Равномерная сходимость функционального ряда

Следствие

Если , то ряд расходится.

Типовые примеры

1) Исследовать на сходимость гармонический ряд .

► Имеем .

Предположим, что гармонический ряд сходится. Тогда , но при любом . Получили противоречие. Следовательно, наше предположение о сходимости гармонического ряда неверное. Он расходится. ◄

2) Исследовать сходимость ряда .

► Поскольку , то ряд расходится, т.к. не выполнено необходимое условие. ◄

Отметим без доказательства следующие свойства сходящихся рядов.

1. Если , то , т.е. сходящиеся ряды можно умножать на число.

2. Если , , то . т.е. сходящиеся ряды можно почленно складывать и вычитать.

Сходящиеся ряды обладают сочетательным (ассоциативным) свойством. Если объединить члены сходящегося ряда в произвольные группы, заключая члены ряда в скобки, не меняя их местоположения, то сумма ряда не изменится. Заметим, что опускать скобки нельзя. Например, ряд (1–1)+(1–1)+... сходится, а ряд 1–1+1–1+... расходится.

§2. Ряды с неотрицательными членами

1. Рассмотрим ряд с действительными членами или . Такие ряды называются знакопостоянными. Если , то . Поэтому достаточно рассмотреть ряды с неотрицательными членами .

ТЕОРЕМА 1. Необходимым и достаточным условием сходимости ряда с неотрицательными членами является ограниченность последовательности его частичных сумм.

Типовой пример

При доказательстве расходимости гармонического ряда мы, по существу, доказали, что последовательность его частичных сумм неограничена. В качестве другого примера прямого применения этого признака рассмотрим ряд Дирихле (или обобщённый гармонический ряд)

► Если s < 1, то и так как частичные суммы неограничены, то суммы и подавно неограничены, т.е. при s < 1 данный ряд расходится. Пусть теперь s > 1. Как и для гармонического ряда сгруппируем члены в частичной сумме по степеням числа 2: …+ .

Структура каждой скобки: , поэтому (мы воспользовались формулой для частичной суммы геометрической прогрессии). Последовательность ограничена; ряд сходится. Итак, ряд Дирихле сходится при s > 1, расходится при s 1. Дальше мы дадим более простое доказательство этого факта, основанное на интегральном признаке Коши. ◄

ТЕОРЕМА 2 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами. Обозначим их и . Если существует номер N такой, что , то из сходимости ряда B следует сходимость ряда A, а из расходимости ряда A – расходимость ряда B.

ТЕОРЕМА 3 (предельный признак сравнения). Если и и , то оба ряда A и B сходятся или расходятся одновременно.

Типовые примеры

1) Исследовать на сходимость ряд .

► Так как , а ряд расходится, то согласно теореме 2 данный ряд расходится. ◄

2 ) .

► Теперь этот пример решается просто. Будем считать исходный ряд рядом ( А ), возьмём ; , ( В ) расходится ( А ) расходится. ◄

Мы можем значительно расширить круг задач, которые способны решить, за счёт таблицы эквивалентных бесконечно малых:

3) .

► Так как ^~ при , ^~~ , поэтому , , ( В ) сходится ( А ) сходится. ◄

4) .

► Аргумент логарифма , так как ^~ при , ^~ ^~ , поэтому , , ( В ) сходится ( А ) сходится и т.д. ◄

5) .

► Так как данный n-й член ряда имеет вид ln(1+ ), где - бесконечно малая величина при n , и известно, что ln(1 ~ , то этот ряд сравниваем с рядом , представляющим собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=1/7< 1, которая сходится, следовательно, и исходный ряд сходится. ◄

6) .

► Так как n-й член данного ряда: ~ , т.е. при n ведет себя как гармонический, то ряд также расходится. ◄

7) .

► Сравним данный ряд с известным сходящимся гармоническим рядом : , следовательно, оба ряда ведут себя одинаково, т.е. сходятся. ◄

Сравнение положительного ряда с рядом Дирихле позволяет сформулировать такое правило: если при функция - бесконечно малая порядка малости выше первого по сравнению с , то ряд сходится; если не является бесконечно малой или имеет порядок малости единица или ниже, то ряд расходится.

Типовые примеры

1) .

► При эквивалентна функции , поэтому ряд сходится. ◄

2) .

► При эквивалентна функции , поэтому ряд расходится. ◄

3) .

► При эквивалентна функции , поэтому ряд расходится. ◄

ТЕОРЕМА 4 (радикальный признак Коши). Пусть для ряда существует предел

. (1)

Тогда при ряд сходится, а при – расходится.

Типовые примеры

Определить сходимость ряда.

