Уравнение постоянства расхода

Уравнение постоянства расхода

Основные теоретические сведения

Объёмным расходом потока Q называется объём жидкости V, проходящий в единицу времени t через живое сечение потока, м³/с:

Q = . (6.1)

Массовым расходом потока Q_m называется масса жидкости m, проходящий в единицу времени t через живое сечение потока, кг/с:

Q_m = . (6.2)

Уравнение неразрывности течения (сплошности потока) в интегральной форме в случае одномерного приближения принимает вид уравнения постоянства расхода:

· для слобосжимаемой (или трудносжимаемой) жидкости (r = const) это уравнение постоянства объёмного расхода – объёмный расход потока вдоль по течению неизменен.

Q = v × w, (6.3)

где Q – объёмный расход, м³/с;

v – средняя скорость в живом (поперечном) сечении потока, м/с;

w – площадь живого (поперечного) сечения потока, м².

· для сжимаемой жидкости (r ¹ const) это уравнение постоянства массового расхода – массовый расход потока вдоль по течению неизменен.

Q_m = r × v × w, (6.4)

где Q_m – массовый расход, кг/с

r – плотность жидкости, кг/м³.

Примеры решения задач

Пример № 6.1. Определите массу жидкости плотностью 780 кг/м³, которая пройдёт через живое сечение круглого напорного трубопровода диаметром d = 0, 2 м за 10 минут. Средняя скорость жидкости в поперечном сечении потока v равна 1, 5 м/с.

Решение

Массу жидкости, проходящую через живое сечение трубопровода за время t можно определить из уравнения (6.2) Q_m = :

m = Q_m × t.

В системе СИ время t = 10 × 60 = 600 с.

Массовый расход жидкости определяем, используя уравнение постоянства массового расхода (6.4). Учитываем, что для круглого напорного трубопровода площадь живого сечения w = .

Q_m = r × v × w = r × v × ;

Q_m = 780 × 1, 5 × = 36, 738 (кг/с).

Искомая масса жидкости равна:

m = 36, 738 × 600 = 22042, 8 (кг).

Пример № 6.2. Определите размер квадратного напорного трубопровода. За 3 минуты через поперечное сечение трубопровода проходит 7, 2 м³ жидкости постоянной плотности. Средняя скорость потока в живом сечении составляет 1, 0 м/с.

Решение

Размер, то есть сторону квадратного напорного трубопровода при r = const можно определить из уравнения постоянства объёмного расхода (6.3) Q = v × w:

w = .

Для квадратного напорного трубопровода площадь живого (поперечного) сечения потока w = a². Тогда размер трубопровода равен:

а = .

По уравнению (6.1) объёмный расход потока Q равен:

Q = .

В системе СИ время t = 3 × 60 = 180 с.

Q = = 0, 04 (м³/с).

w = = 0, 04 (м²).

а = = 0, 2 (м).

Уравнение Бернулли для потока идеальной жидкости (без учёта потерь энергии)

Примеры решения задач

Пример № 7.1. Определить расход жидкости Q в горизонтальном трубопроводе диаметром d₁ = 0, 2 м, имеющем сужение диаметром d₂ = 0, 12 м (рис. 7.1). Разность показаний пьезометров Dh = 250 мм.

Дано: d₁ = 0, 02 м;

d₂ = 0, 12 м;

Dh = 250 мм = 0, 25 м.

Рисунок 7.1 Определить: Q.

Решение

Составим уравнение Бернулли (энергии) без учёта потерь энергии для двух сечений: 1-1 и 2-2:

z₁ + + a₁ × = z₂ + + a₂ × .

Для горизонтального трубопровода z₁ = z₂. Обозначим пьезометрические высоты h₁ = , а h₂ = . Разность показаний пьезометров равна Dh = h₁ - h₂. Уравнение Бернулли принимает вид:

Dh = a₂ × - a₁ × .

Из уравнения неразрывности v ₁ × w₁ = v ₂ × w₂ выразим скорость во втором сечении:

v ₂ = v ₁ × .

Для круглого напорного трубопровода площадь живого сечения потока w = . Тогда

v ₂ = v ₁ × .

Подставляя это выражение в уравнение Бернулли имеем:

Dh = a₂ × - a₁ × .

Считаем, что течение жидкости в трубопроводе турбулентное. Принимаем коэффициент Кориолиса a₁ = a₂ = a = 1, 1.

Dh = a × .

v ₁ = = = 0, 815 (м/с).

Объёмный расход равен:

Q = v ₁ × w₁ = v ₁ × = 0, 815 = 0, 0256 (м³/с).

Пример № 7.2. Жидкость вытекает из резервуара большого сечения по горизонтальному трубопроводу переменного сечения. Определить расход Q в горизонтальном трубопроводе (рис. 7.2), скорость на каждом из участков v_i и построить пьезометрическую линию . Напор над центром отверстия, к которому присоединён трубопровод, Н равен 5 м. Диаметры различных участков трубопровода соответственно равны: d₁ = 15 мм, d₂ = 20 мм, d₃ = 10 мм.

Дано: Н = 5 м;

d₁ = 15 мм = 0, 015 м;

d₂ = 20 мм = 0, 020 м;

d₃ = 10 мм = 0, 010 м.

Определить: Q, v₁, v₂, и v₃.

Рисунок 7.2 Решение

Составим уравнение Бернулли (энергии) без учёта потерь энергии для двух сечений: 0-0 (свободная поверхность жидкость в резервуаре, из которого истекает жидкость) и 3-3 (выходное сечение трубопровода):

z₀ + + a₀ × = z₃ + + a₃ × .

Здесь р₀ – давление на свободную поверхность жидкости в открытом резервуаре равно атмосферному давлению, то есть р₀ = р_бар. р₃ – давление в выходном сечении трубопровода. Оно равно давлению той среды, куда происходит истечение. В данном случае р₃ = р_бар.

Горизонтальную плоскость сравнения совместим с осью трубопровода переменного сечения. Тогда z₀ = Н, а z₃ = 0.

Скорость на свободной поверхности жидкости в резервуаре v₀ пренебрежимо мала по сравнению со скоростью жидкости в трубопроводе переменного сечения v_i. Поэтому полагаем, что v₀ » 0.

Принимаем, что коэффициент Кориолиса a.₃ =1, 0. (На практике мы обычно имеем дело с турбулентным движением жидкости.). Уравнение Бернулли имеет вид:

Н + + 0 = 0 + + 1 ×

или

Н = .

Отсюда

v₃ = = = 9, 9 (м/с).

Используя уравнение неразрывности течения определяем расход жидкости в трубопроводе:

Q = v₃ × w₃ = v × = 9, 9 × = 0, 00078 (м³/с).

Используя это же уравнение, определяем скорости на участках диаметром d₁ и d₂:

Q = v₁ × w₁. Þ v₁ = = = = 4, 42 (м/с);

Q = v₂ × w₂. Þ v₂ = = = = 2, 48 (м/с).

Пьезометрическую линию строят, исходя из следующих положений. Поскольку задача решается без учёта потерь энергии, то напорная линия (линия полной энергии) - будет представлять собой горизонтальную прямую, являющуюся продолжением свободной поверхности воды в сечении 0-0. Пьезометрическая линия расположиться ниже напорной линии на величину в каждом сечении. Таким образом, отложив вниз от напорной линии величины в сечениях, соответствующих изменению диаметра трубопровода, получим ряд точек, соединив которые построим пьезометрическую линию. При этом

= = 0, 987 (м);

= = 0, 312 (м);

= = 5 (м).

Рисунок 7.3 – Построение пьезометрической линии

Примеры решения задач

Пример № 8.1. При каком режиме будет протекать вода с температурой = 15 °С в открытом прямоугольном лотке, если объёмный расход жидкости Q равен 0, 56 м³/с, глубина воды в лотке b = 0, 7 м, а ширина лотка b = 0, 8 м.

Дано = 15 °С;

Q = 0, 56 м³/с;

h = 0, 7 м;

b = 0, 8 м.

Решение

При температуре = 15 °С коэффициент кинематической вязкости воды n = 1, 15 × 10^-⁶ м²/с [прил.? ].

Для определения режима течения необходимо сравнить расчётное число Рейнольдса Re с критическим значением. Принимаем, что критическое значение числа Рейнольдса равно Re_кр = 2320.

Расчётное число Рейнольдса определяем по формуле:

Re_{d экв} = ,

где v -средняя скорость течения воды в открытом лотке;

- диаметр эквивалентный, м;

n - кинематический коэффициент вязкости м²/с.

Среднюю скорость течения воды в открытом лотке определяем из уравнения неразрывности течения

Q = v × w,

где w – площадь живого (поперечного) сечения потока, м². Для прямоугольного лотка площадь живого сечения равна

w = h × b.

