Свойства равномерно сходящихся рядов

ТЕОРЕМА о непрерывности суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций

Если члены функционального ряда - непрерывные функции, и этот ряд равномерно сходится на отрезке , то сумма этого ряда непрерывна на .

ТЕОРЕМА о почленном интегрировании равномерно сходящегося ряда

Пусть члены функционального ряда непрерывны на отрезке , и ряд равномерно сходится к своей сумме на этом отрезке: . Тогда , т.е. интеграл от суммы ряда равен сумме ряда, составленного из интегралов от членов равномерно сходящегося ряда.

ТЕОРЕМА о почленном дифференцировании равномерно сходящегося ряда

Пусть члены сходящегося ряда - дифференцируемые на отрезке функции, и ряд, составленный из производных , равномерно сходится на . Тогда ряд можно почленно дифференцировать, и , т.е. производная суммы ряда равна сумме ряда из производных.

Отметим тонкость, заключённую в этой теореме: для того, чтобы ряд можно было почленно дифференцировать, требуется равномерная сходимость не самого этого ряда, а ряда, составленного из производных его членов.

Эти свойства равномерно сходящихся рядов мы будем использовать при изучении степенных рядов. Однако уже сейчас мы можем сделать из этих теорем тонкие и важные выводы. Ряд - геометрическая прогрессия со знаменателем , поэтому его сумма равна : . Мы доказали, что этот ряд равномерно сходится на любом отрезке , целиком лежащем в области сходимости (-1, 1), поэтому его можно почленно проинтегрировать в пределах от 0 до : . Вычисляя интегралы, получаем . Это не только неожиданное и красивое представление числа в виде ряда , но и удобный способ его вычисления с любой точностью с простой оценкой остатка по первому отброшенному члену, так как получен ряд Лейбницевского типа.

Степенные ряды

Степенным рядом называется функциональный ряд вида ,

где – постоянные (коэффициенты ряда), - фиксированное число (центр сходимости). Степенной ряд имеет по меньшей мере одну точку сходимости - точку .

Все содержательные сведения о степенном ряде содержатся в теореме Абеля.

ТЕОРЕМА Абеля. Если степенной ряд сходится в точке , то

1) он абсолютно сходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся ближе к точке , чем );

2) он сходится равномерно на любом отрезке , целиком лежащем на интервале (т.е. на интервале с центром в радиуса );

3) если этот ряд расходится в точке , то он расходится в любой точке х, удовлетворяющей неравенству (т.е. находящейся дальше от точки , чем ).

Радиус сходимости, интервал сходимости и область сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что существует такое число R (возможно, ) такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится.

Определение

Число R такое, что при степенной ряд сходится, при ряд расходится, называется радиусом сходимости. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда.

Сходимость ряда в концевых точках интервала сходимости должна исследоваться отдельно. В зависимости от поведения ряда на концах интервала сходимости область сходимости степенного ряда может быть одной из следующих: , , , .

Итак, для определения области сходимости степенного ряда надо найти его интервал сходимости R, затем исследовать поведения ряда в концевых точках интервала сходимости .

Типовые примеры

1) .

► Для определения радиуса сходимости этого ряда целесообразно применить признак сходимости Дирихле. Однако этот признак, как и многие другие, может применяться только к положительному ряду, поэтому выпишем ряд, состоящий из абсолютных величин членов исследуемого ряда: . Применяем признак Дирихле: . Следовательно, . Мы нашли радиус сходимости R =3 и интервал сходимости . Исследуем поведение ряда на концах интервала: , ряд сходится. , ряд сходится абсолютно. Область сходимости - интервал [-7, 7]. ◄

2) .

► Ряд из модулей: , признак Коши . - расходится, - расходится, область сходимости - интервал .◄

3) .

► Ряд из модулей: , признак Даламбера . - сходится условно, - расходится, область сходимости - полуинтервал .◄

4) .

► Решение такое же, как в предыдущем примере, однако ряд будет знакочередующимся в точке х =5; ответ: область сходимости - полуинтервал .◄

5) .

► Ряд из модулей: , признак Даламбера область сходимости - единственная точка х =0, .◄

6) .

► Ряд из модулей: , признак Даламбера в любой точке х, область сходимости - вся числовая ось .◄

Получим формулы, выражающие радиус сходимости степенного ряда через его коэффициенты. Ряд из модулей: ; применение к этому ряду признака Коши даёт .

Применение признака Даламбера даёт Итак, .

Почленное интегрирование или дифференцирование степенного ряда не меняют его радиус сходимости.

123	Поделиться: