Автоматическое конструирование (computer – aided engineering – САЕ)

Стр 1 из 11Следующая ⇒

CAE – это технология, состоящая в использовании компьютерных систем для анализа геометрии CAD, моделирования и изучения поведения продукта для усовершенствования и оптимизации eгo конструкции. Средства САЕ могут осуществлять множество различных вариантов анализа. Программы для кинематических pacчетов, например, способны определять траектории движения и скорости звеньев в механизмах. Программы динамического анализа с большими смещениями могут использоваться для определения нагрузок и смещений в сложных составных устройствах типа автомобилей. Прогpаммы верификации и анализа логики и синхронизации имитируют работу сложных электронных цепей.

По всей видимости, из всех методов компьютерного анализа наиболее широко в конструировании используется метод конечных элементов (finite element method – FЕМ). С eгo помощью рассчитываются напряжения, деформации, теплообмен, распределение магнитного поля, потоки жидкостей и другие задачи с непрерывными средами, решать которые каким-либо иным методом оказывается просто непрактично. В методе конечных элементов аналитическая модель структуры представляет собой соединение элементов, благодаря чему она разбивается на отдельные части, которые уже могут обрабатываться компьютером.

Как отмечалось ранее, для использования метода конечных элементов нужна абстрактная модель подходящего уровня, а не сама конструкция. Абстрактная модель отличается от конструкции тем, что она формируется путем исключения несущественных деталей и редуцирования размерностей. Например, трёхмерный объект небольшой толщины может быть представлен в виде двумерной оболочки. Модель создается либо в интерактивном режиме, либо автоматически. Готовая абстрактная модель разбивается на конечные элементы, образующие аналитическую модель. Программные средства, позволяющие конструировать абстрактную модель и разбивать ее на конечные элементы, называются пpeпpoцессорами (preprocessors). Проанализировав каждый элемент, компьютер собирает результаты воедино и представляет их в визуальном формате. Например, области с высоким напряжением могут быть выделены красным цветом. Программные средства, обеспечивающие визуализацию, называются пocтпpoцeccoрами (postprocessors). Существует множество программных средств для оптимизации конструкций.

Хотя средства оптимизации могут быть отнесены к классу САЕ, обычно их рассматривают отдельно. Ведутся исследования возможности автоматического определения формы конструкции путем объединения оптимизации и анализа.

В этих подходах исходная форма конструкции предполагается простой, как, например, у прямоугольного двумерного объекта, состоящего из небольших элементов различной плотности. Затем выполняется процедура оптимизации, позволяющая определить конкретные значения плотности, позволяющие достичь определенной цели с учетом ограничений на напряжения. Целью часто является минимизация веса. После определения оптимальных значений плотности рассчитывается оптимальная форма объекта. Она получается отбрасыванием элементов с низкими значениями плотности.

Замечательное достоинство методов анализа и оптимизации конструкций заключается в том, что они позволяют конструктору увидеть поведение конечного продукта и выявить возможные ошибки до создания и тестирования реальных прототипов, избежав определенных затрат. Поскольку стоимость конструирования на последних стадиях разработки и производства продукта экспоненциально возрастает, ранняя оптимизация и усовершенствование (возможные только благодаря аналитическим средствам САЕ) окупаются значительным снижением сроков и стоимости разработки.

Таким образом, технологии CAD, САМ и САЕ заключаются в автоматизации и повышении эффективности конкретных стадий жизненного цикла продукта. Развиваясь независимо, эти системы еще не до конца реализовали потенциал интеграции проектирования и производства. Для решения этой проблемы была предложена новая технология, получившая название компьютеризированного интегрированного производства (computer – integrated manufacturing – СIМ). CIM пытается соединить «островки автоматизации» вместе и превратить их в бесперебойно и эффективно работающую систему. CIM подразумевает использование компьютерной базы данных для более эффективного управления всем предприятием, в частности бухгалтерией, планированием, доставкой и другими задачами, а не только проектированием и производством, которые охватывались системами CAD, САМ и САЕ. CIM часто называют философией бизнеса, а не компьютерной системой.

4. Обзор программного обеспечения CAE
(Computer Aided Engineering)

По прогнозу аналитиков в ближайшие годы количество пользователей компьютерных систем инженерного анализа (Computer-Aided Engineering, CAE) вырастет вдвое. CAE-программы являются частью средств управления жизненным циклом изделия (Product Lifecycle Management, PLM). Уже сейчас около 25% инвестиций в PLM приходится на долю CAE, и эта часть будет увеличиваться, так как по темпу годового роста сегмент инженерного анализа опережает рынок PLM в целом.

Главные причины бума в области CAE - быстрый рост вычислительной мощности компьютеров и признание роли компьютерного моделирования для повышения качества продукции, ускорения выпуска новых изделий и снижения затрат на разработку. В течение длительного времени предприятия скептически относились к системам CAE, считая результаты традиционных методик расчета более точными. Тем не менее, растёт число проектов, обязанных своим успехом применению CAE, а у производственников расширяется опыт работы с новыми технологиями. Кроме того, CAE-продукты становятся удобнее в эксплуатации. Огромное значение имеет и то, что совершенствование аналитического ПО сопровождается снижением стоимости и повышением доступности высокопроизводительных компьютеров, так как инженерные расчёты требуют большой вычислительной мощности. Раньше для них были нужны мощные серверы и специализированные рабочие станции, а теперь достаточно настольных ПК. Более того, те расчёты, которые прежде требовали нескольких дней или недель, теперь выполняются за пару часов.

По мнению аналитиков, рынок CAE может расти быстрее, чем на 10% в год. Дело в том, что возможности этой технологии выходят за рамки простого повышения производительности труда конструкторов. Она позволяет ускорить выпуск продукции в продажу, снизить затраты на гарантийное обслуживание и, что самое главное, производить изделия лучшего качества, которые реже ломаются и более безопасны. Самые передовые предприятия уже сейчас считают внедрение CAE задачей номер один. Однако подавляющее большинство западных производственников не торопятся с переходом на эту технологию.

Почему? Любое нововведение вызывает перемены в привычном стиле работы, связано с неизбежным риском и заставляет решать множество вопросов. Основные вопросы:

1. Как узнать, что сотрудники правильно интерпретируют результаты моделирования?

2. Способно ли виртуальное моделирование заменить стендовые испытания?

3. Хватит ли у сотрудников опыта и образования, чтобы использовать CAE?

4. Захотят ли сотрудники выполнять новую работу?

Все эти вопросы, безусловно, правильные. Однако некоторые предприятия уже нашли ответ на них, успешно внедрив технологию CAE и выпустив с её помощью удачные изделия.

Чтобы оценить перспективы CAE, вспомним, какие технологии вызывали в прошлом аналогичные революционные перемены. Например, 35 лет назад Национальный научный фонд США назвал появление систем автоматизированного проектирования (Computer – Aided Design, CAD) самым выдающимся событием с точки зрения повышения производительности труда со времён изобретения электричества. Тогда наиболее прозорливые руководители, поверившие в огромный потенциал CAD, буквально «пробивали» внедрение новой технологии на своих предприятиях, преодолевая сопротивление сотрудников, которое объясняется тем, что людям, совершенно не знакомым с компьютером, приходилось коренным образом менять привычные способы работы и оставлять без применения почти весь накопленный опыт. Тем не менее, их удалось убедить в преимуществах новой технологии и уговорить пройти длительную переподготовку. Можно быть уверенными, что смена отношения к САЕ-системам также не за горами.

Аналогичный путь уже прошла индустрия электронного проектирования. Сначала CAD-системы применялись лишь для трассировки печатных плат. Однако по мере развития технологии автоматизации проектирования базовые CAD отошли на второй план, а первое место заняли продукты, которые помимо физической трассировки выполняли моделирование и анализ. В результате, сейчас в электронном проектировании первую скрипку играет CAE, а CAD-системы, тесно интегрированные с CAE, занимают важное, но менее заметное положение. Именно так же будут развиваться события в сфере машиностроительного проектирования.