Тогда

v = = = = 1, 0 м/с.

Диаметр эквивалентный d_экв – это отношение четырёх площадей живого сечения потока w к смоченному периметру c:

d_экв =

Смоченный периметр c (хи) – часть периметра живого сечения, на которой жидкость соприкасается с твёрдыми стенками. Для открытого прямоугольного лотка смоченный периметр равен c = h + h + h = 2 × h + b.

d_экв = = = = = 1, 02 м.

Re_{d экв} = = 886956, 52.

Re > Re_кр, следовательно режим движения турбулентный.

Пример № 8.2. По напорному трубопроводу переменного сечения подаётся жидкость с объёмным расходом Q = 0, 6 л/с. Кинематический коэффициент вязкости жидкости 3, 2× 10^-⁶ м²/с. Определите диаметр, при котором произойдёт смена режима движения.

Дано Q = 0, 6 л/с = 0, 6× 10^-³ м³/с;

n = 3, 2× 10^-⁶ м²/с.

Решение

Смена режима движения происходит при Re_кр = для цилиндрических напорных труб:

Re_кр = = 2000…2320,

где v -средняя скорость в поперечном сечении потока;

d - диаметр трубопровода, м;

n - кинематический коэффициент вязкости м²/с.

Среднюю скорость течения жидкости выразим из уравнения неразрывности течения Q = v × w:

v = ,

где w – площадь живого (поперечного) сечения потока, м².

Для круглого напорного трубопровода площадь живого сечения потока равна:

w = .

Тогда

v = = .

Подставляем это выражение в формулу для определения числа Рейнольдса:

Re_кр = = = .

Отсюда диаметр, при котором происходит смена режима течения, равен:

d = .

Принимаем, что критическое значение числа Рейнольдса равно Re_кр = 2320. Тогда

d = = 0, 1 (м).

Примеры решения задач

Пример № 10.1. Определить потери давления на трение Dр_тр в стальной трубе квадратного сечения. Длина трубы l = 80 м, площадь живого сечения w = 2, 25× 10^-² м², средняя скорость движения воды v = 5 м/с, температура воды 20 ⁰С.

Справочные данные

- плотность воды r = 998, 2 кг/м³;

- абсолютная эквивалентная шероховатость k_э = 0, 05 мм;

- кинематический коэффициент вязкости n = 1, 01´ 10^-⁶ м²/с.

Решение

Потери давления на трение определяем по формуле Дарси-Вейсбаха:

Dр_тр = l × × r × ,

где d_экв – эквивалентный диаметр рассматриваемого участка трубы, м;

- коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси), безразмерный;

- длина трубопровода, м;

- диаметр трубопровода, м;

r - плотность жидкости, кг/м³;

v – средняя скорость течения жидкости в сечении потока, м/с.

Диаметр эквивалентный d_эк _в равен отношение четырёх площадей живого сечения потока w к смоченному периметру c. Для трубопровода квадратного сечения со стороной а диаметр эквивалентный равен:

d_экв = = = а.

Величину а определяем из площади квадрата (w = а²). а = = = 0, 15 м.

Определяем режим течения жидкости в трубопроводе:

Re = = = 742574, 26.

Значение числа Рейнольдса больше критического (Re_кр = 2320), следовательно, режим течения жидкости турбулентный.

Определяем значение критерия зоны турбулентности:

Re × = 742574, 26 × = 247, 86.

Значение критерия зоны сопротивления находится в пределах от 10 до 500, следовательно движение происходит в области смешанного сопротивления, для которой справедлива формула Альтшуля:

l = 0, 11 × = 0, 11 × = 0, 0158.

Потери давления на трение равны:

Dр_тр = 0, 0158 × × 998, 2 × = 105143, 73 Па.

Пример № 10.2. Определить потери напора и гидравлический уклон при подаче воды со скоростью v = 0, 2 м/с через умеренно заржавленную стальную трубку диаметром d = 50 мм и длиной l = 60 м при температуре воды 10 ⁰С.

Справочные данные

- кинематический коэффициент вязкости n = 1, 31´ 10^-⁶ м²/с;

- абсолютная эквивалентная шероховатость k_э = 0, 45 мм.

Решение

Потери напора на трение определяем по формуле Дарси-Вейсбаха:

Dh_тр = l × × ;

где - коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси), безразмерный;

- длина трубопровода, м;

- диаметр трубопровода, м;

v – средняя скорость течения жидкости в сечении потока, м/с.

