Дифференцирование функции одной переменной

Дифференцирование функции одной переменной

Понятие производной

Определение. Производной функции в точке называется предел при отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).

Производная в точке обозначается или .

Итак, по определению производной имеем:

Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Геометрический смысл производной: для данной функции ее производная для каждого значения равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.

Физический смысл производной: для данной функции , меняющейся со временем х, ее производная есть скорость изменения функции y в данный момент времени х.

Вычисление производной

Правила дифференцирования:

1) Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀, то их сумма дифференцируема в этой точке и

Примеры: 1) ;

2) .

(производная суммы рана сумме производных).

2) Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀, то их произведение дифференцируемо в этой точке и

Примеры:

1) ;

2) .

3) Если функции u и v дифференцируемы в точке х₀ и функция v не равна нулю в этой точке, то частное также дифференцируемо в этой точке и ;

Примеры:

1. ;

2. .

4) В большинстве практических случаев процесс дифференцирования сводится к отысканию производной сложной функции

Если в цепи функциональных зависимостей аргумент х является последним, то мы будем называть его независимой переменной (чтобы подчеркнуть то обстоятельство, что изменение этого аргумента не зависит от поведения других переменных величин). Правило дифференцирования сложной функции вытекает из следующей теоремы.

Теорема. Если и – дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции у по промежуточному аргументу и, умноженной на производную самого промежуточного аргумента и по независимой переменной x, т. е. .

Примеры:

Понятие дифференциала

Если функция дифференцируема в точке х, т. е. имеет в этой точке конечную производную то ее приращение можно записать в виде

где .

Главная, линейная относительно часть приращения функции называется дифференциалом функции и обозначается

или .

Производные высших порядков

Производная называется производной первой порядка. Производная от называется производной второго порядка (или второй производной) от функции и обозначается или . Производная от называется производной третьего порядка (или третьей производной) от функции и обозначается или и т. д.

Производные n-го порядка есть производная от производной (n - 1)- го порядка, т. е.

Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка.

Решение типовых задач.

Задание 1. Используя определение производной, найти производную функции в точке .

Решение. Придавая аргументу х в точке х₀приращение , найдем соответствующее приращение функции:

Составим соотношение

Найдем предел этого отношения при :

Следовательно, производная функции в точке равна числу , что в принятых обозначениях можно записать так:

Задание 2. Используя правила и формулы дифференцирования, найти производные функций:

Решение.

Задание 3. Найти дифференциал функции в точке x=2.

Решение:

Следовательно,

Задание 4. Найти производные второго порядка от следующих функций:

Решение:

Интегральное исчисление

Основные свойства неопределенного интеграла

1) Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т. е.

2) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т. е.

3) Постоянный множитель можно вынести из – под знака интеграла, т. е. если k=const¹ 0, то

4) Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций отдельно, т. е.

Основные методы интегрирования

Определенный интеграл

Определение определенного интеграла.

Пусть функция определена на отрезке [a, b], a< b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками a=x₀< x₁< x₂< …< x_i_-1< x_i< …< x_n=b. В каждом из полученных частичных отрезков [x_i_-1, x_i] выберем произвольную точку и составим сумму

(1)

где Сумма вида (1) называется интегральной суммой для функции f(x) на [a, b].

Обозначим через l длину наибольшего частичного отрезка разбиения: .

Определение. Если существует конечный предел I интегральной суммы (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом:

В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на [a, b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – переменной интегрирования.

Для интегрируемости функции достаточно ее непрерывности на отрезке [a, b].

Основные свойства определенного интеграла.

1) По определению,

2) По определению,

3) Каковы бы ни были числа a, b, c, всегда имеет место равенство

4) Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т. е.

5) Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т. е.

Формула Ньютона – Лейбница.

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и функция F(x) является некоторой ее первообразной на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона – Лейбница

Решение типовых задач

Задание1. Найти первообразные для функций .

Решение:

1) Функция Легко заметить, что имеет ту же самую производную и поэтому также является первообразной для на R. Ясно, что вместо числа 7 можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

2) Для функции на интервале (0; +¥ ) первообразной является функция , так как для всех x из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция при любой постоянной С есть первообразная для функции на том же интервале (0; +¥ ).

3) Функция не является первообразной для функции на промежутке , так как равенство не выполнено в точке 0. Однако в каждом из промежутков и функция F является первообразной для f.

Задание 2. Вычислить интегралы:

Решение:

Задание 3.

1) Вычислить работу, совершенную одним молем идеального газа при обратном изотермическом расширении от

Решение: При обратимом расширении одного моля идеального газа давление Совершаемая газом при изменении объема на величину dV элементарная работа dA=pdV. Полная работа расширения газа от начального объема V₁ до конечного объема V₂

2) Скорость поступательно движущегося тела (м/с). Определить путь, пройденный телом за первые 10с после начала движения.

Решение: Так как то откуда

В нашем случае t₁=0, t₂=10, v=8t-1.

Искомый путь

Основы теории вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, где изучаются закономерности случайных событий.

Теория вероятностей должна давать количественное измерение вероятностей случайных явлений и построение на этой основе математической модели наблюдаемых случайных эмпирических соотношений.

Испытание и событие

В природе и повседневной жизни часто приходится сталкиваться случайными явлениями, т. е. с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Процесс познания действительности в этом случае осуществляется в результате наблюдений или испытаний (экспериментов).

Под испытанием (наблюдением) понимается любой доступный частому повторению процесс, протекающий при реализации заданного комплекса условий.

Результат, или исход испытания называется событием.

Виды событий

Различают три вида событий: случайные, достоверные и невозможные.

Событие, которое при реализации заданного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

Событие, которое неизбежно происходит при каждой реализации заданного комплекса условий, называется достоверным.

Событие, которое заведомо не может произойти при реализации заданного комплекса условий, называется невозможным.

Виды случайных событий

Случайные события подразделяются на следующие виды: равновозможные, несовместные и совместные.

Два или несколько случайных событий называются равновозможными, если условия их появления одинаковы и нет основания утверждать, что какое-либо из них в результате испытания имеет больше шансов осуществиться, чем другие.

События называются несовместными, если в результате испытания осуществление одного из них исключает осуществление остальных.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Полная группа событий

Если в результате испытания обязательно осуществится одно и только одно из несовместных событий , то эти события называются полной группой событий.

Два несовместных события, образующие полную группу событий, называются противоположными.

Исходы испытания

Несовместные события, имеющие одинаковую возможность осуществиться, называются исходами испытания.

Исходы называются благоприятными для события , если осуществление любого из исходов является вместе с тем осуществлением события .

Операции над событиями

Определение. Если при каждом осуществлении заданного комплекса условий, при котором происходит событие , происходит и событие , то говорят, что влечёт за собой , и обозначают символом или .

Если влечет за собой и в то же время влечёт за собой , т.е. события и оба наступают или оба не наступают, то говорят, что события и равносильны, и обозначают символом .

Событие, состоящее в наступлении обоих событий и , называется произведением (или пересечением) событий и , и обозначается символом или .

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий и , (возможно, двух сразу), называется суммой (или объединением) событий и , и обозначается символом или

Событие, состоящее в том, что событие происходит, а событие не происходит, называется разностью событий и , и обозначается символом или .

Достоверное событие обозначают с помощью символа , а невозможное – с помощью символа .

Событие, противоположное событию , обозначают с помощью символа .

Определение суммы и произведения двух событий обобщается на любое число событий.

Понятие вероятности

Вычисление вероятностей

Формула полной вероятности

Пусть событие может наступить при условии осуществления одного и только одного события из полной группы несовместных событий . Поскольку заранее неизвестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами.

Пусть известны вероятности этих гипотез и условные вероятности события А. Требуется найти вероятность события .

Теорема. Вероятность события , которое может наступить лишь при условии осуществления одного из несовместных событий , образующих полную группу событий , равна сумме произведений вероятностей каждой из этих гипотез на соответствующую условную вероятность события : .

Эту формулу называют формулой полной вероятности.

Формула Бейеса

Пусть событие может наступить при условии осуществления одного из несовместных событий (гипотез) , образующих полную группу событий. Пусть вероятности известны до опыта.

Производится опыт, в результате которого осуществляется событие .

Требуется переоценить вероятности гипотез при условии, что событие уже произошло.

Переоценка вероятностей гипотез может быть осуществлена по формуле проверки гипотез (формуле Бейеса):

Таким образом, вероятность гипотезы после опыта равна дроби, числителем которой является произведение вероятности этой гипотезы до опыта на вероятность события по этой гипотезе, а знаменателем – сумма таких же произведений для всех возможных в данном случае гипотез (или полная вероятность события ).

Пример 5. В цехе установлено 5 датчиков предельно допустимой концентрации пыли в воздухе, каждый из которых может включать систему сигнализации. Вероятность срабатывания первого датчика равна 0, 8, второго – 0, 9, третьего – 0, 85, четвертого – 0, 7, пятого – 0, 75. 1) Найти вероятность того, что по достижении предельно допустимой концентрации пыли сигнализация сработает? 2) Сигнализация сработала. Какова вероятность того, что сигнализацию включил третий датчик?

Решение:

Пусть событие состоит в том, что сигнализация сработала. Это событие может произойти только в случае появления одного из несовместных событий – включение датчиком сигнализации. Вероятности событий по условию одинаковы и равны . События образуют полную группу, т.к. .

Известны условные вероятности события – вероятности срабатывания датчика: , , , , .

1) Вероятность события вычислим по формуле полной вероятности:

, или .

2) Событие произошло. Условную вероятность того, что при этом сработал третий датчик, (событие ) найдем по формуле Байеса: , или

Ответ: 1) вероятность того, что по достижении предельно допустимой концентрации пыли сигнализация сработает, равна ;

2) вероятность того, что сигнализацию при этом включил третий датчик, равна .

Повторные независимые испытания.

Формула Бернулли

Пусть производится независимых повторных испытаний, в каждом из которых событие имеет одну и ту же вероятность , не зависящую от номера испытания (вероятность события , противоположного событию , также постоянна и равна ).

Требуется найти вероятность того, что в испытаниях событие произойдёт ровно раз.

Данная задача решается с помощью формулы Бернулли:

Эту формулу называют также формулой биномиального распределения, так как её правая часть представляет собой общий член разложения бинома Ньютона.

При большом числе испытаний вычисление по формуле Бернулли сопряжено с громоздкостью вычислений. Чтобы избежать этих затруднений, целесообразно использовать формулы, позволяющие приближённо определять вероятности , , , , с которыми происходит событие .

Локальная теорема Лапласа

Теорема. Вероятность того, что в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность осуществления события постоянна и равна , событие наступит ровно раз, приближённо равна (тем точнее, чем больше ):

, где , .

Таблица для положительных значений функции приведена в приложении 1 данного пособия. Поскольку функция – чётная, т. е. , то для отрицательных значений аргумента пользуются этой же таблицей.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: , .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: , .

3. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .

4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: .

5. Если , то .

Замечание 2. Для вычисления дисперсии биноминального распределения можно воспользоваться следующей формулой: , где – число испытаний; – вероятность осуществления события в одном испытании; – вероятность осуществления события (противоположного событию ) в одном испытании.

Среднее квадратическое отклонение

Средним квадратическим отклонением случайной величины называется квадратный корень из дисперсии: .

Замечание 3. На основании данного определения для обозначения дисперсии часто используется символ .

Пример 1.Задан закон распределения дискретной случайной величины :

X
P	0, 1	0, 2	0, 1	0, 2	0, 4

Найти:

1) математическое ожидание , дисперсию и среднее квадратическое отклонение ;

2) составить функцию распределения случайной величины и построить ее график;

3) вычислить вероятности попадания случайной величины в интервал , пользуясь составленной функцией распределения ;

4) составить закон распределения случайной величины ;

5) вычислить математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины двумя способами: пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии, а также непосредственно по закону распределения случайной величины .

Решение:

1) Для вычисления числовых характеристик случайной величины составим таблицу:


0, 1	0, 2	0, 1	0, 2	0, 4
					= 62

Таким образом:

– математическое ожидание по определению равно , или = 62;

– дисперсию определим по формуле , или ;

– среднее квадратическое отклонение по определению равно , или ;

2) Для составления функции распределения воспользуемся ее определением и свойствами: если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то , если , , если :

3) Вероятности попадания случайной величины в интервал вычислим по формуле . В данном случае , следовательно ;

4) Составим закон распределения случайной величины . Для этого найдем все возможные значения случайной величины :

Вероятности , с которыми принимает свои возможные значения, равны вероятностям , т.е. и т.д.

Таким образом, закон распределения случайной величины имеет вид:

				-40	-80
	0, 1	0, 2	0, 1	0, 2	0, 4

5) Вычислим математическое ожидание и дисперсию составленной случайной величины :

– пользуясь свойствами математического ожидания и дисперсии:

для .

;

– непосредственно по закону распределения случайной величины . Составим таблицу для вычислений и :

			-40	-80
0, 1	0, 2	0, 1	0, 2	0, 4
			-8	-32

Таким образом:

– математическое ожидание равно ;

– дисперсию определим по формуле , или .

Математическое ожидание

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку , называется определённый интеграл: , где – плотность вероятности случайной величины .

Если возможные значения принадлежат всей числовой оси , то

Все свойства математического ожидания дискретной случайной величины имеют силу и для непрерывной случайной величины.

Дисперсия

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины от ее математического ожидания:

12 3 4 5