Исследование функций одной переменной

Контрольные вопросы к теме

1. Критерии монотонности функции.

2. Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции.

3. Понятие стационарных точек функции.

4. Области выпуклости графика функции и точки перегиба.

5. План исследования функции и построение ее графика.

6. Интерполяция и аппроксимация функций.

7. Интерполяционный полином Лагранжа.

8. Формула Тейлора и формула Маклорена.

9. Понятие эмпирических функций.

Найти асимптоты кривой

Решение:

вертикальная асимптота

наклонная асимптота при

Исследовать функцию и построить график:

Пример. План исследования функции и построения ее графика рассмотрим на примере функции .

I. Область определения X = R.

Функция не является периодической.

функция четная

II. асимптота, причем,

Так как y(x)®+¥ при x®+¥ и y®-¥ при x®-¥, то возможно существование наклонных асимптот (негоризонтальных).

кроме горизонтальной асимптоты наклонных асимптот нет

III. Найти локальные экстремумы функции

;

Из уравнения находим стационарные точки при x = 1 и x = –1

IV. Найти точки перегиба функции

при , и (точки перегиба)

при - максимум; при – минимум

V. Строим таблицу, в которой выделены промежутки однообразного поведения функции и ее характерные точки.

Построить графики функций:

Формула Тейлора

1. Используя основные разложения, представить функцию формулой Тейлора порядка в окрестности точки а.

7. Представить формулой Тейлора порядка в окрестности точки функцию , заданную неявно условиями:

17. ;

18. ;

19. ;

20. .

8. Вычислить пределы

21. ;	22. ;
23. ;	24. .

Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.

Контрольные вопросы к теме

Понятия точки и расстояния.
Внешняя точка, внутренняя точка и граничная точка. Понятия открытой области и замкнутого множества.
Ограниченность и сходимость последовательности точек.
Полный дифференциал функции. Формула Тейлора.
Метод наименьших квадратов.

Найти частные и полное приращения функции в точке