Лидеры рынка САЕ

Концепция управления жизненным циклом изделия PLM ориентирована, в первую очередь, на заказчиков из аэрокосмической, автомобильной и оборонной отраслей промышленности. По оценкам CIMdata, к 2010 году объем рынка PLM приблизится к 30 млрд.долл. Крупнейшими финансовыми игроками рынка САПР\PLM являются Dassault Systems, UGS и PTC.

Можно выделить 5 лидеров, годовой доход которых от продажи САЕ-систем и технологий составил более 100 млн.долл.:

ANSYS (263.6 млн.долл.)

MSC Software (259.7 млн.долл.)

Dassalt Systems (200 млн.долл.)

LMS Internationak (120 млн.долл.)

Siemens PLM (100 млн.долл.)

В САЕ-сегменте рынка САПР\PLM выделяется пара равнозначных конкурентов - ANSYS и MSC Software (Nastran).

Основные игроки рынка САЕ:

ADINA R& D, Inc. www.adina.com

ALGOR, Inc. www.algor.com

Altair Engineering www.altair.com

Ansoft www.ansoft.com

ANSYS, Inc. www.ansys.com

Blue Ridge Numerics, Inc. www.cfdesign.com

CD-adapco www.cd-adapco.com

COMSOL, Inc. www.comsol.com

Dassalt Systems www.3ds.com

ESI Group www.esi-group.com

EXA www.exa.com

Flomerics www.flomerics.com

LMS International www.lmsintl.com

Livermore Software Technology Corporation www.lstc.com

Moldflow www.moldflow.com

MSC Software Corporation www.mscsoftware.com

Numerica www.numerica.us

Optics www.optics.com

PTC www.ptc.com

Siemens PLM www.ugs.com

Потребителями САЕ-технологий при разработке инновационных изделий в настоящее время являются многие отрасли промышленности:

ü оборонная промышленность,

ü аэрокосмическая промышленность,

ü автомобильная промышленность,

ü энергетика,

ü машиностроение и станкостроение,

ü судостроение,

ü полупроводниковая промышленность,

ü телекоммуникационная отрасль,

ü производство научного оборудования,

ü гражданское и промышленное строительство,

ü производство систем отопления, вентиляции, кондиционирования и холодильных установок,

ü химическая промышленность,

ü фармацевтическая промышленность, разработка и применение биотехнологий, медицинская промышленность,

ü производство товаров массового потребления,

ü разработка изделий и технологий, ориентированных на охрану окружающей среды.

Важными направлениями развития САЕ-технологий, прогресс в которых будет способствовать расширению возможностей и сферы внедрения САЕ, являются следующие:

- развитие методов решения междисциплинарных задач моделирования, в том числе - разработка и расширение возможностей платформ для интеграции различных САЕ-систем при решении междисциплинарных задач;

- улучшение интероперабельности САЕ- и CAD-систем, а также интеграция CAE-систем в PLM-решения;

- развитие методов пострения расчетных сеток;

- совершенствование методов описания граничных условий;

- совершенствование моделей, используемых для описания свойств материалов;

- развитие методов параллельных вычислений при решении сеточных уранвений;

- оптимизация САЕ-систем для работы на компьютерных платформах с 64-битными и многоядерными процессорами с целью обеспечить моделирование сложных моделей с экстремально бльшим числом степеней свободы.

Аппаратные средства

Решение для автоматизации проектирования включает не только программные, но и аппаратные средства. Производительность пользователей САПР складывается из двух частей: быстродействующая аппаратная часть и удобство работы. При выборе компьютера следует учитывать особенности самой программы.

Для инженерных расчетов с плохо распараллеливаемыми процессами следует применять систему с симметричной многопроцессорной архитектурой (SMP), быстрой подсистемой ввода-вывода, высокой вычислительной мощностью и большим объемом быстрой оперативной памяти.

Для инженерных расчетов с хорошо распараллеливаемыми процессами подойдет масштабируемый вычислительный кластер, обладающий быстродействующей структурой межсоединений, специализированной подсистемой распределения знаний и программным обеспечением для повышения эффективности работы.

Проектирование и конструкторско-технологическую работу ускорит рабочая станция с профессиональной видеокартой, увеличивающей скорость операций визуализации, и современной дисковой подсистемой с интерфейсами SAS или SATA и поддержкой механизма RAID.

История развития CAE-систем

Историю развития рынка CAD/CAM/CAE-систем можно достаточно условно разбить на три основных этапа, каждый из которых длился, примерно, по 10 лет.

Первый этап начался в 1970-е годы. В ходе его был получен ряд научно-практических результатов, доказавших принципиальную возможность проектирования сложных промышленных изделий. Во время второго этапа (1980-е) появились и начали быстро распространяться CAD/CAM/CAE-системы массового применения. Третий этап развития рынка (с 1990-х годов до настоящего времени) характеризуется совершенствованием функциональности CAD/CAM/CAE-систем и их дальнейшим распространением в высокотехнологичных производствах (где они лучше всего продемонстрировали свою эффективность).

На начальном этапе пользователи CAD/CAM/CAE-систем работали на графических терминалах, присоединённых к мейнфреймам производства компаний IBM и Control Data, или же мини-ЭВМ DEC PDP-11 и Data General Nova. Большинство таких систем предлагали фирмы, продававшие одновременно аппаратные и программные средства (в те годы лидерами рассматриваемого рынка были компании Applicon, Auto-Trol Technology, Calma, Computervision и Intergraph). У мейнфреймов того времени был ряд существенных недостатков. Например, при разделении системных ресурсов слишком большим числом пользователей нагрузка на центральный процессор увеличивалась до такой степени, что работать в интерактивном режиме становилось трудно. Но в то время пользователям CAD/CAM/CAE-систем ничего, кроме громоздких компьютерных систем с разделением ресурсов (по устанавливаемым приоритетам), предложить было нечего, так как микропроцессоры были ещё весьма несовершенными. По данным Dataquest, в начале 1980-х стоимость одной лицензии CAD-системы доходила до 90 000 долл.

Развитие приложений для проектирования шаблонов печатных плат и слоёв микросхем сделало возможным появление схем высокой степени интеграции (на базе которых и были созданы современные высокопроизводительные компьютерные системы). В течение 1980-х годов был осуществлён постепенный перевод CAD-систем с мейнфреймов на персональные компьютеры (ПК). В то время ПК работали быстрее, чем многозадачные системы, и были дешевле. По данным Dataquest, к концу 1980-х годов стоимость CAD-лицензии снизилась, примерно, до 20 000 долл.

Следует сказать, что в начале 1980-х годов произошло расслоение рынка CAD-систем на специализированные секторы. Электрический и механический сегменты CAD-систем разделились на отрасли ECAD и MCAD. Разошлись по двум различным направлениям и производители рабочих станций для CAD-систем, созданных на базе ПК:

часть производителей сориентировалась на архитектуру IBM PC на базе микропроцессоров Intel х86;

другие производители предпочли ориентацию на архитектуру Motorola (ПК её производства работали под управлением ОС Unix от AT& T, ОС Macintosh от Apple и Domain OS от Apollo).

Производительность CAD-систем на ПК в то время была ограничена 16-разрядной адресацией микропроцессоров Intel и MS-DOS. Вследствие этого, пользователи, создающие сложные твердотельные модели и конструкции, предпочитали использовать графические рабочие станции под ОС Unix с 32-разрядной адресацией и виртуальной памятью, позволяющей запускать ресурсоёмкие приложения.

К середине 1980-х годов возможности архитектуры Motorola были полностью исчерпаны. На основе передовой концепции архитектуры микропроцессоров с усеченным набором команд (Reduced Instruction Set Computer — RISC) были разработаны новые чипы для рабочих станций под ОС Unix (например, Sun SPARC). Архитектура RISC позволила существенно повысить производительность CAD-систем.

С середины 1990-х годов развитие микротехнологий позволило компании Intel удешевить производство своих транзисторов, повысив их производительность. Вследствие этого появилась возможность для успешного соревнования рабочих станций на базе ПК с RISC/Unix-станциями. Системы RISC/Unix были широко распространены во 2-й половине 1990-х годов, и их позиции все ещё сильны в сегменте проектирования интегральных схем. Зато сейчас Windows NT и Windows 2000 практически полностью доминируют в областях проектирования конструкций и механического инжиниринга, проектирования печатных плат и др. По данным Dataquest и IDC, начиная с 1997 года рабочие станции на платформе Windows NT/Intel (Wintel) начали обгонять Unix-станции по объёмам продаж. За прошедшие с начала появления CAD/CAM/CAE-систем годы стоимость лицензии на них снизилась до нескольких тысяч долларов (например, 6000 долл. у Pro/Engineer).

Основы прочностных расчетов

Библиотеки конечных элементов содержат их модели – матрицы жесткости. Модели конечных элементов различны для разных задач, разных форм конечных элементов, разных наборов координатных функций. Исходными данными для препроцессора являются геометрическая модель объекта, чаще всего получаемая из подсистемы конструирования.

Основная функция препроцессора – представление исследуемого объекта (детали) в сеточном виде, т.е. в виде множества конечных элементов.

Решатель – это программа, которая собирает модели отдельных конечных элементов в общую систему алгебраических уравнений и решает эту систему одним из методов разреженных матриц.

Постпроцессор служит для визуализации результатов решения в удобной для пользователя форме.

Основным методом для проведения различных видов анализа является метод конечных элементов.

Первое применение этого метода относится к интервалу 1950-1960 года; в этот период он был использован для проведения анализа в строительной механике и самолетостроении, в настоящее время он получил особую популярность в автомобильной промышленности. Этот метод получил популярность и в таких сферах, как решение инженерных задач из области статики, динамики, электроники, радиационного анализа.

С его помощью можно решать задачи следующего характера:

- анализ устойчивости навигационной системы к вибрациям;

- способность монтажной платы выдерживать высокие температуры;

- моделировать взрывы;

-оптимизировать конструкцию.

Метод конечных элементов позволяет конструктору успешно решать задачи расчета сложных конструкций или деталей, путем разбиения их на более мелкие части – конечные элементы. Эти элементы часто называют дискретными, а процесс их выделения – дискретизацией формы.

После разбивки дальнейшие расчеты на нагрузку проводятся уже для отдельных конечных элементов, каждый из которых вносит свой вклад в характеристику прочности детали. Точки, ограничивающие элемент называются узлами и вместе с проходящими через них линиями образуют конечно-элементную сетку.

Для двумерных областей наиболее часто используются элементы в форме треугольников или четырехугольников; как с прямо-, так и с криволинейными границами, чтобы в дальнейшем с достаточной степенью точности аппроксимировать границу любой формы.

Для трехмерных областей наиболее употребимы элементы в форме тетраэдра и параллелипипеда, которые также могут иметь прямо- или криволинейные границы.

Этапы МКЭ

1. Выделение конечных элементов (разбиение области на конечные элементы); Разбиение области на элементы обычно начинают от её границы, с целью наиболее точной аппроксимации формы границы. Затем производится разбиение внутренних областей. Часто разбиение области на элементы производят в несколько этапов. Сначала разбивают на крупные части, границы между которыми проходят там, где изменяются свойства материалов, геометрия, приложенная нагрузка (другие физические величины). Затем каждая подобласть разбивается на элементы. Стараются избегать резкого изменения размеров конечных элементов на границах подобластей. После разбиения области на конечные элементы осуществляют нумерацию узлов, причем порядок нумерации имеет существенное значение, так как влияет на эффективность последующих вычислений. Это связано со следующим: матрица коэффициентов системы линейных алгебраических уравнений, к которым приводит метод конечных элементов, является сильно разреженной матрицей ленточной структуры. Ненулевые элементы такой матрицы располагаются параллельно главной диагонали. Обозначим через L число, представляющее наибольшую разность между номерами ненулевых элементов в строке. Число L называется шириной полосы. Чем меньше ширина полосы, тем меньший объем памяти требуется для хранения матрицы при реализации метода конечных элементов в САПР, и тем меньше затраты машинного времени на решение результирующей системы уравнений. Ширина полосы зависит от числа степеней свободы узлов и способа нумерации последних. Если максимальную разность между номерами узлов для конечных узлов обозначить через N, а число степеней свободы – M, то L=(N+1)*M. Информация о способе разбиения на конечные элементы и нумерация узлов является исходной для всех последующих этапов алгоритма метода конечных элементов. При этом требуется указывать не только номер, но и координаты каждого узла, его принадлежность к определенным конечным элементам, информацию о соединении элементов между собой, значения физических параметров объекта в пределах каждого элемента.

2. Определение аппроксимирующей функции для каждого элемента. На этом этапе искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочно-непрерывной, определенной на множестве конечных элементов. Эту процедуру можно выполнить один раз для типичного элемента области и затем полученную функцию использовать для остальных элементов области того же вида. В качестве аппроксимирующей функции элементов чаще всего используют полиномы, которые подбираются так, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах и на границах элементов.

3. Объединение конечных элементов в ансамбль. На этом этапе уравнения, относящиеся к отдельным элементам, объединяются в ансамбль, то есть в систему алгебраических уравнений. Полученная система является моделью искомой непрерывной функции. Мы получаем матрицу жесткости.

4. Решение полученной системы алгебраических уравнений. Реальная конструкция аппроксимируется многими сотнями конечных элементов, возникают системы уравнений со многими сотнями и тысячами неизвестных. Решение таких систем уравнений – основная проблема реализации метода конечных элементов. Методы решения зависят от размера разрешающей системы уравнений. В связи с большой размерностью и сильной разреженностью матрицы коэффициентов системы для реализации метода конечных элементов в САПР разработаны специальные способы хранения матрицы жесткости, позволяющее уменьшить необходимый для этого объем оперативной памяти.

Матрицы жесткости используются в каждом методе прочностного расчета, используя конечную элементную сетку. Название матрицы жесткости пришло из строительной механики, где МКЭ начал использоваться раньше, чем в других областях техники.

Для решения систем уравнений применяются методы двух групп: прямые методы (метод Гаусса), косвенные методы, когда решение определяется на основе последовательной аппроксимации (метод Гаусса-Зейделя).

Основные понятия моделирОвания деформаций

Давайте займемся консервными банками и решим вопрос о том, можно ли установить затраты энергии на деформацию банки, или это науке не известно. Критерий истины – эксперимент. Возьмем в качестве объекта эксперимента алюминиевые консервные банки. В качестве еформирующего объекта нам понадобится молоток, а в качестве измерительного прибора – рулетка или линейка. На конце деревянной ручки молотка просверлим отверстие, чтобы молоток мог вращаться, как маятник. Теперь все готово к эксперименту. Масса молотка составляет m=0, 6кг.

Далее продеваем через отверстие в ручке молотка ось и закрепляем ее неподвижно, ну, например, прижимаем руками к кирпичам. Рулеткой измеряем высоту молотка над уровнем опорной поверхности банки. А саму банку положим в то место, куда должен упасть молоток, и, чтобы не скатилась, обложим банку легким снегом.

Рис. 7.1 - Экспериментальная деформация тонкой оболочки

Как видно из фотографии, нижняя часть молотка находится в начальный момент на высоте h₀=270мм от опорной поверхности. Эта цифра в дальнейшем нам еще пригодится.

Отпускаем молоток, он под действием силы тяжести падает и деформирует банку.

Рис. 7.2 - Экспериментальная деформация тонкой оболочки

Для чистоты эксперимента повторяем его еще два раза. Как видно из фотографии банок, этого достаточно – все банки деформированы практически одинаково и по характеру деформации, и по величине.

Рис. 7.3 - Результаты пластической деформации

Результат ожидаемый, так как все банки одинаковы, и молоток тоже один и тот же. Деформация же носит сложный по геометрии характер. Но ее нужно как-то измерить. В качестве меры деформации (т.е. формоизменения, которое не надо путать с компонентами тензора деформаций) принимаем расстояние от опорной поверхности до того места, куда ударил боек молотка. Это расстояние составляет h₁=25мм. Для контроля измерим и наибольшую ширину деформированной банки, получив при этом чуть более 9 см.

Рис. 7.4 - Измерения деформации

Все, эксперимент закончен. Теперь сделаем расчет энергии, затраченной на деформацию банки. Молоток массой m=0.6кг упал с высоты h₀=0.27м до высоты h₁=0.025м, или его потенциальная энергия изменилась на величину

Дж.

Т.о. из эксперимента известно, что на деформацию банки затрачена энергия E=1.44Дж. А можно ли ее рассчитать, зная начальную форму банки, механические свойства материала банки, величину и характер деформации банки? Есть ли научно разработанные и апробированные методы? Есть!

МКЭ – это математический метод решения дифференциальных уравнений, позволяющий с высокой точностью моделировать реальность, в том числе, в таких задачах как прочность и деформация конструкций и их элементов. Интересно отметить то, что процедура расчета МКЭ в России узаконена двумя ГОСТами, и один из которых – международный стандарт ISO.

Рис. 7.5 - Конечноэлементная модель оболочки

На рисунке в разных ракурсах показана математическая модель банки, опорной поверхности и бойка молотка, представленного только его контактирующей поверхностью. Эта модель называется конечно-элементным аналогом. Видно, что аналог состоит из элементов – маленьких четырехугольников. Толщина стенки банки составляет 0.2мм. Углы элементов, общие для соседних элементов, называются узлами. А всего в этом аналоге 5040 элементов и 5192 узла. Так как каждый узел имеет три степени свободы (теоретически может перемещаться по трем направлениям), для решения задачи будет строится и решаться система из 5192·3=15576 уравнений с 15576·15576+15576=242627352 коэффициентами. При этом надо определиться с механическими свойствами материала банки. Открываем ГОСТ 745-79 «Фольга алюминиевая для упаковки» и видим, что механические свойства этой фольги не регламентируются, но химический состав указан. Тогда открываем другой ГОСТ 618-73 «Фольга алюминиевая для технических целей» и находим из таблицы 3, что наименьшее возможное напряжение течения нашей фольги 3.5кг/мм². Коэффициент поперечной деформации для металлов 0.33, модуль упругости здесь значения не имеет, но берем 15000кг/мм².

Для компьютера многократное решение системы из 15576 уравнений, построенных с учетом указанных выше исходных данных, не представляет труда, поэтому зададим движение бойка молотка вниз и посмотрим результат решения контактной задачи, когда высота от бойка до опорной поверхности станет равной 25мм.

Сравнивая то, что получилось с фотографиями трех банок, удовлетворенно отметим, что совпадение очень хорошее.

Рис. 7.6 - Результаты моделирования

Остается показать иные результаты такого расчета. На рисунке ниже приведены расчетные графики зависимости силы сопротивления банки и затрат энергии на деформацию от величины ее деформации. За единицу деформации можно принять уменьшение толщины банки от 66мм до 25мм или увеличение ее ширины, или другой параметр, который читателю больше понравится.

Видно, что в начальный момент некоторое время сила и энергия равны нулю. Это – свободный ход бойка молотка, который еще не коснулся банки. Затем сила делает кратковременный скачок вверх почти до 5кг – так называемый динамический пик силы в момент удара, падает примерно до 2кг и медленно растет до примерно 3.5кг в период деформирования банки.

Рис. 7.7 - Зависимость силы сопротивления оболочки и затрат энергии на деформацию от величины деформации

Затраты энергии при этом растут от нуля до 144.225кг·мм, или до E_P=144.225·9.81/1000=1.41Дж.

Итак экспериментальная величина затрат энергии на деформацию банки составила 1.44Дж, а расчетная величина составила 1.41Дж. Разница составляет 0.03Дж, или 2%.

Результат очень хороший, но меньше фактического. А почему? А потому, что мы не учли деформационное упрочнение материала банки.

Если бы мы не знали, с какой высоты, или с какой скоростью упал на банку молоток, то могли бы это установить, например, так. Приравняем расчетную величину энергии деформации банки потенциальной энергии молотка и кинетической энергии молотка

откуда получаем

м,

или 240мм, а с учетом остаточной толщины банки 25мм делаем вывод, что молоток упал с высоты не менее 240+25=265мм.

Или

откуда получаем

м/с,

или молоток упал на банку со скоростью не менее 2.2·3.6=7.9км/ч.

Введение в МКЭ

Итак, мы выяснили, что существует достаточно универсальный численный метод конечных элементов (МКЭ), который эффективно можно использовать для расчетов деформаций консервных банок, автомобилей и многого другого. Надо понять, как этот метод работает. Более плотное знакомство с МКЭ мы проведем в достаточно простой форме, не углубляясь в дебри, а лишь обозначая некоторые важные проблемы.

Итак, пусть есть абстрактная задача найти некоторую зависимость y от x в интервале от a до b. Можно поступить двояко:

1) искать аналитический вид зависимости в виде функции y=y(x), т.е. в виде некоторой формулы, как например, все делали в школе, когда брали интеграл, или

2) искать функцию в виде набора точек с некоторой нужной или заданной точностью.

Рис. 8.1- Аппроксимация функции ломаной

Так, например, на Рис. 8.1 показана некоторая искомая функция y=y(x), вместо которой найдена ломаная 1-2-3-4-5-6 без особого ущерба для точности. Понятно, что чем в большем числе точек искать значение функции, тем точнее будет результат ее представления ломаной. А методы, которые вместо аналитической зависимости находят искомую функцию (или много функций) в виде конечного числа точек (чисел), называются численными.

Наберемся терпения и решим простую, но реальную задачу. Пусть требуется сделать расчет упругого изгиба некоторого элемента конструкции с первоначальной прямой формой, один из концов которого жестко закреплен, а другой конец отогнут вниз под действием некоторой силы, как показано на рисунке ниже. Таким элементом конструкции может быть консольная балка, стойка и т.п.

Рис. 8.2 - Балка, состоящая из двух конечных элементов.

Для определенности на Рис. 8.2наша балка уже разбита (представлена) в виде двух (не будем усложнять) конечных элементов, первый из которых имеет узлы 1 и 2, а второй – узлы 2 и 3. Т.е. узел 2 является общим для соседних конечных элементов.

Но прежде чем начать решать конкретную задачу, надо уяснить свойства конечного элемента в общем виде. Рассмотрим абстрактный конечный элемент с узлами i и j (Рис. 8.3).

Рис. 8.3 - Конечный элемент

Конечным элементом будем называть такую часть элемента конструкции, чтобы перемещения любой его точки можно было бы выразить через перемещения его узлов без значительного ущерба для точности решения. При изгибе каждая точка конечного элемента с узлами ij имеет две степени свободы:

1) точка может перемещаться по вертикали на расстояние v,

2) поперечное сечение в точке может развернуться на некоторый угол Ө .

Так как конечный элемент представлен двумя узлами, то он имеет четыре степени свободы. Значит, функцию перемещения в каждой точке с координатой x внутри элемента можно представить полиномом с четырьмя коэффициентами

Возникает вопрос, а почему полиномом, ведь истинная функция перемещения может быть сколь угодно сложной? Ответ – так проще. Мы же представили полиномом первой степени (отрезком прямой) функцию y(x) внутри каждого конечного элемента, что было показано на рисунке, и убедились, что точность достаточна. А если нужна точность больше, то всегда можно увеличить количество конечных элементов.

Известно (например, из сопромата), что функция угла разворота сечения есть первая производная от функции перемещения, т.е.

Положим, что начало системы координат расположено в узле i конечного элемента, а координатная ось x направлена вправо. Тогда выразим коэффициенты полинома через перемещения узлов i и j, т.е. v_i, Ө _i, v_j и Ө _j.

При x=0, т.е. в узле i

12 3 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