Определяем режим течения жидкости в трубопроводе:

Re = = = 7633, 59.

Определяем значение критерия зоны турбулентности:

Re × = 7633, 59 × = 9, 16.

Значение критерия зоны сопротивления меньше 10, следовательно движение происходит в области «гидравлически гладких» труб, для которой справедлива формула Блазиуса:

l = = = 0, 0338.

Dh_тр = 0, 0338 × × = 0, 083 м.

Гидравлическим уклоном i называется отношение потерь напора Dh_тр к длине участка l, на котором эти потери происходят:

i = = = 0, 00138 м/м.

Примеры решения задач

Пример № 11.1.

В качестве нагревательных приборов системы отопления использованы стальные трубы d₁ = 0, 6 м. Стояк, подводящий нагретую воду, и соединительные линии выполнены из труб диаметром d₂ = 0, 025 м и приварены к торцам нагревательных труб (рис. 9.1). Определить суммарные потери давления на участке между сечениями А-А и В-В, если скорость движения горячей воды в подводящих линиях v₂ = 1, 0 м/с. Радиус поворота нагревательной трубы R_п = 0, 6 м, а длина нагревательной трубы l₁ = 4, 0 м. Температура воды = 90 ⁰С.

Дано: d₁ = 0, 6 м;

l₁ = 4, 0 м;

R_п = 0, 6 м;

d₂ = 0, 025 м;

v₂ = 1, 0 м/с;

= 90 ⁰С.

Справочные данные: r = 965, 3 кг/м³;

n = 0, 33× 10^-⁶ м²/с;

k_э = 6, 5× 10^-⁴ м;

при плавном повороте трубопровода круглого сечения на 180⁰ а = 1, 33.

Определить: р_пот.

Решение

Общие потери давления в системе между сечениями А-А и В-В русел равны арифметической сумме потерь давления по длине l₁ и всех потерь, вызванных отдельными местными сопротивлениями (внезапное расширение, плавный поворот на 180⁰ и внезапное сужение).

р_пот = + = Dр_{тр 1} + Dр_{м в.р} +Dр_м₁₈₀ +Dр_{м в.с.}.

Потери давления на трение по длине на участке длиной l₁ определяем по формуле Дарси-Вейсбаха, Па:

Dр_тр = l₁ × × r × ,

где ₁- коэффициент гидравлического трения (коэффициент Дарси), безразмерный;

- длина трубопровода, м;

- диаметр трубопровода, м;

r - плотность жидкости, кг/м³;

v ₁ – средняя скорость течения жидкости в сечении потока, м/с.

Используя уравнение неразрывности течения определяем скорость на участке диаметром d₁, м/с:

Q = v₁ × w₁ = v₂ × w₂.

Отсюда

v₁ = = = = = 0, 0017 м/с.

Определяем режим течения жидкости на участке трубопровода диаметром d₁ и длиной :

Re₁ = = = 3090, 909.

Re > Re_кр = 2000…2320, следовательно режим движения турбулентный.

Для определения области сопротивления рассчитываем значение критерия зоны турбулентности:

Re × = 3090, 909 × = 3, 348.

Значение критерия зоны турбулентности меньше 10, следовательно движение происходит в области «гидравлически гладких» труб, для которой справедлива формула Блазиуса:

l₁ = = = 0, 0424.

Потери давления на трение по длине равны:

Dр_тр = 0, 0424 × × 965, 3 × = 0, 000394 (Па).

Потери давления на местных сопротивлениях определяем по формуле Вейсбаха, Па:

Dр_м = z × r × ,

где z – коэффициент местного сопротивления, безразмерный. При резких переходах в местных сопротивлениях коэффициент z не зависит от значения числа Рейнольдса при Re ³ 3000. Следовательно, при определении коэффициентов местного сопротивления мы можем использовать формулы для автомодельной области (3), (4), (10) – (16);

r – плотность жидкости, кг/м³;

v – средняя скорость в сечении, обычно после местного сопротивления, м/с.

Однако при определении потерь энергии при расширении трубопровода расчёт принято проводить для скорости до местного сопротивления. В данном случае до местного сопротивления (внезапного расширения) диаметр d₂ и скорость v₂. Потери давления и коэффициент местного сопротивления, отнесённый к средней скорости до местного сопротивления, определяем по формулам (2) и (3), которые в данном случае записываются в виде:

Dр_{м в.р.} = z_в.р. × r ×