица 2

	Петров П.Е.	Иванов И.В.	Некрасов Н.А.
	С	К	Ар	С	К	Ар	С	К	Ар
D	0, 387	0, 539	0, 286	0, 623	0, 623	0, 557	0, 556	0, 623	0, 4
В	0, 443	0, 297	0, 143	0, 137	0, 239	0, 320	0, 354	0, 239	0, 2
С	0, 170	0, 164	0, 571	0, 239	0, 137	0, 123	0, 090	0, 137	0, 4

4. Полученные в результате расчетов данные (Таблица 1 и Таблица 2) для наглядности представим на дереве (Рис. 1).

Комбинированный вес W для каждого города определяется по единой схеме. Например, для города D можно записать:

.

5. Таким образом, в результате проведенных вычислений получаем следующие комбинированные весовые коэффициенты для каждого из городов:

WD=	0, 519
WB =	0, 285
WC =	0, 195

В результате, город D получает наивысший комбинированный вес и, следовательно, является наиболее оптимальным выбором для размещения склада.

Рис. 1

 

123456

Поделиться:

Популярное:

1. I. Иммунология. Определение, задачи, методы. История развитии иммунологии.
2. I. Цели и задачи библиотеки на 2015 год
3. II. 36. Основные задачи семеноводства.
4. II. Путивль. – Иностранцы в России. – Отношение к ним русских. – Сербский митрополит. – Посещение патриарха воеводой. – Описание города Путивля, крепости и церкви.
5. II. ЦЕЛИ, ЗАДАЧИ И ВИДЫ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ОРГАНИЗАЦИИ.
6. III. Описание Уровней Программы
7. V1: Предмет, цели и задачи товароведения
8. VII. Задачи научного руководителя дипломной работы
9. А.5.2 Краткое описание программного обеспечения анализатора
10. АДАПТАЦИЯ И ОПИСАНИЕ ИСПОЛЬЗУЕМЫХ АЛГОРИТМОВ
11. Алгоритм Симплекс-метода для решения задачи линейного программирования об оптимальном использовании ресурсов.
12. Аттестация государственных служащих: понятие, цели, задачи, функции, принципы.