Свойства непрерывных функций

Пусть функции f(x) и y(x) непрерывны в точке а, с-любое число. Тогда функции сf(x), f(x)±y(x), f(x)·y(x), (y(x)≠ 0) также непрерывны.

Свойства непрерывных функций отражают 2 теоремы. Известные как теоремы Вейерштрасса.

Определение: Функция у=f(х), определенная на отрезке , называется ограниченной на этом отрезке, если найдется число М> 0 такое, что для любого х выполняется неравенство .

Первая теорема Вейерштрасса: Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.

Определение: Значение f(x₀), где х₀ , называется наибольшим значением функции на отрезке, если для любой точки х справедливо неравенство f(x)≤ f(x₀).

Максимальное значение функции в точке обозначают , а саму точку – х_max

Аналогично определяется минимальное значение функции в точке.

Вторая теорема Вейерштрасса: Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то она принимает на этом отрезке как свое максимальное, так и свое минимальное значение.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Разность х-х₀ называется приращением аргумента и обозначается т.е. =х-х₀, тогда близкая к х₀ точка х=х₀+ .

Приращением функции у=f(х) в точке х₀ называется разность у=f(х₀+ )-f(x₀).

Если существует предел отношения у к приращению в этой точке, когда приращение аргумента стремится к нулю, то этот предел называется производной функции в точке х₀ и обозначается у^/(х₀).

Производную функции можно обозначать символами: у^/, , .

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием функции.

Из равенства dy – дифференциал функции.

С геометрической точки зрения производная – это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке.

С физической точки зрения производная – это скорость изменения функции по отношению к изменению аргумента.

Определение: Если у=f(u) есть функция аргумента u, u=u(x) есть функция аргумента х, то y=f(u(x)) есть сложная функция от х.

Производная сложной функции вычисляется по формуле

Правила дифференцирования

Таблица производных элементарных функций

1. В частности ;

10.

11.

12.

13.

Здесь а= const, u-u(x)/если u(x)=x, то .

Правило Лопиталя – Бернулли применяется для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов функции:

, т.е. если функции дифференцируемы, то предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Если после применения правила Лопиталя неопределенность сохраняется, то правило следует применить еще раз.

Пример: В этом примере правило Лопиталя использовали три раза.

Интегральное исчисление функции одной вещественной переменной

Определение: Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной функции f(x), если в каждой точке интервала (a; b) справедливо равенство

Пример: Пусть f(x)=1. тогда F(x)= х, т.к.

Первообразная для функции определяется неоднозначно. Если функция F(x)= х является первообразной для f(x)=1, то и функция G(x)=x+c, где с- произвольная постоянная, также является первообразной для f(x)=1, т.к.

Определение: Множество всех первообразных фугнкции называется неопределенным интегралом и обозначается

=F(x)+C, где С-произвольная постоянная

Интегралы вычисляются с помощью таблицы основных неопределенных интегралов и правил вычисления интегралов.

Связь между неопределенным интегралом и дифференциалом выражается формулами:

1) ( или )

Правила вычисления интегралов

Правило 1.Постоянную можно выносить за знак интеграла, т.е.

, где α - любое число

Правило 2. Интеграл от суммы равен сумме интегралов, т.е.

Правило 3. Интегрирование по частям

Пусть u и v –дифференцируемые функции. Тогда

Правило 4. Замена переменной

Пусть x=φ (x), где φ (х)- дифференцируемая функция переменногоt. Тогда , при этом в правой части формулы переменная должна быть выражена через х, исходя из замены х=

Примеры:

1. (использовали первое правило и таблицу)

При вычислении данного интеграла использовали метод интегрирования по частям и таблицу интегралов.

Задания контрольной работы

Вычислите пределы функций:

1. 11.

2. 12.

3. 13.

4. 14.

5. 15.

6. 16.

7. 17.

8. 18. а)

9. 19.

10. 20.

21. 22.

Для данной функции найдите производную указанного порядка в заданной

точке:

1. ; 11. ;

2. ; 12. ;

3. ; 13. ;

4. ; 14. ;

5. ; 15. ;

6. ; 16. ;

7. ; 17. ;

8. ; 18. ;

9. ; 19. ;

10. ; 20. ;

21. ; 22. ;

Вычислите интеграл:

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

ЛИТЕРАТУРА

Основная

1. Богомолов Н.В. математика; Учебник длясредник специальных учебных заведений – М.: Дрофа, 2002.

2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. М.: Высшая школа, 1997

3. Баврин И.И. Высшая математика. – М.: Издательский центр «Академия», 2002.

4. Подольский В.А. и др. Сборник задач по математике: Учебное пособие для средних специальных учебных заведений. /Подольский В.А., Суходольский А.М. и др. – 2-е изд. перераб. и доп. – М.: Высшая школа, 1999.

5. Валуцэ И.И. Математика для техникумов. – М.: Наука, 1990.

Дополнительная

6. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.И. Математический анализ в вопросах и задачах: Учеб.пос. – Изд. 3-е. – М.: Физматлит, 2000.

7. Ведина О.И., Десницкая В.Н. Математика: Математический анализ для экономистов: Учебник/Под ред. А.А. Гриба. – Филинь, 2001.

8. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – Росткнига, 2001.

9. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учебник. – 2-е изд., испр. – Дело, 2001.

10. Григорьев С.П., Задулина С.В., Математика, Учебник – М.; «Академия» 2005.

11. Григорьев В.П., Дубинский Ю.А., Элементы высшей математики – М.: «Академия» 2004.

12	Поделиться: