Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла

1. Формулы площадей плоских фигур.

a) Пусть на плоскости Оxy дана фигура, ограниченная отрезком [a, b] оси Ox, прямыми x=a, x=b и графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на [a, b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией, площадь S которой может быть вычислена по формуле

(1)

Пример:

1) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Рис. 1.

Можно считать, что эта фигура ограничена осью Ох, прямыми х=-1, х=1 и графиком функции (рис.1), поэтому по формуле (1), ее площадь

2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Рис. 2.

Данную фигуру можно рассматривать как криволинейную трапецию, ограниченную осью абсцисс, прямыми х=0 и х=3 графиком функции, которая на отрезке [0, 1] равна х, а на отрезке [1, 3] равна Разобьем данную криволинейную трапецию прямой х=1 на две части (рис. 2). Площади этих частей находятся по формуле (1):

Площадь искомой криволинейной трапеции находим согласно свойству аддитивности площади,

b) Пусть на отрезке [a, b] заданы две непрерывные функции причем при всех значениях х из этого отрезка . Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных сверху соответственно графиками функций прямыми х=а и х=b и осью абсцисс. Следовательно, площадь S данной фигуры можно найти так:

(2)

Пример:

1) Найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций (рис. 3).

Решение:

Рис. 3.

Пределами интегрирования являются абсциссы точек пересечения графиков данных функций. Найдем их. Для этого решим систему уравнений

В результате получаем Искомую площадь находим с помощью формулы (2):

2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Рис. 4.

Данная фигура заключена между графиками функций , прямыми х=0, х=1 (рис. 4). Поэтому ее площадь находим с помощью формулы (2):

Формулы объемов тел вращения.

Рассмотрим некоторое тело и вычислим его объем. Допустим, что известны площади сечений этого тела плоскостями, перпендикулярными оси Ох. С изменением х площадь сечения также будет изменяться, т. е. являться некоторой функцией х. Обозначим эту функцию через S(x) и будем считать ее непрерывной функцией на отрезке [a, b]. Тогда объем тела

В частном случае, когда тело образовано вращением вокруг оси Ox и криволинейной трапеции, заданной непрерывной функцией , объем тела вращения вычисляется по формуле

(3)

Если криволинейная трапеция вращает вокруг оси Oy, то объем тела вращения

(4)

Пример: Вычислить объем шара радиуса R.

Решение:

Шар радиуса R получается вращением полуокружности вокруг оси Ox, поэтому его объем V можно найти по формуле (3). Используя симметрию данного шара относительно оси Oy, находим

Решение типовых задач

Задание1. Найти первообразные для функций .

Решение:

1) Функция Легко заметить, что имеет ту же самую производную и поэтому также является первообразной для на R. Ясно, что вместо числа 7 можно поставить любую постоянную. Таким образом, мы видим, что задача нахождения первообразной имеет бесконечно много решений.

2) Для функции на интервале (0; +¥ ) первообразной является функция , так как для всех x из этого интервала. Так же как и в примере 1, функция при любой постоянной С есть первообразная для функции на том же интервале (0; +¥ ).

3) Функция не является первообразной для функции на промежутке , так как равенство не выполнено в точке 0. Однако в каждом из промежутков и функция F является первообразной для f.

Задание 2. Вычислить интегралы:

Решение:

Задание 3.

1) Вычислить работу, совершенную одним молем идеального газа при обратном изотермическом расширении от

Решение: При обратимом расширении одного моля идеального газа давление Совершаемая газом при изменении объема на величину dV элементарная работа dA=pdV. Полная работа расширения газа от начального объема V₁ до конечного объема V₂

2) Скорость поступательно движущегося тела (м/с). Определить путь, пройденный телом за первые 10с после начала движения.

Решение: Так как то откуда

В нашем случае t₁=0, t₂=10, v=8t-1.

Искомый путь

Основы теории вероятностей

Теория вероятностей – раздел математики, где изучаются закономерности случайных событий.

Теория вероятностей должна давать количественное измерение вероятностей случайных явлений и построение на этой основе математической модели наблюдаемых случайных эмпирических соотношений.

Испытание и событие

В природе и повседневной жизни часто приходится сталкиваться случайными явлениями, т. е. с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Процесс познания действительности в этом случае осуществляется в результате наблюдений или испытаний (экспериментов).

Под испытанием (наблюдением) понимается любой доступный частому повторению процесс, протекающий при реализации заданного комплекса условий.

Результат, или исход испытания называется событием.

Виды событий

Различают три вида событий: случайные, достоверные и невозможные.

Событие, которое при реализации заданного комплекса условий может произойти, а может и не произойти, называется случайным.

Событие, которое неизбежно происходит при каждой реализации заданного комплекса условий, называется достоверным.

Событие, которое заведомо не может произойти при реализации заданного комплекса условий, называется невозможным.

Виды случайных событий

Случайные события подразделяются на следующие виды: равновозможные, несовместные и совместные.

Два или несколько случайных событий называются равновозможными, если условия их появления одинаковы и нет основания утверждать, что какое-либо из них в результате испытания имеет больше шансов осуществиться, чем другие.

События называются несовместными, если в результате испытания осуществление одного из них исключает осуществление остальных.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Полная группа событий

Если в результате испытания обязательно осуществится одно и только одно из несовместных событий , то эти события называются полной группой событий.

Два несовместных события, образующие полную группу событий, называются противоположными.

Исходы испытания

Несовместные события, имеющие одинаковую возможность осуществиться, называются исходами испытания.

Исходы называются благоприятными для события , если осуществление любого из исходов является вместе с тем осуществлением события .

Операции над событиями

Определение. Если при каждом осуществлении заданного комплекса условий, при котором происходит событие , происходит и событие , то говорят, что влечёт за собой , и обозначают символом или .

Если влечет за собой и в то же время влечёт за собой , т.е. события и оба наступают или оба не наступают, то говорят, что события и равносильны, и обозначают символом .

Событие, состоящее в наступлении обоих событий и , называется произведением (или пересечением) событий и , и обозначается символом или .

Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий и , (возможно, двух сразу), называется суммой (или объединением) событий и , и обозначается символом или

Событие, состоящее в том, что событие происходит, а событие не происходит, называется разностью событий и , и обозначается символом или .

Достоверное событие обозначают с помощью символа , а невозможное – с помощью символа .

Событие, противоположное событию , обозначают с помощью символа .

Определение суммы и произведения двух событий обобщается на любое число событий.

Понятие вероятности

123 4 5