1) .

► . Ряд сходится. ◄

2) ► , поэтому ряд расходится. ◄

ТЕОРЕМА 5 (признак Даламбера). Пусть для ряда существует предел

. (2)

Тогда при ряд сходится, а при - расходится.

Примеры

Определить сходимость ряда.

1) .

► ◄

2) .

► , поэтому ряд сходится. ◄

3) .

► , поэтому ряд сходится. ◄

4) .

► , поэтому ряд расходится. ◄

5) .

► Прежде чем вычислять q, разберёмся, на сколько сомножителей в выражении больше, чем в (3 n )!: ; , поэтому ; , поэтому ряд сходится. ◄

6) .

► Найдем , следовательно, ряд сходится. ◄

ТЕОРЕМА 6 (интегральный признак Коши). Пусть ряд имеет вид

, (3)

где функция неотрицательная и монотонно убывающая на полуинтервале . Тогда, если несобственный интеграл

(4)

сходится, то ряд (3) сходится; если интеграл (4) расходится, то и ряд (3) расходится.

Следствие

Пусть интеграл (4) сходится, тогда суммируя неравенства (6) от и переходя к пределу, получим

. (5)

Из (5) следует, что заменяя сумму ряда его частичной суммой , мы делаем ошибку, не превосходящую величины .

Типовые примеры

1) .

► Ряд сходится при a> 1 и расходится a£ 1 т.к. соответствующий несобственный интеграл сходится при a> 1 и расходится a£ 1. Ряд – ряд Дирихле. ◄

► , тогда и . Исследуем несобственный интеграл на сходимость

т.е. этот несобственный интеграл сходится, следовательно, и исходный ряд также сходится. ◄

Все рассмотренные признаки, по существу, базируются на признаке сравнения: если ряд сходится, то все ряды, члены которых не больше членов этого эталонного ряда, сходятся, и наоборот, если эталонный ряд расходится, то расходятся все ряды, члены которого не меньше членов этого ряда.

§3. Знакопеременные ряды.

1. Абсолютная и условная сходимости ряда. Пусть ряд имеет вещественные члены, но знаки их могут быть разные. Такой ряд называют знакопеременным. Если знаки строго чередуются, то ряд называют знакочередующимся. Его можно записать так

. (1)

ТЕОРЕМА 1 (Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда (1) монотонно убывают по абсолютной величине и при , то ряд (1) сходится и его сумма не превосходит первого члена.

Замечание

Если ряд (1) удовлетворяет теореме Лейбница, то ей удовлетворяет и -й его остаток ряда . Тогда сумма остатка не превосходит величины первого члена, т.е. . Это значит, что заменяя сумму такого ряда на частичную сумму , мы делаем ошибку, не превышающую величины первого отброшенного члена. Уточняя оценку, найдем, что .

2. Ряд ( могут быть комплексными числами) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд .

ТЕОРЕМА 2. Если ряд абсолютно сходится, то он и просто сходится.

Замечание

Все ранее рассмотренные достаточные признаки сходимости рядов с неотрицательными членами можно использовать для определения абсолютной сходимости ряда.

Типовой пример

Исследовать на сходимость знакопеременный ряд .

► Поскольку , а ряд сходится, то по признаку сравнения данный ряд сходится абсолютно. ◄

Сходящийся знакочередующийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.

Типовой пример

Исследовать на сходимость ряд .

► По признаку Лейбница ряд сходится, но ряд расходится. Следовательно, данный ряд сходится условно. ◄

Свойства сходящихся рядов

Мы сформулировали уже некоторые из этих свойств.

1. Необходимый признак сходимости ряда. Общий член сходящегося ряда стремится к нулю: .

2. Если сходится ряд, то сходится любой его остаток, Обратно, если сходится какой-нибудь остаток ряда, то сходится и сам ряд.

3. Если ряд сходится, то сумма его остатка после n-го члена стремится к нулю при .

4. Если все члены сходящегося ряда умножить на одно и то же число с, то сходимость ряда сохранится, а сумма умножится на с.

5. Два сходящихся ряда можно почленно складывать и вычитать, полученный ряд также сходится, и его сумма равна, соответственно, сумме или разности исходных рядов.

6. Сочетательное свойство сходящегося ряда. Если члены сходящегося ряда сгруппировать произвольным образом: (здесь - строго возрастающая последовательность натуральных чисел), и составить новый ряд из сумм членов в каждой паре круглых скобок, то этот новый ряд тоже будет сходиться, и его сумма будет равна сумме исходного ряда.

Все сформулированные свойства полностью аналогичны свойствам конечных сумм, хотя и здесь есть свои тонкости. Так, для конечных сумм можно не только расставлять, но и раскрывать скобки; при этом сумма не меняется. Для рядов это неверно. Пример: если в сходящемся ряде 0+0+0+…+0+… = (1-1) + (1-1)+(1-1)+….+(1-1)+… раскрыть скобки, то получится расходящийся ряд 1-1+1-1+1-1+…. Конечно, если после раскрытия скобок получится сходящийся ряд, его сумма будет такой же, как и у ряда со скобками; это следует из доказанного сочетательного свойства.

7. Переместительное свойство ряда. Ещё больше отличаются поведение конечных сумм и рядов по отношению к переместительному свойству, т.е. к перестановке слагаемых. Если для конечных сумм результат не зависит от порядка слагаемых, то для рядов это не всегда верно.

На перестановку членов резко по разному реагируют абсолютно и условно сходящиеся ряды.

Если ряд сходится абсолютно, то при любой перестановке его членов сходимость сохраняется и сумма не изменяется.

Для условно сходящихся рядов оказывается верным поразительный результат ( ТЕОРЕМА Римана ): для любого числа , можно найти такой порядок членов условно сходящегося ряда, что этот ряд будет сходиться к числу S (т.е. сумма ряда будет равна S). Таким образом, перестановкой членов можно даже сделать сходящийся ряд расходящимся (если ).

8. Умножение рядов. Если ряды сходятся абсолютно к своим суммам и , то ряд, составленный из всевозможных произведений , также сходится абсолютно и его сумма равна . Для условно сходящихся рядов это утверждение несправедливо.

Функциональные ряды

1. Пусть дана бесконечная последовательность функций . независимой переменной х, имеющих общую область определения D. Ряд

называется функциональным рядом.

Примеры

1) ;

2) ;

3) .

Для каждого значения функциональный ряд превращается в числовой ряд, сходящийся или расходящийся.

Значение , при котором функциональный ряд сходится, называется точкой сходимости функционального ряда. Множество всех точек сходимости функционального ряда называется областью сходимости этого ряда. Область сходимости обозначим .

Так, для первого из приведённых примеров область сходимости – интервал (-1, 1); для второго - ряда Дирихле - область сходимости - полуось х > 0; третий ряд абсолютно сходится в любой точке х, так как при любом х справедливо ; следовательно, область сходимости третьего ряда ).

Типовой пример

Найти область сходимости ряда

► Интервал сходимости можно найти, применяя признак Даламбера или Коши к ряду, составленному из абсолютных величин членов исходного ряда. Здесь Вычислим предел

По признаку Даламбера для сходимости ряда предел должен быть меньше 1. Имеем . Исследуем сходимость ряда на концах промежутка. Если x = 4, то получим ряд . Он сходится и притом абсолютно, т.к. этот ряд ведет себя как ряд . Если x = 2, то получим ряд . Он сходится и притом абсолютно, т.к. сходится ряд из абсолютных величин его членов. Окончательно получим, что область сходимости исследуемого ряда отрезок [2; 4]. ◄

Для каждого мы получаем сходящийся числовой ряд, свой для каждого х, поэтому сумма функционального ряда есть функция , определённая на области . Так, для первого примера, как мы знаем, , т.е. на интервале (-1, 1); вне этого интервала равенство не имеет места; так, в точке х =2 ряд расходится, а . Сумма второго ряда - знаменитая функция Римана , определённая на полуоси ; эта функция играет важную роль в теории чисел. Сумма третьего ряда, равна функции периода , получающаяся в результате периодического повторения функции , определённой на отрезке , по всей числовой оси.

Сумма функционального ряда - функция, встаёт вопрос о свойствах этой функции. Так, члены ряда могут иметь свойства непрерывности, дифференцируемости, интегрируемости и т.д. Будет ли обладать этими свойствами сумма ряда? Сумма ряда сохраняет хорошие свойства своих членов в том случае, если ряд сходится равномерно.

Признак Вейерштрасса

Если существует такой положительный сходящийся числовой ряд , что члены функционального ряда в любой точке удовлетворяют неравенству , то функциональный ряд сходится равномерно в области G.

Числовой ряд, удовлетворяющий неравенству , называется мажорирующим рядом, или мажорантой функционального ряда; про функциональный ряд говорят, что он мажорируется числовым рядом.

Рассмотрим примеры, приведённые в начале раздела. Геометрическая прогрессия равномерно сходится на любом отрезке , целиком лежащем в области сходимости

(-1, 1). Действительно, построим мажоранту для геометрической прогрессии на . Из чисел а, b выберем большее по модулю. Пусть, например, . Тогда для любого выполняется . Таким образом, сходящийся (так как ) числовой ряд мажорирует на функциональный ряд , откуда, по признаку Вейерштрасса, следует равномерная сходимость этого функционального ряда.

Ряд равномерно сходится на любой полуоси , так как на этом множестве он мажорируется рядом .

Ряд равномерно сходится на всей числовой оси (мажоранта для этого ряда уже получена - это ряд ).

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где – постоянные (коэффициенты ряда), - фиксированное число (центр сходимости). Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку .

Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

ТЕОРЕМА Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

1) он абсолютно сходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся ближе к точке , чем );

2) он сходится равномерно на любом отрезке , целиком лежащем на интервале (т.е. на интервале с центром в радиуса );

3) если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).

Определение

Число R такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится, называется радиусом сходимости. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно. В зависимости от поведения ряда на концах интервала сходимости область сходимости степенного ряда может быть одной из следующих: , , , .

Итак, для определения области сходимости степенного ряда надо найти его интервал сходимости R, затем исследовать поведения ряда в концевых точках интервала сходимости .

Типовые примеры

1) .

► Для определения радиуса сходимости этого ряда целесообразно применить признак сходимости Дирихле. Однако этот признак, как и многие другие, может применяться только к положительному ряду, поэтому выпишем ряд, состоящий из абсолютных величин членов исследуемого ряда: . Применяем признак Дирихле: . Следовательно, . Мы нашли радиус сходимости R =3 и интервал сходимости . Исследуем поведение ряда на концах интервала: , ряд сходится. , ряд сходится абсолютно. Область сходимости - интервал [-7, 7]. ◄

2) .

► Ряд из модулей: , признак Коши . - расходится, - расходится, область сходимости - интервал .◄

3) .

► Ряд из модулей: , признак Даламбера . - сходится условно, - расходится, область сходимости - полуинтервал .◄

4) .

► Решение такое же, как в предыдущем примере, однако ряд будет знакочередующимся в точке х =5; ответ: область сходимости - полуинтервал .◄

5) .

► Ряд из модулей: , признак Даламбера область сходимости - единственная точка х =0, .◄

6) .

► Ряд из модулей: , признак Даламбера в любой точке х, область сходимости - вся числовая ось .◄

Получим формулы, выражающие радиус сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Ряд из модулей: ; применение к этому ряду признака Коши даёт .

Применение признака Даламбера даёт Итак, .

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости.

Ряд Тейлора

Мы доказали, что сумма степенного ряда в любой точке интервала сходимости бесконечно дифференцируема. Выразим коэффициенты ряда через производные суммы

. Положим здесь . Все члены ряда, кроме нулевого, исчезают, и .

. Положим , тогда .

. .

Продолжая этот процесс, получим . Заменив коэффициенты полученными выражениями, представим ряд как

Ряд, стоящий в правой части этой формулы, называется рядом Тейлора функции . В частном случае, когда и ряд принимает вид

, его принято называть рядом Маклорена. Напомним, что эти ряды получены в предположении, что - сумма степенного ряда и х - точка интервала сходимости.

Теперь рассмотрим обратную задачу: какой должна быть функция , чтобы её можно было представить в виде суммы степенного ряда? Первое, что очевидно, это то, что должна быть бесконечно дифференцируемой функцией (так как сумма ряда бесконечно дифференцируема). Второе - то, что коэффициенты ряда должны быть равны . Поэтому предположим, что дана бесконечно дифференцируемая функция , мы нашли коэффициенты ряда по формуле , составили формальный ряд и нашли область его сходимости. Будет ли сумма этого ряда на области сходимости равна ?

ТЕОРЕМА. Для того, чтобы бесконечно дифференцируемая функция в окрестности точки разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы , т.е. остаток ряда стремится к нулю при .

Интегрирование функций

Типовой примеры

1. .

► Как мы знаем, интеграл аналитически не берётся. Это специальная функция, называемая интегральным синусом и обозначаемая . Получим разложение этой функции в степенной ряд. , , почленно интегрируем:

Ряд сходится к при . Теперь легко вычислить значение этой функции в любой точке. Пусть, например, надо найти с погрешностью . . Ряд знакочередующийся, первый член, меньший , третий, поэтому .◄

2. Найти .

► Этот интеграл берётся аналитически. Надо разложить знаменатель на множители

, разложить подынтегральную функцию на пять простых дробей, найти восемь неопределённых коэффициентов и т.д., и после этого вычислять значение первообразной в начальной и конечной точках. Поступим по другому. Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена и почленно проинтегрируем: , . Остаток ряда после n -го члена . Если , достаточно взять n =2, и . ◄

ВОПРОСЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ

12 3	Поделиться: