Элементы дифференциального исчисления. 11

Часть II

Минск 2005

УДК 339.742

ББК 65.5

Серия основана в 2001 году

Рекомендовано к изданию Комиссией по приемке и аттестации электронных версий учебных и учебно-методических материалов Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Академии управления при Президенте Республики Беларусь.

Плющ О.Б.

П Практикум по высшей математике. Математический анализ. Задачи и упражнения для практического занятия / Плющ О.Б. – Мн.: Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2005. – 58 с.

ISBN 985-457-350-8

Курс лекций предназначен для студентов системы открытого образования Академии управления при Президенте Республики Беларусь, обучающихся по специальности «Государственное управление и экономика».

УДК 339.742

ББК 65.5

ISBN 985-457-350-8	ã	Плющ О.Б., 2005
	ã	Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2005

Теория пределов. 4

Элементы дифференциального исчисления. 11

Исследование функций одной переменной. 16

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных. 20

Экстремумы функций нескольких переменных. 24

Элементы интегрального исчисления (неопределенные интегралы) 26

Определенные интегралы.. 33

Ряды.. 41

Знакомство с обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). 49

Теория пределов

Вопросы для повторения

1. Понятие функции, области определения и множества значений функции.

2. Понятие четности, нечетности и периодичности функции.

3. Понятие предела функции в точке и на бесконечности.

4. Первый и второй замечательные пределы.

5. Понятие непрерывности функции.

6. Свойства непрерывных функций.

Найти области определения функции

Ответ:

10.

Ответ:

11.

Ответ:

12.

Ответ:

13.

Ответ:

Найти множество значений функции

14.

Ответ:

15.

Ответ:

16.

Ответ:

17.

Ответ:

Установить четность или нечетность функций

18.

Ответ: Четная

19.

Ответ: Нечетная

20.

Ответ: Четная

21.

Ответ: Четная

22.

Ответ: Нечетная

23.

Ответ: Не четная и не нечетная

Найти пределы последовательности при

24.

Ответ:

25.

Ответ:

26.

Ответ: 0

Найти пределы последовательности при используя замечательные пределы

27.

Ответ: 1

28.

Ответ:

29.

Ответ:

30.

Ответ:

31.

Ответ:

Найти пределы функций

32. ;

Ответ: 1

33. ;

Ответ:

34.

Ответ: 0, 2

35.

Ответ:

36.

Ответ: 0, 04

37.

Ответ:

38.

Ответ:

Найти пределы функций, используя замечательные пределы

39. ;

Ответ: 0, 2

40. ;

Ответ:

41. ;

Ответ:

42. ;

Ответ:

43. ;

Ответ: 1

44.

Ответ:

45.

Ответ:

46.

Ответ:

47.

Ответ:

48.

Ответ:

Найти односторонние пределы

49.

Ответ: 0

50.

Ответ:

51.

Ответ: 1

52.

Ответ: 0

53.

Ответ:

54.

Ответ:

55.

Ответ: 1

56.

Ответ: -1

57.

Ответ:

58.

Ответ: 0

Исследовать функции на непрерывность

59. Найти точки разрыва функции

Решение:

Подозрительными на разрыв являются точки и решение уравнения , т.е.

т.е. – разрыв 2 рода;

т.е. – разрыв 1 рода.

60. Найти точки разрыва функции

Ответ: – разрыв 1 рода;

– разрыв 2 рода.

61. Найти точки разрыва функции

62. При каком значении будет непрерывной функция

Решение:

Следует принять

Элементы дифференциального исчисления

Контрольные вопросы к теме

1. Понятия приращения аргумента и приращения функции.

2. Производная функции, ее геометрический смысл.

3. Понятие дифференцируемости функции.

4. Дифференциал функции, его определение и геометрический смысл.

5. Понятие сложной и обратной функции.

6. Правила вычисления производных сложной и обратной функций.

7. Основные теоремы дифференцирования.

8. Раскрытие неопределенностей по правилам Лопиталя.

9. Производные высших порядков.

Используя таблицу производных и правила дифференцирования, найти производные функций

Ответ:

Пример. Найти производную функции:

Для функций, представляющих собой громоздкие произведения и частные различных степенных выражений, удобно, а для показательно-степенных функций, где от переменного зависят как основание степени, так и ее показатель, – необходимо применять прием логарифмического дифференцирования.

Этот прием основан на соотношении

.

Решение:

Найти производные функций методом логарифмического дифференцирования

Ответ:

10.

Ответ:

Найти производную функции, заданной неявно

11.

Ответ:

12.

Ответ:

13.

Ответ:

14. ;	15. ;
16. ;	17. .

Найти производные порядка

Если и - функции, имеющие производные порядка , то

;

- формула Лейбница.

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. .

Найти дифференциалы функций

Если и дифференцируемые функции от

26. ;	27. ;
28. ;	29. ;
30. ;	31. .

Вычислить приближенно

32. ;	33. ;
34. ;	35. ;
36. при	37. при
38. при	39. при

Формула Тейлора

1. Используя основные разложения, представить функцию формулой Тейлора порядка в окрестности точки а.

9. ;	10. ;
11. ;	12. ;
13. ;	14. ;
15. ;	16. ;

7. Представить формулой Тейлора порядка в окрестности точки функцию , заданную неявно условиями:

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

8. Вычислить пределы

21. ;	22. ;
23. ;	24. .

Полный дифференциал функции

Вычислить приближенно:

11.

Ответ:

12.

Ответ:

13.

Ответ:

Найти дифференциалы

23. если

Ответ:

24. если

Ответ:

25. если

Ответ:

Интегрирование по частям

Определенные интегралы

Контрольные вопросы к теме

Понятия интегральной суммы и определенного интеграла.
Верхняя и нижняя суммы Дарбу, их сходимость.
Понятие равномерной сходимости функции.
Приложения определенного интеграла.
Методы приближенного вычисления определенных интегралов.

Формула Ньютона-Лейбница

Интегрирование по частям

Несобственные интегралы

Ряды

Контрольные вопросы к теме

Понятия числового ряда и его сходимости.
Признаки сходимости ряда. Геометрический и гармонический ряды.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды, их сходимость и абсолютная сходимость.
Область сходимости функционального ряда. Понятие равномерной сходимости ряда.
Радиус сходимости степенного ряда, основные методы его определения.
Ряд Тейлора. Разложение функций в ряд Тейлора.

Изучить последовательность частных сумм ряда и выяснить, является ли ряд сходящимся:

1.	Ответ: ряд расходится
2.	Ответ: ряд сходится,
3.	Ответ: ряд сходится,
4. ;	Ответ: ряд сходится,
5. ;	Ответ: ряд расходится
6. ;	Ответ: ряд сходится,
7. ;	Ответ: ряд сходится,
8. ;	Ответ: ряд сходится,
9. ;	Ответ: ряд сходится,
10. ;	Ответ: ряд расходится

Функциональные ряды

Плющ Олег Борисович

Математический анализ

Часть II

Минск 2005

УДК 339.742

ББК 65.5

Серия основана в 2001 году

Плющ О.Б.

ISBN 985-457-350-8

УДК 339.742

ББК 65.5

ISBN 985-457-350-8	ã	Плющ О.Б., 2005
	ã	Академия управления при Президенте Республики Беларусь, 2005

Теория пределов. 4

Элементы дифференциального исчисления. 11

12 3 4