Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Пусть дана задача Коши: ,

Решение этой задачи в виде ряда Тейлора ищется так. . Первые n коэффициентов ряда известны из начальных условий, остальные находятся последовательным дифференцированием уравнения.

Типовые примеры

1) .

► Из уравнения находим . Дифференцируем уравнение: . Далее дифференцируем уравнение и находим значение производной в точке : , . Так мы можем вычислить производные любого порядка. Решение задачи Коши: .◄

2) Найти разложение в степенной ряд по степеням решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения): при , .

► Решение будем искать в виде ряда Маклорена:

, .

, . Тогда

или ◄

3)Найти решение уравнения при , .

► Решение будем искать в виде ряда, разложенного по степеням :

Коэффициенты и находим из начальных условий: , . Дважды дифференцируем ряд: Подставляя в дифференциальное уравнение вместо и их разложения, получаем тождество

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , находим:

, , …, . Поэтому , , , , , , и вообще , . Значит,

◄

4) .

► Находим: Закономерность понятна. Производные порядка 3n-1 и 3n равны нулю, производная порядка 3n+1 равна , поэтому С помощью признака Даламбера легко убедится, что этот ряд сходится при , следовательно, даёт решение задачи Коши на всей числовой оси. ◄

11. Ряды Фурье

Система непрерывных на отрезке [a; b] функций называется ортонормированной, если

Примером ортонормированных систем являются:

1) , , , , , ..., , , ...

на отрезке [–p; p ];

2) , , , , , ..., , , ...на отрезке [a; b ]; здесь T = b – a, ;

3) система полиномов Лежандра

, , n = 1, 2, 3, ... на отрезке [–1; 1 ].

Имеется множество других примеров ортонормированных систем функций. Ортонормированные системы функций играют роль ортонормированного базиса в некотором пространстве Гильберта функций, определённых на промежутке [a, b]. Любой функции f(x) из этого пространства ставится в соответствие ряд

~ , (1)

где C_k находится по формуле

, k = 0, 1, 2, .... (2)

При этом коэффициенты C_k, вычисляемые по формулам (2), называются коэффициентами Фурье функции f(x), а ряд (1) – рядом Фурье функции f(x).

Важную роль играют полные ортонормированные системы функций. Говорят, что функция f(x), определённая на промежутке [a; b], является функцией с интегрируемым квадратом, если f(x) и интегрируемы на [a; b] (интеграл может быть и несобственным).

Теорема.Пусть – ортонормированная система функций на промежутке [a; b]. Следующие утверждения равносильны:

1) для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом справедливо равенство

где C_k – коэффициенты Фурье по системе ;

2) для любой функции f(x) с интегрируемым квадратом

(при выполнении этого равенства говорят, что ряд Фурье функции f(x) сходится к f(x) в среднем);

3) если f(x) – функция с интегрируемым квадратом и для любого k , то .

Ортонормированная система функций, обладающая любым из условий 1), 2), 3) (а следовательно, и двумя другими), называется полной.

Приведённые выше примеры ортонормированных систем функций обладают свойством полноты.

Если – полная ортонормированная система функций, то для любой функции с интегрируемым квадратом на [a, b], знак «~» в формуле (1) можно в некотором смысле заменить на «=» (фразу «в некотором смысле» проясняет пункт 2) в формулировке теоремы).

Будем говорить, что функции f(x) и g(x) с интегрируемым квадратом на [a, b] равны в смысле среднеквадратичного отклонения, если

и будем при этом писать f(x) =_c_._o_. g(x).

Теорема.Пусть – ортонормированная система функций на [a; b] и пусть f(x) и g(x) – функции с интегрируемым квадратом на [a; b]. Тогда f(x) = _c_._o_.g(x) на [a; b] в том и только в том случае, если коэффициенты Фурье функций f(x) и g(x) совпадают.

Чаще других применяют тригонометрическую ортонормированную систему

, , , , , ..., , , ...

на [a; b], T = b – a, . Ряд Фурье по системе этих функций обычно называют тригонометрическим рядом Фурье:

, n = 0, 1, 2, ...,

, n = 1, 2, 3, ....

Функция f(x) называется кусочно-монотонной на отрезке [a; b], если этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов , в каждом из которых f(x) монотонна. Аналогично определяется понятие кусочно-непрерывной функции при этом слово «монотонность» заменяется на «непрерывность».

Теорема (Дирихле).Если функция f(x), определённая на отрезке
[a; b] является на нём кусочно-непрерывной, кусочно-монотонной и ограниченной, то её тригонометрический ряд сходится во всех точках отрезка [a; b] к некоторой функции S(x). Кроме того:

1) если x – точка непрерывности функции f(x), то S(x) = f(x);

2) если x – точка разрыва (устранимая или первого рода) функции f(x), то

;

3) .

Типовой пример

Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

► Заданная функция кусочно-непрерывна, кусочно-монотонна и ограничена на [–2, 2], следовательно, её можно разложить в тригонометрический ряд Фурье. Найдём коэффициенты Фурье. Имеем T = 4,

, n = 1, 2, 3, ...,

Таким образом,

Причём

◄

Типовой пример

Разложить в тригонометрический ряд Фурье функцию

, –1 < x < 2.

► Данная функция удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Ввиду непрерывности f(x) на (–1; 2)

Имеем T = 3, . Найдём коэффициенты a_n и b_n.

n = 1, 2, 3, ...,

Таким образом,

, –1 < x < 2,

где a_n, b_n, n ³ 1 найдены выше.◄

Если функция f(x), определённая на интервале и удовлетворяющая условиям теоремы Дирихле, является чётной, то в её разложении в ряд Фурье будут участвовать лишь косинусы:

т.е. все окажутся равными нулю. Если же f(x) является нечётной функцией на , то её ряд Фурье будет содержать лишь синусы:

Если ставится задача разложить функцию f(x), определённую на интервале в ряд по косинусам, то её доопределяют на интервале чётным образом и разлагают новую функцию f₁(x) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ; этот ряд Фурье будет содержать лишь косинусы. Ввиду того, что f(x) и f₁(x) совпадают на , при этом получается разложение функции f(x) в ряд по косинусам

где

Аналогично, если требуется разложить функцию f(x), определённую на в ряд по синусам, то f(x) продолжают на нечётным образом и разлагают новую (нечётную) функцию f₂(x) в тригонометрический ряд Фурье на интервале ; этот ряд будет содержать лишь синусы. В результате получим разложение f(x) в ряд по синусам:

где

Типовой пример

Разложить функцию , определённую на интервале , в ряд Фурье: а) по косинусам; б) по синусам.

► а) Имеем

, .

Запишем разложение f(x) в ряд по косинусам:

, 0 < x < p.

б) Имеем

Отсюда получаем разложение f(x) в ряд Фурье по синусам:

, 0 < x < p.◄

Ещё одним важным примером ортонормированной системы функций является

на отрезке [a; b]; здесь, как и прежде T = b – a, . Любую функцию, удовлетворяющую условиям теореме Дирихле, можно разложить в ряд Фурье по этой системе (при этом справедлива теорема Дирихле):

. (14)

Коэффициенты Фурье находятся по формуле

Ряд (14) называется рядом Фурье в комплексной форме. При этом между C_n и коэффициентами Фурье a_n, b_n функции f(x) ортонормированной системы существует следующая связь:

, , .

Типовой пример

Разложить функцию f(x) = x на интервале (0; p) в ряд Фурье в комплексной форме.

► В нашем случае T = p, w = 2. Имеем

Таким образом,

.◄

ВОПРОСЫ ПРОМЕЖУТОЧНОГО КОНТРОЛЯ

1. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Исследуйте сходимость ряда, составленного из членов геометрической прогрессии.

2. Докажите необходимый признак сходимости ряда. Докажите, что отбрасывание конечного числа членов ряда не изменяет его сходимости (расходимости).Покажите, что сумма ряда равна сумме первых его п членов, сложенной с суммой ряда, полученного из данного отбрасыванием этих п членов.

3. Докажите теорему о сравнении рядов с положительными членами. Приведите пример на применение этого признака.

4. Докажите признак Даламбера сходимости знакопостоянных рядов. Приведите пример на применение этого признака.

5. Докажите признак Коши сходимости рядов с положительными членами. Приведите пример на применение этого признака.

6. Докажите интегральный признак сходимости ряда Коши. Приведите примеры на применение этого признака.

7. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Докажите, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся рядов. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.

8. Докажите признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите пример на применение этого признака. Покажите, что при замене суммы ряда типа Лейбница суммой первых его п членов допускаемая абсолютная погрешность не превосходит модуля первого отброшенного члена.

9. Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры рядов с различными областями сходимости.

10.Докажите теорему Абеля о сходимости степенных рядов.

11.Выведите формулу для вычисления радиуса круга сходимости степенного ряда.

12.Выведите условия разложимости функции в ряд Тейлора.

13.Разложите функции

в степенной ряд.

1 23	Поделиться: