Интегрирование некоторых иррациональных функций

Определение 3. Функция называется алгебраической иррациональной, если над аргументом производится только четыре арифметических действия и действие возведения в рациональную степень.

Метод интегрирования алгебраических иррациональностей состоит в выборе подстановки, которая привела бы подынтегральную функцию к рациональной.

Наиболее часто встречаются иррациональности вида:

I.

1) ; – несократимые дроби.

Рекомендуется подстановка: , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .

2) ;

Подстановка: , где н.о.к. .

3) .

Подстановка: , где н.о.к. приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.

II.

1) ; Подстановка: , .

2) ; Подстановка: , .

3) ; Подстановка: , .

Рекомендуется подстановка: , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей (н.о.к.) .

1) ;

Подстановка: , где н.о.к. .

2) .

Подстановка: , где н.о.к. приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.

III.

1) приводится к одному из видов в п. II методом выделения полного квадрата трехчлена, стоящего под корнем квадратным.

 

 

Пример 21. ;

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей , равно 10.

Сделаем подстановку , ;

Тогда .

– правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие рациональные дроби, что рекомендуется проделать самостоятельно.

Получим: =

=

= , где .

Пример 22. ;

Сделаем подстановку, которая приводит подынтегральную функцию к рациональному виду: ;

Найдем из этого уравнения и : ; ;

.

Тогда .

Проинтегрируем правильную рациональную дробь , разложив ее на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.

Представим интеграл в виде суммы:

.

Возвращаясь к старой переменной по формуле ,

получим .

Пример 23. ; Это интеграл типа II.

Применим подстановку ; ;

; тогда ;

;

Чтобы вернуться к первоначальной переменной, выразим через ;

;

Получим ;

Пример 24. ; Это интеграл типа III.

Алгоритм вычисления интеграла такого типа аналогичен алгоритму интегрирования рациональной дроби типа III:

, а именно:

1) Выделение полного квадрата трехчлена, стоящего в знаменателе;

2) Введение новой переменной.

.

IV. Интеграл от дифференциального бинома: , может быть вычислен в конечном виде только в следующих случаях:

1) – целое число, тогда применима подстановка , где – общий знаменатель дробей и . Или разлагают на сумму по формуле бинома Ньютона.

2) – целое число, подстановка , где – знаменатель дроби .

3) – целое число, подстановка , где – знаменатель дроби .

 

Эти подстановки называются подстановками Чебышева, который доказал, что только в этих случаях дифференциальный бином может быть приведен к рациональному виду и вычислен при помощи элементарных функций.

Пример 25. ;

Запишем интеграл в виде ,

где , , , .

– не целое число; – целое число.

В этом случае применима подстановка: ;

; ; ;

 

;

Проинтегрируем рациональную дробь: , разложив ее на простейшие: .

Найдя коэффициенты разложения, получим: А= , B= , C= .

Подставим их в разложение и проинтегрируем дроби:

= ,

где = .

Определенный интеграл

Изучение определенного интеграла начинаем со следующей задачи. Пусть функция определена на , . Попробуем отыскать метод вычисления площади фигуры (криволинейной трапеции), ограниченной осью , прямыми , и графиком функции , рис. 1.

 

 

Рассмотрим частные случаи

1. Функция постоянна на . В таком случае рассматриваемая фигура является прямоугольником, а его площадь равна длине основания , умноженной на высоту

.

2. Пусть непрерывна на . Разделим отрезок на произвольных частей точками . Выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину .

Умножим найденные значения на длину , т.е. .

Составим сумму всех таких произведений

(1)

Сумма вида (1) называется интегральной суммой функции на отрезке .

Обозначим .

Найдем предел интегральной суммы (1), когда так, что
.

Если при этом интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число под определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается

Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, - подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, - переменной интегрирования, - областью интегрирования.

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. В некоторых петрографических разновидностях гранитоидов
2. Восстановление праксических и гностических функций нарушенных по субдоминантному типу
3. Выявление функций проектируемой службы и построение «дерева функций»
4. Генезис высших психических функций
5. Глава 5. Развитие структуры и функций государственного аппарата
6. Глава 7. ПРИРОДА И СОСТАВ ФУНКЦИЙ МЕНЕДЖМЕНТА
7. Дополнительные основания увольнения некоторых категорий работников.
8. За исключением объявления переменных, типов и т.п. в контейнере весь код программы VB состоит из процедур и функций.
9. Замена иррациональных верований
10. Значения модуля упругости для некоторых материалов
11. Изменение значения некоторых элементов
12. Изображение простейших функций