Уравнения допускающие понижение порядка

1. Уравнение вида

Это уравнение не содержит в явном виде искомой функции у(х). Сделаем замену Тогда

2. Уравнение вида

Это уравнение не содержит в явном виде аргумент х, поэтому для его решения предлагается замена т.е. z является функцией от у, а не от х.

Тогда

Итак,

Пример 6.Решить уравнение

Решение:

линейное однородное уравнение первого порядка, решение которого

2) уравнение с разделяющимися переменными.

Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка называется уравнение вида

для нахождения линейно независимых решений и уравнения надо записать по линейному однородному дифференциальному уравнению второго порядка характеристическое уравнение:

и решить его, т.е. найти корни и .

Возможны три случая

1. Корни и характеристического уравнения вещественные и различные , т.е. тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

2. Корни и характеристического уравнения вещественные и равные друг другу т.е. тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

3. Корни и характеристического уравнения комплексно–сопряжённые т.е. где тогда общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

Пример 7.Решить уравнение:

Решение:

Составим и решим характеристическое уравнение:

Мы получили действительные и различные корни, следовательно, общее решение данного уравнения находим по формуле:

Получим:

Задания для самостоятельного решения

1.Решить уравнение:

а)

б)

2.Найдите частное решение данного уравнения

а)

б)

3. Решить уравнение:

а)

б)

в)

г)

д)

4. Решить уравнение:

5. Найдите частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

6. Решить уравнение:

Рекомендуемая литература: 1.1, 1.2, 2.2.

Самостоятельная работа №11

Тема: «Разложение функций в степенные ряды»

Цель: Закрепление умения использования формул Тейлора и Маклорена для разложения функций в степенные ряды.

Время выполнения: 6 часов

Теоретические сведения

Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел , соединенных знаком сложения:

Числа называются членами ряда, а член - общим или n-м членом ряда.

Среди рядов особое место занимают степенные ряды, членами которых являются степенные функции аргумента х:

Действительные числа называются коэффициентами ряда, х – действительная переменная.

Рассмотренный степенной ряд расположен по степеням х.

Имеют место ряды, расположенные по степеням , т.е. ряд вида

где - некоторое постоянное число.

Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в степенной ряд, т. е. функцию f(x) представлять в виде суммы степенного ряда.

Для любой функции f(x), определённой в окрестности точки и имеющей в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

где , - остаточный член в форме Лагранжа.

Число с можно записать в виде , где .

Без остаточного члена имеем – многочлен Тейлора:

Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки и остаточный член стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням , называемое рядом Тейлора:

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции по степеням x в так называемый ряд Маклорена:

Формально ряд Тейлора можно построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x); он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x).

Пример1. Разложить многочлен

в ряд Тейлора при

Решение:

Найдём производные данного многочлена:

В точке имеем:

По формуле

получаем:

Пример 2.Записать формулу Тейлора и выражение остаточного члена для

при n = 4 и

Решение:

Формула Тейлора имеет вид:

где

Найдём производные функции в точке

Искомая формула имеет вид:

где и , т.е.

Для того чтобы ряд Тейлора функции f(x)

сходился к f(x) в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при , т. е. .

Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)

Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно:

1) Найти производные ;

2) Вычислить значения производных в точке ;

3) Написать ряд

для заданной функции и найти его интервал сходимости;

4) Найти интервал (-R; R), в котором остаточный член ряда Маклорена . Если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.

Задание для самостоятельной работы:

1. Напишем формулу Тейлора и выражение остаточного члена для при n=4 и

2. Разложить по степеням х элементарные функции:

3. Разложить в ряд Маклорена функции:

Рекомендуемая литература: 1.1, 2.2. 2.5.

Самостоятельная работа №12

Тема: «Действия над комплексными числами»

Цель: Закрепление навыков выполнения арифметических действий над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной форме.

Время выполнения: 2 часа

Теоретические сведения

Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом:

1. Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда

a = c и b = d.

2. Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

a + c + i(b + d).

3. Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число

ac – bd + i(ad + bc).

На комплексные числа можно смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,

то есть как раз получается нужная формула.

Пример 1 Вычислить z₁ + z₂ и z₁z₂, где z₁ = 1 + 2i и z₂ = 2 – i.

Решение:

Имеем

Ответ. z₁ + z₂ = 3 + i, z₁z₂ = 4 + 3i.

Геометрической интерпретацией действительных чисел является действительная прямая. Любому комплексному числу z = x + iy можно поставить в соответствие точку координатной плоскости. На оси абсцисс откладывается действительная часть комплексного числа, а на оси ординат – мнимая часть.

Любому комплексному числу z = a + ib соответствует вектор и наоборот, каждому вектору соответствует, и притом единственное, число z = a + ib.

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу:

Аргументом комплексного числа z = a + ib (z ≠ 0) называется величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором величина угла считается положительной, если угол отсчитывается против часовой стрелки, и отрицательным в противном случае.

Угол φ, аргумент комплексного числа, обозначается φ = arg z. Для числа z = 0 аргумент не определён.

