Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции

Теорема 1 (достаточное условие возрастания функции). Если непрерывная на сегменте [a, b] функция у = f(x) в каждой внутренней точке этого сегмента имеет положительную производную, то эта функция возрастает на сегменте [a, b].

Теорема 2 (достаточное условие убывания функции). Если непрерывная на сегменте [a, b] функция у = f(x) в каждой внутренней точке этого сегмента имеет отрицательную производную, то эта функция убывает на сегменте [a, b].

Пример 1. Определить интервалы монотонности функции у = х³ – 3х.

Решение.

Производная функции равна у' = 3х² -3. Функция возрастает для всех значений х, при которых у' > 0. Решая неравенство 3х² – 3 > 0, находим х > 1 или х < -1. Таким образом, функция возрастает в интервалах (-∞; -1) и (1; ∞ ). Убывает данная функция для значений х, при которых у' < 0. Решая неравенство 3х² – 3 < 0, находим х² < 1, или -1 < х < 1. Функция убывает в интервале (-1; 1).

Ответ: функция возрастает, если х (-∞; -1) (1; ∞ ) и убывает, если х (-1; 1).

Теорема 3 (достаточный признак существования экстремума). Если непрерывная функция у = f(x) имеет производную f'(x) во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку с (за исключением, может быть, самой точки с), и если производная f'(x) при переходе аргумента слева направо через критическую точку с меняет знак с плюса на минус, то в точке с функция имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Замечание: Если производная f'(x) не меняет знака при переходе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет ни максимума, ни минимума.

Пример 2. Найти точки экстремума функции у = .

Решение.

Эта функция определена и дифференцируема на всей числовой оси.

Найдем производную: у' = х² – 4х + 3.

Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: у' = 0; х² – 4х + 3 = 0 х₁ = 1, х₂ = 3.

Таким образом, область определения функции разбивается на три интервала: (-∞; 1); (1; 3); (3; ∞ ).

В каждом из этих интервалов производная сохраняет свой знак (так как смена знака может произойти только при переходе через критическую точку). Определим знак производной в каждом интервале методом интервалов. Графиком функции f(x) = х² – 4х + 3 является парабола, ветви которой направлены вверх, поэтому при х (-∞; 1) f'(x)> 0; при х (1; 3) f'(x)< 0; при х (3; ∞ ) f'(x)> 0.

Так как при переходе через критическую точку х = 1 производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. Вычислим его: у_max= f(1) = = .

При переходе через критическую точку х = 3 производная меняет знак с минуса на плюс, значит в этой точке функция имеет минимум:

у_min= f(3) = = 1.

Ответ: у_max= при х = 1, у_min= 1 при х = 3.

Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба

Определение 1. График дифференцируемой функции у = f(x) называется выпуклым на интервале (a, b), если он расположен ниже любой своей касательной на этом интервале.

Определение 2. График дифференцируемой функции у = f(x) называется вогнутым на интервале (a, b), если он расположен выше любой своей касательной на этом интервале.

Определение 3. Точка графика непрерывной функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба.

Теорема (достаточный признак существования точки перегиба). Пусть в точке х₀ функция у = f(x) непрерывна. Если вторая производная f''(x) меняет свой знак при переходе через х₀, то в точке с абсциссой х = х₀ график функции имеет точку перегиба.

Пример. Исследовать на выпуклость, вогнутость и точки перегиба график функции у = х³ – 3х.

Решение.

Находим первую и вторую производные у' = 3х²– 3, у'' = 6х. приравниваем вторую производную к нулю и находим ее корень: 6х = 0, откуда х = 0. Так как при х < 0 у''< 0, а при х > 0 у''> 0, то в интервале (-∞; 0) график функции выпуклый, а в интервале (0; ∞ ) – вогнутый. Следовательно, при х = 0 график функции имеет точку перегиба.

Ответ: х = 0 – точка перегиба.

Асимптоты графика функции

Определение. Асимптотой графика функции у = f(x) называется прямая линия, обладающая тем свойством, что расстояние от переменной точки на графике до прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по графику от начала координат.

Вертикальные асимптоты. Пусть при х → х₀ функция у = f(x) неограниченно возрастает по абсолютной величине, т.е. f(x) = ∞. Тогда из определения асимптоты следует, что прямая х = х₀ является вертикальной асимптотой.

Таким образом, для отыскания вертикальных асимптот графика функции у = f(x), надо найти те значения х = х₀, при которых функция терпит бесконечный разрыв.

Пример 1. Найти вертикальную асимптоту графика функции у = е^х + .

Решение.

Так как ( е^х + ) = ∞, то прямая х = -3 будет вертикальной асимптотой.

Невертикальные асимптоты. Пусть график функции у = f(x) имеет невертикальную асимптоту. Тогда уравнение такой асимптоты имеет вид у = kx + b. Для определения k и b используют следующие формулы:

k = ; b = [ f(x) – k х].