Матричный способ решения систем линейных уравнений

Рассмотрим прямоугольник из 4-ёх элементов матрицы :

Назовём элемент ведущим, строку, в которой он стоит - ведущей строкой. По правилу прямоугольника пересчитывается элемент, стоящий по диагонали от ведущего элемента по следующей формуле:

Очевидно, что формула упростится, если ведущий элемент . Поэтому, если в системе есть элементы равные 1, то их рекомендуется выбирать ведущими.

Для проверки верности счёта к расширенной матрице приписывается столбец сумм, элементы которого равны построчным суммам матрицы . Над элементами контрольного столбца производятся те же операции, что и над элементами матрицы . Если сумма строки равна соответствующему элементу контрольного столбца, рассчитанного по правилу прямоугольника, то счёт ведётся верно, в противном случае следует искать ошибку в счёте.

Пример 3. Решить систему уравнений:

Решение:

Выпишем матрицу ; припишем к ней контрольный столбец.

За ведущий элемент примем 1, стоящую в первой строке и 3–ем столбце (Ведущими можно выбирать только элементы основной матрицы, т.е. матрицы без столбца свободных членов). Ведущую строку перепишем без изменения, в ведущем столбце запишем нули, все остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника:

т.е.

Пример пересчёта элемента 2, стоящего во второй строке и первом столбце:

Пример пересчёта элемента -1, стоящего во второй строке и втором столбце:

Далее примем за ведущий элемент единицу, стоящую в третьей строке и первом столбце. Третью строку и третий столбец перепишем без изменения, в первом столбце запишем нули, остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника:

т.е.

Разделим вторую строку на 2 (это равносильно делению обеих частей уравнения на 2), получим

Выбираем ведущей 1, стоящую во второй строке и втором столбце (заметим, что строка и столбец могут быть ведущими только 1 раз).

Вторую строку, первый и третий столбцы переписываем без изменения, во втором столбце записываем нули, остальные элементы пересчитываем по правилу прямоугольника.

т.е.

Таким образом получили ответ

Задания для самостоятельной работы

1. Решить систему линейных уравнений используя правило Крамера и матричный способ

2. Решить систему линейных уравнений используя метод Гаусса:

Рекомендуемая литература: 1.1, 2.1.

Самостоятельная работа №3

Тема: «Векторы. Координаты векторов»

Цель: Закрепление умения производить действия над векторами в координатной и геометрической форме. Находить координаты вектора, модуль вектора, скалярное произведение векторов через координаты

Время выполнения: 4 часа

Теоретические сведения

Вектором называется направленный отрезок. Обозначения: a, , .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой ли на параллельных прямых.

Вектор называется нулевым, если его начальная и конечная точки совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Проекцией вектора АВ на ось OX (OY) называется длина направленного отрезка А^/В^/ оси OX (OY), где А^/ и В^/ - основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на ось OX (OY).

Проекции вектора на координатные оси – координаты вектора: . Длина вектора находится по формуле

.

Пусть α, β, γ – углы, образованные вектором с осями координат (Ox, Oy, Oz соответственно), тогда

, ,