Существует такое число z = 0, которое обладает свойством

z + 0 = z

Для любых двух чисел z₁ и z₂ существует такое число z, что z₁ + z = z₂. Такое число z называется разностью двух комплексных чисел и обозначается z = z₂ – z₁.

Для любого комплексного числа z:

z · 1 = z.

Для любых двух чисел и существует такое число z, что Такое число z называется частным двух комплексных чисел и обозначается Деление на 0 невозможно.

Если число z = a + bi, то число называется комплексно сопряжённым с числом z. Комплексно сопряжённое число обозначается Для этого числа справедливы соотношения:

Пример 2 Найдите число, сопряжённое к комплексному числу (1 + 2i)(3 – 4i).

Решение:

Имеем . Следовательно,

Ответ. 11 – 2i.

Пример 3 Вычислите

Решение:

Имеем

Ответ. i.

Та запись комплексного числа, которую мы использовали до сих пор, называется алгебраической формой записи комплексного числа. Часто бывает удобна немного другая форма записи комплексного числа. Пусть и φ = arg z. Тогда по определению аргумента имеем:

Отсюда получается

z = a + bi = r(cos φ + i sin φ ).

Такая форма называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Как видно, для того, чтобы перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме, нужно найти его модуль и один из аргументов.

Пример 4 Записать число в тригонометрической форме.

Решение:

Найдём модуль этого числа: Аргумент данного числа находится из системы

Значит, один из аргументов числа равен Получаем:

Ответ.

Арифметические действия над комплексными числами, записанными в тригонометрической форме, производятся следующим образом. Пусть z₁ = r₁(cos φ ₁ + i sin φ ₁) и z₂ = r₂(cos φ ₂ + i sin φ ₂). Имеем:

Отсюда следует, что для того чтобы перемножить n комплексных чисел, нужно перемножить их модули и сложить аргументы: если φ ₁, φ ₂, ..., φ _n – аргументы чисел z₁, z₂, ..., z_n, то

В частности, если все эти числа равны между собой, то получим формулу, позволяющую возводить комплексное число в любую натуральную степень.

Первая формула Муавра:

Пример 4 Вычислить если

Решение:

Данное число в тригонометрической форме имеет вид По первой формуле Муавра получаем:

Ответ.

Число z называется корнем степени из комплексного числа w, если Корень степени обозначается . Пусть теперь число w фиксировано. Найдём z из уравнения

Вторая формула Муавра:

Пример 5 Найти

Решение:

Представим число –1 в тригонометрической форме:

По второй формуле Муавра получаем:

Получаем последовательно:

Ответ.

Задание для самостоятельной работы:

1. Найти числа сопряжённые данным комплексным числам, изобразить их геометрически:

2. Вычислить:

3. Решить уравнения:

4. Представить в тригонометрической форме числа:

Вычислите:

5. Найти значения корня:

Рекомендуемая литература: 1.1, 2.1, 2.5.

Список рекомендуемой литературы

1. Основная:

1.1 Богомолов, Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для средних спец. учеб. заведений / Н. В. Богомолов. – 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003 – 495 с.

1.2 Григорьев, В.П. Элементы высшей математики: Учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / В. П. Григорьев, Ю. А. Дубинский. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 320 с.

1.3 Григорьев, С.Г. Математика: учебник для студ. сред. проф. учреждений / С. Г. Григорьев, под ред. В. А. Гусева. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2008. – 384 с.

1.4 Дадаян, А.А. Сборник задач по математике: Учеб. пособие / А. А. Дадаян. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2008. – 352 с. – (Профессиональное образование).

1.5 Математика: Учебник. – М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2005. – 552 с. – (Серия «Профессиональное образование»)

2. Дополнительная:

2.1 Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч.1: Учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, - 6-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005. – 304 с.: ил.

2.2 Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2: Учеб. пособие для вузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова, - 6-е изд. – М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005. – 416 с.: ил.

2.3 Малыхин, В.И. Высшая математика: Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2006. – 365 с. – (Высшее образование).

2.4 Шипачев, В.С. Основы высшей математики: Учеб. пособие для вузов / В. С. Шипачев; Под ред. акад. А. Н. Тиханова. – 5-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2003. – 479 с.: ил.

2.5 Линьков, В.М., Яремко, Н.Н. Высшая математика в примерах и задачах. Компьютерный практикум: Учеб. пособие / Под ред. А. А. Емельянова. – М.: Финансы и статистика, 2006, - 320 с.: ил.

Информационные ресурсы:

Сайты журналов	1. Алгебра и анализ Режим доступа: http: //www.mathnet.ru
Образовательные сайты	1. Математика Режим доступа: http: //energy.bmstu.ru/gormath/mathan2s/mainlist.htm 2. Учебник высшей математики Режим доступа: http: //www.bez-dvoek.ru/matem/dif/index10.html 3. Математика Режим доступа: http: //www.bymath.net/index.html 4. Лекции по высшей математике Режим доступа: http: //www.mathelp.spb.ru/index1.htm 5. Математика Режим доступа: http: //www.intuit.ru/courses.html
Порталы	1. Информационно-коммуникационные технологии в образовании Режим доступа: http: //www.ict.edu.ru

1 2 3 45