Вероятность осуществления хотя бы одного события

Пусть события независимы в совокупности и вероятности их осуществления известны: .

Пусть в результате испытания могут осуществиться все событий, либо часть из них (в частности, только одно или ни одного). Требуется найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий.

Теорема. Вероятность осуществления события , состоящего в наступлении хотя бы одного из событий , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий :

, где .

Пример 2. Рабочий обслуживает 3 автоматических станка. Вероятность того, что 1-й станок будет работать без неполадок в течение часа, равна 0, 9, для 2-го станка эта вероятность равна 0, 8, для 3-го – 0, 7. Найти вероятность того, что в течение часа все три станка будут работать без неполадок.

Решение:

Пусть А – в течение часа все три станка будут работать без неполадок,

А₁ – в течение часа 1 – й станок будет работать без неполадок,

А₂ – в течение часа 1 – й станок будет работать без неполадок,

А₃ – в течение часа 1 – й станок будет работать без неполадок.

Тогда А=А₁ А₂ А₃, и данные события независимы, следовательно, P( A ) = P( A₁ )P( A₂ )P( A₃ )=0, 9× 0, 8× 0, 7=0, 504.

Ответ: Вероятность того, что в течение часа все три станка будут работать бнз неполадок 0, 504.

Пример 3. Из урны с пятью белыми и тремя черными шарами последовательно вынимают два шара (без возвращения в урну). Найти вероятность того, что первым появится черный, а вторым белый шар.

Решение:

Пусть А – интересующее нас событие,

А₁ – появление первым черного шара,

А₂ – появление вторым белого шара.

Тогда А=А₁ А₂, а так как события А₁ и А₂ зависимы, то

Найдем нужные вероятности по классическому определению. Так как событие А₁ появляется первым, то для него следовательно,

После того, как событие А₁ произошло, в урне осталось 7 шаров, из них 5 белых. Таким образом, теперь следовательно, Окончательно получаем

Ответ: Вероятность того, что первым появится черный, а вторым белый шар рана 0, 27.

Пример 4. Центральная городская аптека закреплена за тремя больницами. Вероятность того, что в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты первой больнице, равна 0, 6, второй больнице – 0, 2, третьей – 0, 4. Какова вероятность того, что в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты: 1) одной больнице? 2) по крайней мере, двум больницам?

Решение:

Пусть событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты первой больнице; вероятность этого события, по условию равна , вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна ;

событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты второй больнице; вероятность этого события по условию равна , вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна ;

событие состоит в том, что аптеке придется отпустить медикаменты третьей больнице; вероятность этого события по условию равна , вероятность противоположного события – медикаменты отпускаться не будут – будет равна .

1) Событие – аптеке придется отпустить медикаменты одной аптеке – реализуется следующим образом: . Для нахождения вероятности этого события используем теоремы умножения и сложения вероятностей событий:

2) Событие – аптеке придется отпустить лекарство, по крайней мере, двум (т.е. двум или трем) больницам – включает в себя следующие события:

. Для нахождения вероятности этого события используем теоремы умножения и сложения вероятностей событий:

, или

Ответ: 1) вероятность того, что центральной городской аптеке в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты одной больнице, равна ; 2) вероятность того, что центральной городской аптеке в течение рабочего дня придется отпустить медикаменты, по крайней мере, двум больницам, равна .

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступить при условии осуществления одного и только одного события из полной группы несовместных событий . Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Пусть известны вероятности этих гипотез и условные вероятности события А. Требуется найти вероятность события .

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии осуществления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий , равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующую условную вероятность события : .

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Формула Бейеса

Пусть событие может наступить при условии осуществления одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий. Пусть вероятности известны до опыта.

Производится опыт, в результате которого осуществляется событие .

Требуется переоценить вероятности гипотез при условии, что событие уже произошло.

Переоценка вероятностей гипотез может быть осуществлена по формуле проверки гипотез (формуле Бейеса):

Таким образом, вероятность гипотезы после опыта равна дроби, числителем которой является произведение вероятности этой гипотезы до опыта на вероятность события по этой гипотезе, а знаменателем – сумма таких же произведений для всех возможных в данном случае гипотез (или полная вероятность события ).

Пример 5. В цехе установлено 5 датчиков предельно допустимой концентрации пыли в воздухе, каждый из которых может включать систему сигнализации. Вероятность срабатывания первого датчика равна 0, 8, второго – 0, 9, третьего – 0, 85, четвертого – 0, 7, пятого – 0, 75. 1) Найти вероятность того, что по достижении предельно допустимой концентрации пыли сигнализация сработает? 2) Сигнализация сработала. Какова вероятность того, что сигнализацию включил третий датчик?

Решение:

Пусть событие состоит в том, что сигнализация сработала. Это событие может произойти только в случае появления одного из несовместных событий – включение датчиком сигнализации. Вероятности событий по условию одинаковы и равны . События образуют полную группу, т.к. .

Известны условные вероятности события – вероятности срабатывания датчика: , , , , .

1) Вероятность события вычислим по формуле полной вероятности:

, или .

2) Событие произошло. Условную вероятность того, что при этом сработал третий датчик, (событие ) найдем по формуле Байеса: , или

Ответ: 1) вероятность того, что по достижении предельно допустимой концентрации пыли сигнализация сработает, равна ;

2) вероятность того, что сигнализацию при этом включил третий датчик, равна .

Повторные независимые испытания.

Формула Бернулли

Пусть производится независимых повторных испытаний, в каждом из которых событие имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания (вероятность события , противоположного событию , также постоянна и равна ).

Требуется найти вероятность того, что в испытаниях событие произойдёт ровно раз.

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли:

Эту формулу называют также формулой биномиального распределения, так как её правая часть представляет собой общий член разложения бинома Ньютона.

При большом числе испытаний вычисление по формуле Бернулли сопряжено с громоздкостью вычислений. Чтобы избежать этих затруднений, целесообразно использовать формулы, позволяющие приближённо определять вероятности , , , , с которыми происходит событие .

Локальная теорема Лапласа

Теорема. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность осуществления события постоянна и равна , событие наступит ровно раз, приближённо равна (тем точнее, чем больше ):

, где , .

Таблица для положительных значений функции приведена в приложении 1 данного пособия. Поскольку функция – чётная, т. е. , то для отрицательных значений аргумента пользуются этой же таблицей.

1 234 5